Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 22

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

19 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 22. Intégrales généralisées, intégrales de référence, propriétés (linéarité, Chasles, positivité), convergence absolue, fonctions intégrables, théorèmes de comparaison, méthodes de calcul (primitives, IPP, changement de variable), espaces L^1 et L^2, intégrale de Dirichlet.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

Intégration sur un intervalle quelconque

Notations. \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C} ; a,b désignent deux réels tels que a<b ; I désigne un intervalle de \mathbb{R} ; f et g désignent des fonctions continues par morceaux sur I à valeurs dans \mathbb{K}.

1 Intégrales généralisées

Définition 2.1 — (Continuité par morceaux sur \boldsymbol{I})

Soit f\in\mathcal{F}(I,\mathbb{K}). La fonction f est continue par morceaux sur I si pour tout (x,y)\in I^2 tel que x<y, la fonction f est continue par morceaux sur [x,y].

1.1 Définition de la convergence

Définition 2.2 — (Convergence)

  • Si I=[a,b[. L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\,dt converge si x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt possède une limite finie lorsque x tend vers b.
  • Si I=]a,b]. L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\,dt converge si x\mapsto\int_x^b f(t)\,dt possède une limite finie lorsque x tend vers a.
  • Si I=]a,b[. L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\,dt converge s’il existe c\in]a,b[ tel que \int_a^c f(t)\,dt et \int_c^b f(t)\,dt soient convergentes.

Dans tous les cas, si l’intégrale ne converge pas, elle diverge.

Exercice 2.1

  1. Étudier la convergence de \int_0^1\frac{dt}{1+t^2} et \int_0^1\frac{dt}{1+t}.
  2. Montrer que l’intégrale \int_0^{+\infty}\cos(t)\,dt est divergente.
  3. Étudier la convergence de \int_0^1\ln(t)\,dt. Que constatez-vous ?
  4. Soit f la fonction définie, pour tout entier naturel n non nul, par f(n)=n, qui est affine sur \left[n-\frac{1}{n^3},n+\frac{1}{n^3}\right] et qui vaut 0 sinon. Représenter graphiquement f puis montrer que \int_{\mathbb{R}^+}f converge. Que constatez-vous ?

Théorème 2.1 — (Intégrales de référence)

  1. Intégrales de Riemann sur [1,+\infty[. \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha>1. Alors, \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}.
  2. Intégrales de Riemann sur ]0,1]. \int_0^1\frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha<1. Alors, \int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}=\frac{1}{1-\alpha}.
  3. Fonction exponentielle. \int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}\,dt converge si et seulement si \alpha>0. Alors, \int_0^{+\infty}e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha}.
  4. Fonction logarithme. \int_0^1\ln(t)\,dt converge. De plus, \int_0^1\ln(t)\,dt=-1.

Exercice 2.2

  1. Montrer que \int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^\alpha} converge si et seulement si \alpha>1.
  2. Montrer que, si f est continue par morceaux, positive et décroissante sur \mathbb{R}^+, alors \int_0^{+\infty}f(x)\,dx converge \iff \sum f(n) converge.

1.2 Propriétés

Proposition 2.1 — (Intégrale faussement impropre)

Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a,b]. Alors, les intégrales de f sur [a,b], ]a,b], ]a,b[ et [a,b[ sont égales.

Exercice 2.3

Montrer que \int_0^1 t\ln(t)\,dt est convergente.

Proposition 2.2 — (Linéarité)

Soit \lambda\in\mathbb{K}. Si \int_a^b f(t)\,dt et \int_a^b g(t)\,dt convergent, alors \int_a^b(f(t)+\lambda g(t))\,dt converge et \int_a^b(f(t)+\lambda g(t))\,dt=\int_a^b f(t)\,dt+\lambda\int_a^b g(t)\,dt.

Proposition 2.3 — (Relation de Chasles)

On suppose que \int_a^b f(t)\,dt converge et c\in]a,b[. Alors \int_a^c f(t)\,dt et \int_c^b f(t)\,dt convergent et \int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt.

1.3 Fonctions à valeurs réelles

Proposition 2.4 — (Positivité, croissance)

On suppose que \int_a^b f(t)\,dt et \int_a^b g(t)\,dt convergent.

  1. Positivité : si pour tout x\in I, f(x)\geq 0, alors \int_a^b f(t)\,dt\geq 0.
  2. Croissance : si pour tout x\in I, f(x)\leq g(x), alors \int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt.

Proposition 2.5 — (Fonctions à valeurs positives)

Si f est à valeurs positives sur [a,b[, alors \int_a^b f(t)\,dt converge si et seulement si x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt est majorée sur [a,b[.

Proposition 2.6 — (Domination locale)

Soient f,g deux fonctions continues de [a,b[ dans \mathbb{R}^+. S’il existe un réel c tel que \forall x\in[c,b[,\ 0\leq f(x)\leq g(x) et \int_c^b g(t)\,dt converge, alors \int_c^b f(t)\,dt converge.

Corollaire 2.1

Soient f,g deux fonctions continues de [a,b[ dans \mathbb{R}^+. Si f(t)=O_b(g(t)) et \int_c^b g(t)\,dt converge, alors \int_c^b f(t)\,dt converge.

2 Absolue convergence, fonctions intégrables

2.1 Définition

Définition 3.1 — (Convergence absolue)

L’intégrale \int_a^b f(t)\,dt est absolument convergente si l’intégrale \int_a^b\|f(t)\|\,dt est convergente.

Exercice 3.1

Soit \alpha>1. Montrer que l’intégrale \int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{1+x^\alpha}\,dt est absolument convergente.

Théorème 3.1 — (Absolue convergence ⇒ convergence, intégrabilité)

Si l’intégrale \int_a^b f(t)\,dt est absolument convergente, alors elle est convergente. La fonction f est alors intégrable sur I. La valeur de son intégrale sera notée \int_a^b f(t)\,dt ou \int_I f(t)\,dt ou \int_I f.

Théorème 3.2 — (Inégalité triangulaire)

Si \int_a^b f(t)\,dt est absolument convergente, alors \left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\leq\int_a^b\|f(t)\|\,dt.

Théorème 3.3

Soit f : I\to\mathbb{K} une fonction continue et intégrable sur I. Si \int_I\|f\|=0, alors f\equiv 0 sur I.

Théorème 3.4 — (Théorème de comparaison)

On suppose que I=[a,b[.

  1. Si \|f\|\leq\|g\| sur I et g est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.
  2. Si f=O_b(g) et g est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.
  3. Si f(t)\sim_b g(t), alors f est intégrable sur I si et seulement si g est intégrable sur I.

Exercice 3.2

Étudier l’intégrabilité des fonctions suivantes :

  1. t\mapsto\frac{\sin(t)}{t^2} sur [1,+\infty[ ;
  2. t\mapsto t\cos(t) et -1 sur ]0,+\infty[ ;
  3. t\mapsto\frac{1}{1-t^2} sur [0,1[.

2.2 Méthodes de calculs

Théorème 3.5 — (Primitive)

Soit f une fonction continue sur [a,b[ possédant une primitive F. Alors \int_a^b f(t)\,dt converge si et seulement si F possède une limite finie en b. Si ces propriétés sont vérifiées, \int_a^b f(t)\,dt=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a).

Exercice 3.3

Reprendre les exemples des intégrales de Riemann.

Théorème 3.6 — (Intégration par parties)

Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I. Si la fonction fg a une limite finie en a et en b, alors les intégrales \int_a^b f'(t)g(t)\,dt et \int_a^b f(t)g'(t)\,dt sont de même nature. Si ces quantités sont convergentes, en notant [f(t)g(t)]_a^b=\lim_{x\to b^-}(f(x)g(x))-\lim_{x\to a^+}(f(x)g(x)), on obtient la relation \int_a^b f'(t)g(t)\,dt=[f(t)g(t)]_a^b-\int_a^b f(t)g'(t)\,dt.

Exercice 3.4 — (Fonction Gamma d’Euler)

Pour tout nombre réel x, on pose, sous réserve d’existence, \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt. 1. Déterminer le domaine de définition de \Gamma. 2. Montrer que pour tout réel x strictement positif, \Gamma(x+1)=x\Gamma(x). 3. Pour tout entier naturel n, déterminer \Gamma(n+1).

Théorème 3.7 — (Changement de variable)

Soit f : ]a,b[\to\mathbb{K} une fonction continue par morceaux et \varphi telle que : (i) \varphi(]\alpha,\beta[)=]a,b[ ; (ii) \varphi est de classe \mathcal{C}^1 sur ]\alpha,\beta[ ; (iii) \varphi est strictement monotone.

Alors, les intégrales \int_a^b f(t)\,dt et \int_\alpha^\beta f(\varphi(u))|\varphi'(u)|\,du sont de même nature. Si ces quantités sont convergentes, \int_a^b f(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,|\varphi'(u)|\,du.

Exercice 3.5

Calculer, si a<b :

  1. \int_0^{\pi/2}\frac{dt}{1+\cos^2(t)} ;
  2. \int_a^b\frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}.

2.3 Espaces fonctionnels

Définition 3.2 — (\boldsymbol{L^1}, \boldsymbol{L^2})

  1. L’ensemble des fonctions continues par morceaux intégrables sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, est noté L^1(I,\mathbb{K}).
  2. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, de carré intégrable, i.e. pour lesquelles \|f\|^2 est intégrable sur I, est noté L^2(I,\mathbb{K}).

Exercice 3.6

  1. Déterminer une fonction f qui appartienne à L^1(]0,1],\mathbb{R}) mais pas à L^2(]0,1],\mathbb{R}).
  2. Déterminer une fonction f qui appartienne à L^2([1,+\infty[,\mathbb{R}) mais pas à L^1([1,+\infty[,\mathbb{R}).

Théorème 3.8 — (Structure d’espace vectoriel)

L^1(I,\mathbb{K}) est un espace vectoriel.

Proposition 3.1 — (Structure préhilbertienne)

  1. Si f et g appartiennent à L^2(I,\mathbb{K}), leur produit f\cdot g appartient à L^1(I,\mathbb{K}).
  2. L’ensemble L^2(I,\mathbb{K}) est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
  3. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tout (f,g)\in L^2(I,\mathbb{R})^2, \left|\int_I fg\right|\leq\sqrt{\int_I\|f\|^2}\cdot\sqrt{\int_I\|g\|^2}. De plus, si f et g sont continues, (f,g)\mapsto\int_I fg est un produit scalaire. La norme associée est notée \|f\|_2=\left(\int_I\|f\|^2\right)^{1/2}.

Exercice 3.7

Montrer que L^2([0,1],\mathbb{R})\subset L^1([0,1],\mathbb{R}).

3 Plan d’étude

On suppose qu’il faille étudier l’intégrale \int_I f(t)\,dt.

  1. Étudier la régularité de f en identifiant les points où f n’est pas continue.
  2. Découper l’intervalle I en intervalles d’études dont les points incertains sont des bornes.
  3. Choisir entre les stratégies suivantes :
    • a) Prolongement par continuité ?
    • b) Calcul d’une primitive ?
    • c) Si la fonction est de signe constant, déterminer une comparaison à une intégrale de référence : équivalent, majoration, …
    • d) Si la fonction n’est pas de signe constant : (i) étude d’intégrabilité (se ramener au point précédent) ; (ii) effectuer un changement de variable, une intégration par parties vers une fonction intégrable ; (iii) …

4 Autour de l’intégrale de Dirichlet

Exercice 5.1

  1. Montrer que \int_0^1\frac{\sin(t)}{t}\,dt est convergente.
  2. Deux méthodes :
      1. Montrer que la série de terme général \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin(t)}{t}\,dt est convergente. En déduire que \int_1^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt converge.
      1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer directement que \int_1^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt converge.
  3. En déduire que \int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}\,dt converge.
  4. Pour tout entier naturel n, montrer que \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t}\,dt>\frac{2}{(n+1)\pi}.
  5. En déduire que t\mapsto\frac{\sin(t)}{t} n’est pas intégrable sur \mathbb{R}^+.
  6. Soit x>0. Appliquer la formule d’intégration par parties avec u : t\mapsto-\cos(t) et v : t\mapsto\frac{1}{t} sur l’intervalle [x,2\pi]. Que dire lorsque x\to 0 ?

Document en PDF

Chapitre 22 : Intégration sur un intervalle quelconque