TD — Équations différentielles linéaires
Chapitre 06
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 06. Équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, coefficients constants ou non, structure de l’ensemble des solutions, variation de la constante.
Exercice 1
Résoudre sur \mathbb{R} les équations différentielles du premier ordre suivantes :
- y' + y = e^x
- y' - 2y = 3x + 1
- y' + \frac{1}{x}y = x^2 sur ]0, +\infty[
- y' + y = \sin x
Indications : - Résoudre d’abord l’équation homogène associée. - Chercher une solution particulière par identification ou variation de la constante.
Exercice 2
Résoudre l’équation homogène (H) : x(x^2+1)y' = (x^2+1)y sur ]0,+\infty[. En déduire la solution vérifiant y(1) = 2.
Indication : Écrire (H) sous la forme y' = \omega(x)y et trouver une primitive de \omega.
Exercice 3
Résoudre sur \mathbb{R} les équations du second ordre à coefficients constants :
- y'' - 3y' + 2y = 0
- y'' + 2y' + y = 0
- y'' + 4y = 0
- y'' - 5y' + 6y = e^x
Indications : - Former l’équation caractéristique ar^2 + br + c = 0. - Selon le signe du discriminant, écrire la forme générale des solutions. - Pour (4), chercher une solution particulière de la forme Ae^x.
Exercice 4
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' + 4y = \sin(2x) \\ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \end{cases}
Indication : Le second membre est solution de l’homogène. Chercher y_p = x(A\cos 2x + B\sin 2x).
Exercice 5
Résoudre le système différentiel : \begin{cases} x' = x + 2y \\ y' = 2x + y \end{cases}
Indication : Diagonaliser la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} ou poser u = x+y, v = x-y.
Exercice 6
Résoudre y' + y = \frac{1}{1+e^x} sur \mathbb{R} par la méthode de variation de la constante.
Indication : Solution homogène y_h = \lambda e^{-x}. Poser y_p(x) = \lambda(x)e^{-x} et identifier \lambda'(x).
Exercice 7
Résoudre y'' - 4y' + 4y = e^{2x} sur \mathbb{R}.
Indication : L’équation caractéristique a une racine double r = 2. Le second membre correspond à cette racine, donc chercher y_p = Ax^2 e^{2x}.
Exercice 8
Résoudre sur ]0,+\infty[ : x^2 y'' - 2xy' + 2y = x\ln x.
Indications : - C’est une équation d’Euler. Poser x = e^t (donc t = \ln x). - Avec Y(t) = y(e^t), on a xy' = Y' et x^2 y'' = Y'' - Y'. - L’équation devient Y'' - 3Y' + 2Y = te^t.
Exercice 9
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue. Montrer que l’équation y' + y = f admet une unique solution bornée sur \mathbb{R} si f est bornée.
Indications : - La solution générale est y(x) = \lambda e^{-x} + e^{-x}\int_0^x e^t f(t)\,dt. - Pour que y soit bornée en +\infty, il faut choisir \lambda judicieusement. - Montrer que y(x) = \int_{-\infty}^x e^{-(x-t)}f(t)\,dt convient.
Exercice 10
Résoudre le système : \begin{cases} x' = 3x - y \\ y' = x + y \end{cases} avec les conditions initiales x(0) = 1, y(0) = 0.
Indications : - La matrice est A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. - Le polynôme caractéristique est \chi_A(\lambda) = (\lambda - 2)^2. - A n’est pas diagonalisable mais trigonalisable. Chercher une base de trigonalisation.