Nombres complexes et trigonométrie
Chapitre 04
MPSI (1re année) — Chapitre 04. Écriture algébrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et polaire, exponentielle complexe, formules de Moivre et d’Euler, équations du second degré, racines n^{\text{ièmes}}, géométrie du plan complexe.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
1 Nombres complexes : ensemble \mathbb{C}, conjugué, module et argument
1.1 Ensemble des nombres complexes \mathbb{C}
Définition 1.1
L’ensemble des nombres complexes noté \mathbb{C} est l’ensemble des nombres z de la forme : z=x+iy avec (x,y)\in\mathbb{R}^2 et i^2=-1.
- L’écriture z=x+iy s’appelle écriture algébrique (ou cartésienne) du nombre complexe z.
- Le réel x s’appelle partie réelle du nombre complexe z et elle sera notée \mathcal{R}e(z).
- Le réel y s’appelle partie imaginaire du nombre complexe z et elle sera notée \mathcal{I}m(z).
Définition 1.2
On munit l’ensemble des nombres complexes \mathbb{C} des deux opérations suivantes : \begin{cases} \forall (z,z')\in\mathbb{C}^2,\ z+z'=\left(\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z')\right)+i\left(\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')\right)\\[0.4em] \forall (z,z')\in\mathbb{C}^2,\ z\times z'=\left(\mathcal{R}e(z)\mathcal{R}e(z')-\mathcal{I}m(z)\mathcal{I}m(z')\right)+i\left(\mathcal{R}e(z)\mathcal{I}m(z')+\mathcal{R}e(z')\mathcal{I}m(z)\right) \end{cases}
Proposition 1.1
Soient (z,z')\in\mathbb{C}^2 et \lambda\in\mathbb{R}. Alors on a :
- z=0 \iff \mathcal{R}e(z)=0 et \mathcal{I}m(z)=0
- z=z' \iff \mathcal{R}e(z)=\mathcal{R}e(z') et \mathcal{I}m(z)=\mathcal{I}m(z')
- \mathcal{R}e(\lambda z)=\lambda\mathcal{R}e(z) et \mathcal{R}e(z+z')=\mathcal{R}e(z)+\mathcal{R}e(z')
- \mathcal{I}m(\lambda z)=\lambda\mathcal{I}m(z) et \mathcal{I}m(z+z')=\mathcal{I}m(z)+\mathcal{I}m(z')
Remarque. Ce qui justifie l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe et donne sens à la définition 1.
Exemple 1.1
Cherchons les nombres complexes z tels que : z^2=1+i\sqrt{3} \qquad (\ast) Posons z=x+iy avec (x,y)\in\mathbb{R}^2. Alors : \begin{aligned} (\ast) &\iff (x^2-y^2)+i(2xy)=1+i\sqrt{3}\\ &\iff x^2-y^2=1 \ \text{ et } \ 2xy=\sqrt{3} \quad (\text{égalité entre deux nombres complexes})\\ &\iff x^2-y^2=1 \ \text{ et } \ y=\frac{\sqrt{3}}{2x}\\ &\implies 4x^4-4x^2-3=0 \end{aligned} Résolvons cette équation du second degré d’inconnue x^2 en utilisant le discriminant : puisque \Delta=64 et que l’autre solution -\frac{1}{2}<0 : x^2=\frac{3}{2} \iff x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} Donc : (x,y)\in\left\{\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right\} \iff z\in\left\{\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right\} Inversement, ces valeurs de z vérifient l’équation (\ast), donc l’ensemble des solutions de l’équation (\ast) est : S=\left\{\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}
Proposition 1.2
L’addition « + » et la multiplication « \times » vérifient les propriétés suivantes :
- Associativité : \forall (z,z',z'')\in\mathbb{C}^3,\ \begin{cases} z+(z'+z'')=(z+z')+z'' \\ z\times(z'\times z'')=(z\times z')\times z''\end{cases}
- Commutativité : \forall (z,z')\in\mathbb{C}^2,\ \begin{cases} z+z'=z'+z \\ z\times z'=z'\times z\end{cases}
- Élément neutre : \forall z\in\mathbb{C},\ \begin{cases} z+0=z \\ z\times 1=z\end{cases}
- Chaque élément z de \mathbb{C} possède un opposé (unique) noté (-z), défini par : (-z)=(-\mathcal{R}e(z))+i(-\mathcal{I}m(z))
- Chaque élément z de \mathbb{C}^*(=\mathbb{C}\smallsetminus\{0\}) possède un inverse (unique) noté z^{-1} (ou 1/z), défini par : \frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} avec z=x+iy.
- Distributivité : \forall (z,z',z'')\in\mathbb{C}^3,\ z\times(z'+z'')=z\times z'+z\times z''.
Dans ce cas, on dit que (\mathbb{C},+,\times) est un corps.
1.2 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 1.3
Soit z=x+iy\in\mathbb{C}. On appelle conjugué de z l’élément noté \overline{z} et défini par : \overline{z}=x-iy
Proposition 1.3
Soit z\in\mathbb{C}. Alors on a :
| 1) z+\overline{z}=2\mathcal{R}e(z) | 2) z-\overline{z}=2i\mathcal{I}m(z) |
| 3) z=\overline{z} \iff z\in\mathbb{R} | 4) z=-\overline{z} \iff z\in i\mathbb{R} |
| 5) \overline{\overline{z}}=z |
Proposition 1.4
Soit (z,z')\in\mathbb{C}^2. Alors on a :
| 1) \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} | 2) \overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'} |
| 3) \overline{z-z'}=\overline{z}-\overline{z'} | 4) \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} (avec z\neq 0) |
| 5) \forall n\in\mathbb{Z},\ \overline{z^n}=\overline{z}^n (avec z^0=1 et z\neq 0 si n\leq 0) |
Remarque. Soit z=x+iy\in\mathbb{C}^*. L’écriture algébrique de l’inverse de z s’obtient en multipliant par le conjugué \overline{z}=x-iy de z comme suit : \frac{1}{z}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}
Exemple 1.2
Soit z=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2+\frac{1-7i}{4+3i}. Écrivons z sous forme algébrique : z=\frac{2i}{3-4i}+\frac{1-7i}{4+3i}=\frac{-2}{4+3i}+\frac{1-7i}{4+3i}=\frac{-1-7i}{4+3i}=-\frac{(1+7i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=-\frac{25+25i}{25}=-1-i
1.3 Module d’un nombre complexe
Définition 1.4
Soit z=x+iy\in\mathbb{C}. On appelle module de z le réel positif noté |z| et défini par : |z|=\sqrt{z\,\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}
Proposition 1.5
Soit (z,z')\in\mathbb{C}^2. Alors on a :
| 1) |z|^2=z\,\overline{z} | 2) |z\times z'|=|z|\times|z'| |
| 3) |z|=|\overline{z}|=|-z| | 4) \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|} (avec z\neq 0) |
| 5) \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} (avec z'\neq 0) | 6) \forall n\in\mathbb{Z},\ |z^n|=|z|^n (avec z\neq 0 si n\leq 0) |
Exemple 1.3
Soit z un nombre complexe de module 1 et différent de 1. Montrons que Z=\frac{z+1}{z-1}\in i\mathbb{R} : Z=\frac{z+1}{z-1}=\frac{(z+1)\overline{(z-1)}}{(z-1)\overline{(z-1)}}=\frac{(z+1)(\overline{z}-1)}{|z-1|^2}=\frac{|z|^2+\overline{z}-z-1}{|z-1|^2} Or |z|=1 et \overline{z}-z=-2i\mathcal{I}m(z), donc : Z=\frac{-2i\mathcal{I}m(z)}{|z-1|^2}\in i\mathbb{R}
1.4 Interprétation géométrique
On appelle plan complexe le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) où chaque nombre complexe z=x+iy est représenté par un point M de coordonnées (x,y).
- Le point M est appelé image du nombre complexe z ;
- Le nombre complexe z est dit affixe du point M ;
- On dit aussi que le vecteur \overrightarrow{OM} est d’affixe z, et \overrightarrow{OM} est l’image de z ;
- Le vecteur \overrightarrow{MN} est d’affixe (z'-z) ;
- Le module |z'-z| représente la distance MN ;
- Le point M' d’affixe \overline{z} est le symétrique du point M par la symétrie d’axe (O,\vec{u}) ; donc la transformation z\longmapsto\overline{z} dans le plan complexe est la symétrie axiale d’axe (O,\vec{u}).
Définition 1.5
Soit A un point du plan complexe d’affixe a et r un réel strictement positif.
- L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|=r est le cercle de centre A(a) et de rayon r : \mathscr{C}(A,r)=\{M(z) \,/\, |z-a|=r\}
- L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|<r est le disque ouvert de centre A et de rayon r, noté \mathrm{D}(A,r) : \mathrm{D}(A,r)=\{M(z) \,/\, |z-a|<r\}
- L’ensemble des points M(z) vérifiant |z-a|\leq r est le disque fermé de centre A et de rayon r, noté \overline{\mathrm{D}}(A,r) : \overline{\mathrm{D}}(A,r)=\{M(z) \,/\, |z-a|\leq r\}
Théorème 1.1
Soit (z,z')\in\mathbb{C}^2. Alors on a :
- \left|\mathcal{R}e(z)\right|\leq |z| ; \left|\mathcal{I}m(z)\right|\leq |z|
- Inégalité triangulaire : |z+z'|\leq |z|+|z'| avec égalité si et seulement si z=0 ou z'=\lambda z où \lambda\in\mathbb{R}^+.
Remarque. Ce théorème peut être généralisé à n nombres complexes z_1,\cdots,z_n comme suit : \left|z_1+\cdots+z_n\right|\leq |z_1|+\cdots+|z_n|
Corollaire 1.1
\forall (z,z')\in\mathbb{C}^2,\ \left||z|-|z'|\right|\leq |z-z'|\leq |z|+|z'|
Exercice 1.1
Soient z_1,\cdots,z_n des nombres complexes de modules 1. On pose Z=\left(\sum_{k=1}^n z_k\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right).
Montrer que Z est un réel tel que |Z|\leq n^2.
Solution. Les z_k sont de modules 1, donc \overline{z_k}=\frac{1}{z_k}. Donc : \begin{aligned} \overline{Z}&=\overline{\left(\sum_{k=1}^n z_k\right)}\ \overline{\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right)}=\left(\sum_{k=1}^n \overline{z_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n \overline{\frac{1}{z_k}}\right)=\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n z_k\right)=Z\\ &\implies Z\in\mathbb{R} \end{aligned} D’autre part, si on utilise l’inégalité triangulaire alors : \begin{aligned} |Z|&=\left|\left(\sum_{k=1}^n z_k\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|\left|\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right|\\ &\leq \left(\sum_{k=1}^n |z_k|\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{|z_k|}\right)\\ &\leq \left(\sum_{k=1}^n 1\right)\left(\sum_{k=1}^n 1\right)=n^2 \end{aligned} D’où le résultat.
1.5 Argument d’un nombre complexe non nul
Définition 1.6
Soit z=x+iy\in\mathbb{C}^*. On appelle argument de z toute mesure de l’angle orienté (\vec{u},\overrightarrow{OM}) et on le note \operatorname{arg}(z).
Si \theta est une mesure de l’angle (\vec{u},\overrightarrow{OM}) alors : \operatorname{arg}(z)=\theta \ \ [2\pi] L’ensemble des arguments de z est \{\theta+2k\pi \,/\, k\in\mathbb{Z}\}.
Remarque.
- Le nombre complexe nul ne possède pas d’argument.
- On remarque aussi que : x=|z|\cos\theta \qquad ; \qquad y=|z|\sin\theta
Proposition 1.6
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls. Alors on a :
| 1) \operatorname{arg}(\overline{z})=-\operatorname{arg}(z)\ [2\pi] | 2) \operatorname{arg}(-z)=\operatorname{arg}(z)+\pi\ [2\pi] |
| 3) \operatorname{arg}(z\times z')=\operatorname{arg}(z)+\operatorname{arg}(z')\ [2\pi] | 4) \operatorname{arg}\left(\frac{1}{z}\right)=-\operatorname{arg}(z)\ [2\pi] |
| 5) \operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right)=\operatorname{arg}(z)-\operatorname{arg}(z')\ [2\pi] | 6) \forall n\in\mathbb{Z},\ \operatorname{arg}(z^n)=n\operatorname{arg}(z)\ [2\pi] |
Exemple 1.4
Déterminons le module et l’argument du nombre complexe z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}} : \begin{aligned} |z|&=\sqrt{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2}=2\\ 2\operatorname{arg}(z)&=\operatorname{arg}(z^2)\ [2\pi]=\operatorname{arg}\left(2\sqrt{2}(1+i)\right)\ [2\pi]=\operatorname{arg}\left(4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\ [2\pi]\\ &=\operatorname{arg}\left(4\cos\frac{\pi}{4}+i4\sin\frac{\pi}{4}\right)\ [2\pi]=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]\\ &\implies \operatorname{arg}(z)=\frac{\pi}{8}\ [\pi] \end{aligned} Or \mathcal{R}e(z),\ \mathcal{I}m(z)>0, donc : \operatorname{arg}(z)=\frac{\pi}{8}\ [2\pi].
2 Forme polaire, formules de Moivre et d’Euler
2.1 Nombres complexes de module 1
Définition 2.1
Les nombres complexes de module 1 sont les affixes des points du cercle unité \mathscr{C}(O,1). Ce sont les nombres complexes z de la forme : z=\cos\theta+i\sin\theta avec \theta\in\mathbb{R}.
Si on note \mathbb{U} l’ensemble des nombres complexes de module 1 et on pose e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, alors : \begin{aligned} \mathbb{U}&=\{e^{i\theta} \,/\, \theta\in\mathbb{R}\}\\ &=\{e^{i\theta} \,/\, \theta\in[-\pi,\pi[\} \end{aligned} Donc : \begin{aligned} \mathscr{C}(O,1)&=\{(\cos\theta,\sin\theta) \,/\, \theta\in\mathbb{R}\}\\ &=\{(\cos\theta,\sin\theta) \,/\, \theta\in[-\pi,\pi[\}\\ &=\{(\cos\theta,\sin\theta) \,/\, \theta\in[0,2\pi[\} \end{aligned}
Proposition 2.1
Soit (\theta,\theta')\in\mathbb{R}^2. Alors on a :
| 1) e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}\times e^{i\theta'} | 2) e^{i(\theta-\theta')}=\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} |
| 3) \overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}} | 4) |e^{i\theta}|=1 |
Proposition 2.2
Soit (\theta,\theta')\in\mathbb{R}^2. Alors on a :
- Formule de Moivre : \forall n\in\mathbb{Z},\ \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta} \iff \forall n\in\mathbb{Z},\ (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
- Formules d’Euler : \begin{cases} \cos\theta=\frac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right) \\ \sin\theta=\frac{1}{2i}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)\end{cases}
- Formules de l’arc moitié : \begin{cases} e^{i\theta}+e^{i\theta'}=e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}\left(e^{i\frac{\theta-\theta'}{2}}+e^{-i\frac{\theta-\theta'}{2}}\right)=2\cos\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} \\ e^{i\theta}-e^{i\theta'}=e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}\left(e^{i\frac{\theta-\theta'}{2}}-e^{-i\frac{\theta-\theta'}{2}}\right)=2i\sin\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}\end{cases} En particulier lorsque \theta'=0\ [2\pi] : \begin{cases} e^{i\theta}+1=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}} \\ e^{i\theta}-1=2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}\end{cases}
Exercice 2.1
- Écrire \cos 4x en fonction de \cos x.
- Linéariser \cos x\sin^3 x, c’est-à-dire l’écrire en fonction des \cos ax et \sin bx.
Solution.
- Écrivons \cos 4x en fonction de \cos x : \begin{aligned} \cos 4x&=\mathcal{R}e\left(\left(e^{ix}\right)^4\right)\\ &=\mathcal{R}e\left((\cos x+i\sin x)^4\right)\\ &=\mathcal{R}e\left(\cos^4 x+i4\cos^3 x\sin x-6\cos^2 x\sin^2 x-i4\cos x\sin^3 x+\sin^4 x\right)\\ &=\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x\\ &=\cos^4 x-6\cos^2 x(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)^2\\ &=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1 \end{aligned}
- Linéarisons \cos x\sin^3 x : \begin{aligned} \cos x\sin^3 x&=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\left(\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\right)^3\\ &=\frac{-1}{2^4 i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^2\\ &=\frac{-1}{2^4 i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\left(e^{i2x}-2+e^{-i2x}\right)\\ &=\frac{-1}{2^4 i}\left(e^{i4x}-e^{-i4x}\right)+\frac{1}{2^3 i}\left(e^{i2x}-e^{-i2x}\right)\\ &=-\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{1}{4}\sin 2x \end{aligned}
2.2 Forme polaire d’un nombre complexe non nul
Définition 2.2
Soit z\in\mathbb{C}^*. On appelle forme polaire (ou exponentielle) de z une écriture de la forme : z=\rho e^{i\theta} avec (\rho,\theta)\in\mathbb{R}^*_+\times[-\pi,\pi[.
Théorème 2.1
\forall z\in\mathbb{C}^*,\ \exists !\,(\rho,\theta)\in\mathbb{R}^*_+\times[-\pi,\pi[,\ z=\rho e^{i\theta}
Remarque. Le théorème précédent est encore vrai si on remplace l’intervalle [-\pi,\pi[ par n’importe quel intervalle semi-ouvert d’amplitude 2\pi, par exemple l’un des intervalles suivants : [0,2\pi[,\ \ [\pi,3\pi[,\ \ ]-2\pi,0],\ \ [-3\pi,-\pi[,\ \cdots \text{ etc.}
Proposition 2.3
Soit (z,z')\in(\mathbb{C}^*)^2. Alors on a :
| 1) z=z' \iff |z|=|z'| et \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arg}(z')\ [2\pi] | 2) \overline{z}=|z|e^{-i\operatorname{arg}(z)} |
| 3) -z=|z|e^{-i\operatorname{arg}(z)+i\pi} | 4) z\times z'=|z||z'|e^{i(\operatorname{arg}(z)+\operatorname{arg}(z'))} |
| 5) \frac{z}{z'}=\frac{|z|}{|z'|}e^{i(\operatorname{arg}(z)-\operatorname{arg}(z'))} | 6) \forall n\in\mathbb{Z},\ z^n=|z|^n e^{in\operatorname{arg}(z)} |
2.3 Exponentielle complexe
Définition 2.3
Soit z=x+iy\in\mathbb{C}. On appelle exponentielle de z le nombre complexe noté e^z et défini par : e^z=e^x e^{iy}
Remarque. L’exponentielle d’un nombre complexe n’est jamais nulle.
Proposition 2.4
- Si z_1,\cdots,z_n sont des nombres complexes alors : \prod_{k=1}^n e^{z_k}=e^{\sum_{k=1}^n z_k}
- Si (z,z')\in\mathbb{C}^2 alors : e^{z}=e^{z'} \iff \exists k\in\mathbb{Z},\ z'=z+i2k\pi
Exemple 2.1
L’ensemble des solutions de l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante : e^z=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} est : S=\left\{\frac{1}{2}\ln 2+i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right) \,/\, k\in\mathbb{Z}\right\}
3 Équations et racines n^{\text{ièmes}}
3.1 Racines n^{\text{ièmes}} de l’unité
Dans ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul et k un entier. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante : z^n=1 On note \mathbb{U}_n l’ensemble des solutions de cette équation. Les éléments de \mathbb{U}_n s’appellent aussi racines n^{\text{ièmes}} de l’unité.
Théorème 3.1
\mathbb{U}_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} \,/\, 0\leq k\leq n-1\right\}
Exemple 3.1
L’ensemble des solutions de l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante z^3=1 est : \mathbb{U}_3=\left\{1,\ j=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\ \overline{j}=j^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}
Exemple 3.2
L’ensemble des solutions de l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante z^4=1 est : \mathbb{U}_4=\{1,\ i,\ -i,\ -1\}
Remarque.
- La somme des racines n^{\text{ièmes}} de l’unité vaut 0 (à voir dans les exercices).
- Les racines n^{\text{ièmes}} de l’unité forment un polygone régulier à n côtés.
3.2 Racines n^{\text{ièmes}} d’un nombre complexe
Dans ce paragraphe, n désigne un entier naturel non nul, k un entier et a\in\mathbb{C}. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante : z^n=a On note S l’ensemble des solutions de cette équation.
Théorème 3.2
S=\begin{cases} \{0\}, & \text{si } a=0 \\ \left\{\sqrt[n]{|a|}\,e^{i\frac{2k\pi+\operatorname{arg}(a)}{n}} \,/\, 0\leq k\leq n-1\right\}, & \text{sinon}\end{cases}
3.3 Équation du second degré
Dans ce paragraphe, a, b et c désignent des nombres complexes avec a\neq 0. Il s’agit de résoudre l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante : az^2+bz+c=0 On note \Delta=b^2-4ac et \delta une racine carrée de \Delta (c’est-à-dire \delta^2=\Delta), et S l’ensemble des solutions de cette équation.
Théorème 3.3
S=\left\{\frac{-b+\delta}{2a},\ \frac{-b-\delta}{2a}\right\}
Exemple 3.3
Soit l’équation d’inconnue z\in\mathbb{C} suivante : z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0 On a \Delta=(5-14i)^2+4\times 2(5i+12)=-25(3+4i)=\left(5i(2+i)\right)^2, donc l’ensemble des solutions est : S=\left\{\frac{5-14i-5+10i}{2}=-2i,\ \frac{5-14i+5-10i}{2}=5-12i\right\}
Proposition 3.1
L’équation az^2+bz+c=0 d’inconnue z\in\mathbb{C} est équivalente au système d’inconnues (z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 suivant : \begin{cases} z_1+z_2=\frac{-b}{a} \\ z_1 z_2=\frac{c}{a}\end{cases}
3.4 Réduction de a\cos x+b\sin x
Dans ce paragraphe, a, b et x désignent des réels tels que (a,b)\neq(0,0), et il s’agit de réduire l’expression a\cos x+b\sin x sous forme de cosinus.
Exemple 3.4
Résolvons l’équation d’inconnue x suivante : (E) \qquad \cos x+\sin x=1 On a : \cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) Donc : \begin{aligned} (E) \quad &\iff \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1\\ &\iff \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\pi/4)\\ &\iff \frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{4}\ \ [2\pi] \ \ \text{ ou } \ \ \frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{4}\ \ [2\pi]\\ &\iff x=0\ \ [2\pi] \ \ \text{ ou } \ \ x=\frac{\pi}{2}\ \ [2\pi] \end{aligned} D’où l’ensemble des solutions de l’équation (E) est : S=\left\{2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi \,/\, k\in\mathbb{Z}\right\}
3.5 Calcul des sommes \sum_{k=0}^n \cos(ak+b) et \sum_{k=0}^n \sin(ak+b)
Dans ce paragraphe, a et b désignent des réels.
Proposition 3.2
Soit z\in\mathbb{C}. Alors on a : \sum_{k=0}^n z^k=\begin{cases} n+1, & \text{si } z=1 \\ \frac{1-z^{n+1}}{1-z}, & \text{sinon}\end{cases}
4 Géométrie dans le plan complexe
4.1 Alignement, orthogonalité et cocyclicité
Proposition 4.1
Soient A, B et M trois points distincts du plan complexe d’affixes respectives a, b et z. Alors on a : (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\operatorname{arg}\left(\frac{b-z}{a-z}\right)\ [2\pi] \qquad ; \qquad \frac{MB}{MA}=\left|\frac{b-z}{a-z}\right|
Corollaire 4.1
Soient A, B, C et D des points distincts deux à deux du plan complexe d’affixes respectives a, b, c et d. Alors on a :
- A, B et C sont alignés \iff \frac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}
- (AB)\perp(AC) \iff \frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb{R}
- ABC est un triangle isocèle droit en A \iff \frac{c-a}{b-a}=\pm i
- ABC est un triangle équilatéral \iff \frac{c-a}{b-a}=e^{\pm i\frac{\pi}{3}}
- A, B, C et D sont cocycliques ou alignés \iff \frac{c-a}{d-a}\div\frac{c-b}{d-b}\in\mathbb{R}
4.2 Transformations géométriques usuelles
Définition 4.1 — (Translation)
Soit \vec{u}(u) un vecteur du plan complexe. On appelle translation de vecteur \vec{u}, notée t_{\vec{u}}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) au point M'(z') tel que : \overrightarrow{MM'}=\vec{u} \iff z'-z=u
Définition 4.2 — (Rotation)
On appelle rotation de centre \Omega(\omega) et d’angle \theta, notée r_{(\Omega,\theta)}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) au point M'(z') tel que : \begin{cases} \Omega M'=\Omega M \\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta \ \ [2\pi]\end{cases} \iff z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega Cas particulier : si \theta=\pi\ [2\pi] alors r_{(\Omega,\theta)} est la symétrie centrale de centre \Omega.
Définition 4.3 — (Homothétie)
On appelle homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport \lambda\in\mathbb{R}, notée h_{(\Omega,\lambda)}, la transformation du plan qui transforme chaque point M(z) au point M'(z') tel que : \overrightarrow{\Omega M'}=\lambda\overrightarrow{\Omega M} \iff z'=\lambda(z-\omega)+\omega Cas particulier : si \lambda=-1 alors h_{(\Omega,\lambda)} est la symétrie centrale de centre \Omega.
Définition 4.4 — (Similitude directe)
On appelle similitude directe de centre \Omega, d’angle \theta et de rapport \rho>0, la composée s de la rotation r de centre \Omega et d’angle \theta et de l’homothétie h de centre \Omega et de rapport \rho. De plus, r et h commutent, i.e. : s=h\circ r=r\circ h Si on pose a=\rho e^{i\theta} et si M(z) est un point du plan complexe, alors son image M'(z') par s est telle que : \begin{cases} \Omega M'=\rho\,\Omega M \\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\theta \ \ [2\pi]\end{cases} \iff z'=a(z-\omega)+\omega Cas particuliers :
- Si \rho=1 alors s est la rotation de centre \Omega(\omega) et d’angle \theta, i.e. s=r_{(\Omega,\theta)} ;
- Si \theta=0\ [\pi] alors s est l’homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport a, i.e. s=h_{(\Omega,a)}.
Exercice 4.1
Soit r_1 la rotation de centre A d’affixe -1 et d’angle \frac{\pi}{3}, et r_2 la rotation de centre B d’affixe j=e^{i\frac{2\pi}{3}} et d’angle \frac{2\pi}{2}. Déterminer la nature de r_2\circ r_1.
Solution. Soit M un point du plan complexe d’affixe z et soit M' d’affixe z' l’image de M par la transformation r_2\circ r_1. z' vérifie alors : \begin{aligned} z'=r_2\circ r_1(z)&=r_2\left(e^{i\frac{\pi}{3}}(z+1)-1\right)=j\left(e^{i\frac{\pi}{3}}(z+1)-1-j\right)+j\\ &=-(z+1)-\underbrace{(1+j+j^2)}_{=0}+j\\ &\iff z'-\frac{j}{2}=-\left(z-\frac{j}{2}\right) \end{aligned} c’est-à-dire M' est l’image de M par la rotation de centre C d’affixe \frac{j}{2} et d’angle \pi. D’où r_2\circ r_1 est la symétrie de centre C d’affixe \frac{j}{2}.
4.2.1 Classification des transformations f : z\longmapsto az+b
Dans ce paragraphe, a et b désignent deux nombres complexes. Il s’agit de déterminer la nature de la transformation f : z\longmapsto az+b dans le plan complexe et préciser ses caractéristiques.
Soient les points A, B et M d’affixes respectives a, b et z, et soit M' l’image de M par la transformation f d’affixe z'=az+b.
- Si a=0 alors f transforme chaque point du plan M au point B.
- Sinon, M est un point fixe de f \iff : z=az+b \iff (1-a)z=b
- Si a=1, f ne possède pas de point fixe et on a : z'-z=b \iff \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{OB} Ce qui veut dire que f est la translation t_{\vec{u}} de vecteur \vec{u}=\overrightarrow{OB}.
- Si a\neq 1, alors z=\frac{b}{1-a}. Soit \Omega le point d’affixe \omega=\frac{b}{1-a}. On a alors : \begin{aligned} z'-\omega=az+b-\omega &\iff z'-\omega=az+\omega(1-a)-\omega\\ &\iff z'-\omega=a(z-\omega)\\ &\iff \frac{z'-\omega}{z-\omega}=a\\ &\iff \begin{cases} \Omega M'=|a|\,\Omega M \\ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)=\operatorname{arg}(a)\ \ [2\pi]\end{cases} \end{aligned} Donc f est la similitude directe de centre \Omega(\omega), de rapport |a| et d’angle \operatorname{arg}(a).
Exemple 4.1
La transformation z\longmapsto z+i est la translation de vecteur d’affixe i puisque : z'=z+i \iff z'-z=i
Exemple 4.2
La transformation z\longmapsto iz+2 est la rotation de centre \Omega d’affixe 1+i et d’angle \frac{\pi}{2} puisque : z'=iz+2 \iff z'=i\left(z-(1+i)\right)+(1+i)
Exemple 4.3
La transformation z\longmapsto 2z+2 est l’homothétie de centre \Omega d’affixe -2 et de rapport 2 puisque : z'=2z+2 \iff z'=2\left(z+2\right)-2
Exemple 4.4
La transformation z\longmapsto -z+2 est la symétrie centrale de centre \Omega d’affixe 1 puisque : z'=-z+2 \iff z'=-\left(z-1\right)+1
Exercice 4.2
Soit f la transformation du plan complexe qui à chaque point M d’affixe z associe le point M' d’affixe : z'=(-1+i\sqrt{3})z-i\sqrt{3}
- Montrer que f est une similitude directe dont on déterminera le centre, l’angle et le rapport.
- Montrer que f est la composée d’une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport et d’une rotation, dont on déterminera le centre et l’angle.