TD — Nombres complexes et trigonométrie

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 04. Formes algébrique et trigonométrique, exponentielle complexe, formules de Moivre et d’Euler, équations du second degré, racines n-ièmes.

Exercice 1

Mettre sous forme algébrique a + ib :

  1. (2 + 3i)(1 - i)
  2. \dfrac{1 + i}{1 - i}
  3. (1 + i)^{10}
  4. \left(\dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}\right)^6

Indications : - (3) (1+i)^2 = 2i, donc (1+i)^{10} = (2i)^5 = 32i^5 = 32i. - (4) Mettre numérateur et dénominateur sous forme exponentielle.

Exercice 2

Déterminer le module et un argument de :

  1. z_1 = 1 + i
  2. z_2 = -1 + i\sqrt{3}
  3. z_3 = \dfrac{1 + i}{1 - i}
  4. z_4 = (1 + i)^n pour n \in \mathbb{N}

Exercice 3

Résoudre dans \mathbb{C} les équations :

  1. z^2 + 1 = 0
  2. z^2 - 4z + 5 = 0
  3. z^2 + (2 - 3i)z + 5 - i = 0

Indications : - (2) \Delta = 16 - 20 = -4, donc z = 2 \pm i. - (3) Chercher une racine évidente (essayer z = i, z = 1+i, etc.).

Exercice 4

Résoudre dans \mathbb{C} :

  1. z^4 + z^2 + 1 = 0
  2. z^3 = 1
  3. z^4 = -1
  4. z^5 = 1 + i

Indications : - (1) Poser Z = z^2 et résoudre Z^2 + Z + 1 = 0. - (3) -1 = e^{i\pi}, les solutions sont e^{i(\pi + 2k\pi)/4} pour k = 0, 1, 2, 3.

Exercice 5

Déterminer les racines n-ièmes de l’unité pour n = 3, n = 4 et n = 6. Les placer dans le plan complexe.

Indication : Les racines n-ièmes de l’unité sont e^{2ik\pi/n} pour k = 0, 1, \ldots, n-1.

Exercice 6

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : 1 + e^{2i\pi/n} + e^{4i\pi/n} + \cdots + e^{2i(n-1)\pi/n} = 0

Indication : C’est une somme géométrique de raison e^{2i\pi/n} \neq 1.

Exercice 7

Montrer les formules d’Euler et de Moivre :

  1. \cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} et \sin \theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.
  2. \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^n (Moivre).
  3. \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.

Exercice 8

Soit z \in \mathbb{C} avec |z| = 1. Montrer que z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}.

Indication : Si |z| = 1, alors \frac{1}{z} = \bar{z}, donc z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\mathrm{Re}(z).

Exercice 9

Montrer que pour tout \theta \in \mathbb{R} :

  1. \cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2} et \sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}.
  2. \cos\theta \cos\phi = \dfrac{\cos(\theta+\phi) + \cos(\theta-\phi)}{2}.
  3. \sin\theta \sin\phi = \dfrac{\cos(\theta-\phi) - \cos(\theta+\phi)}{2}.

Exercice 10

Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que : \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(k\theta) = 2^n \cos^n\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)

Indications : - Utiliser (1 + e^{i\theta})^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ik\theta}. - Mettre 1 + e^{i\theta} = 2\cos(\theta/2) \, e^{i\theta/2}. - Prendre la partie réelle.

Cours

Chapitre 04 : Nombres complexes et trigonométrie