TD — Fonctions usuelles

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 05. \exp, \ln, \cosh, \sinh, \tanh, \arcsin, \arccos, \arctan.

Exercice 1

Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :

  1. e^x > 0 et e^{x+y} = e^x \cdot e^y.
  2. e^x \geq 1 + x (étudier f(x) = e^x - 1 - x).
  3. Pour x > 0 : \ln x \leq x - 1.

Exercice 2

Résoudre dans \mathbb{R} les équations et inéquations :

  1. e^x = 3
  2. \ln(x) + \ln(x-1) = \ln 2
  3. e^{2x} - 3e^x + 2 = 0
  4. \ln(x^2 - 1) < \ln(x + 1)

Indications : - (3) Poser X = e^x et résoudre X^2 - 3X + 2 = 0. - (4) Attention au domaine de définition : x^2 - 1 > 0 et x + 1 > 0.

Exercice 3

Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :

  1. \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
  2. \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} et \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}.
  3. \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y.
  4. \sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y.

Exercice 4

Étudier les fonctions suivantes (domaine, dérivée, variations, limites, parité) :

  1. f(x) = x e^{-x}
  2. f(x) = \dfrac{\ln x}{x}
  3. f(x) = x - \ln x sur ]0, +\infty[

Exercice 5

Montrer que pour tout x \in ]-1, 1[ :

  1. \arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}.
  2. \dfrac{d}{dx}\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
  3. \dfrac{d}{dx}\arccos x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Indications : - (1) Poser g(x) = \arcsin x + \arccos x et montrer que g'(x) = 0, puis calculer g(0). - (2) Utiliser la dérivée de la bijection réciproque.

Exercice 6

Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} :

  1. \arctan x + \arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{\pi}{2} pour x > 0.
  2. \arctan x + \arctan(-x) = 0 (imparité).
  3. \dfrac{d}{dx}\arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}.

Exercice 7

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}

Indication : Prendre le logarithme et utiliser \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x pour x > 0.

Exercice 8

Résoudre dans \mathbb{R} :

  1. \arctan x + \arctan(2x) = \dfrac{\pi}{4}
  2. \arcsin(2x) = \arcsin x + \arcsin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) (simplifier si possible)

Indications : - (1) Prendre la tangente des deux membres et utiliser \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}.

Exercice 9

Montrer que \ln est concave sur ]0, +\infty[ et en déduire que pour tout (a, b) \in (\mathbb{R}_+^*)^2 : \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \geq \frac{\ln a + \ln b}{2}

Indication : (\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0. Utiliser la définition de la concavité.

Exercice 10

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \arctan x.

  1. Montrer que f est une bijection de \mathbb{R} sur ]-\pi/2, \pi/2[.
  2. Déterminer la bijection réciproque \tan : ]-\pi/2, \pi/2[ \to \mathbb{R}.
  3. Montrer que \tan est dérivable et calculer sa dérivée.
  4. En déduire \sum_{k=1}^n \arctan\left(\dfrac{1}{k^2+k+1}\right) en utilisant une télescopage.

Indications : - (4) Utiliser \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) avec a = k+1 et b = k.

Cours

Chapitre 05 : Fonctions usuelles