Fonctions usuelles

Chapitre 05

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

17 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 05. Fonctions x\mapsto x^n et x\mapsto\sqrt[n]{x}, logarithme népérien, exponentielle, exponentielle et logarithme de base a, fonction puissance, fonctions circulaires et leurs réciproques, fonctions hyperboliques et leurs réciproques.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

1 Fonctions usuelles

1.1 Formules de dérivation (Rappels)

Théorème 1.1

  1. Si f : I \longrightarrow J et g : J \longrightarrow K, avec I, J et K des intervalles de \mathbb{R}, sont deux fonctions vérifiant :
    • f est dérivable sur I,
    • g est dérivable sur J,
    alors g\circ f est dérivable sur I et on a : \forall x\in I,\ (g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'(f(x))
  2. En particulier, si f est bijective et f' ne s’annule pas sur I, alors f^{-1} est dérivable et on a : \forall x\in J,\ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

1.2 Les fonctions x\longmapsto x^n et x\longmapsto\sqrt[n]{x}

1.2.1 La fonction x\longmapsto x^n

Il s’agit d’étudier la fonction f_n : x\in\mathbb{R}\longmapsto x^n avec n\in\mathbb{N}^* et de dégager ses principales propriétés.

  1. Domaine de définition : D_{f_n}=\mathbb{R}
  2. Dérivée : la fonction f_n est dérivable sur \mathbb{R} et on a : \forall x\in\mathbb{R},\ f_n'(x)=nx^{n-1}
  3. Tableau de variations :
    • Lorsque n est pair : f_n' est négative sur ]-\infty,0[ et positive sur ]0,+\infty[ ; f_n décroît de +\infty à 0 (minimum en 0) puis croît de 0 à +\infty.
    • Lorsque n est impair : f_n' est positive sur \mathbb{R} ; f_n est strictement croissante de -\infty à +\infty.

1.2.2 La fonction x\longmapsto\sqrt[n]{x}

Selon le tableau de variations de la fonction f_n, on constate qu’elle est bijective lorsque n est impair (f_n est strictement croissante et continue donc injective, et elle vérifie f_n(\mathbb{R})=\mathbb{R}), i.e. l’équation y=x^n admet une unique solution. On en déduit que la bijection réciproque de f_n, la fonction g_n : x\in\mathbb{R}\longmapsto\sqrt[n]{x}, est bien définie.

Lorsque n est pair, f_n n’est ni injective ni surjective ; par suite, sa bijection réciproque g_n n’est pas définie sur \mathbb{R}. Pourtant, on peut définir g_n sur \mathbb{R}^+ lorsque n est pair.

  1. Domaine de définition :
    • Lorsque n est pair : D_{g_n}=\mathbb{R}^+.
    • Lorsque n est impair : D_{g_n}=\mathbb{R}.
  2. Dérivée :
    • Lorsque n est pair : \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\ g_n'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.
    • Lorsque n est impair : \forall x\in\mathbb{R}^*,\ g_n'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.
  3. Tableau de variations :
    • Lorsque n est pair : g_n est strictement croissante de 0 à +\infty.
    • Lorsque n est impair : g_n est strictement croissante de -\infty à +\infty.

1.2.3 Représentation graphique des fonctions f_n et g_n

Lorsque g_n est définie, elle est la bijection réciproque de f_n ; donc, si on considère un repère orthonormé, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

1.3 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance

1.3.1 Fonction logarithme népérien

La fonction x\longmapsto\frac{1}{x} est continue sur ]0,+\infty[, elle admet alors une primitive qui s’annule en 1. C’est la fonction : \int_1^x \frac{dt}{t}

Définition 1.1

L’unique primitive de la fonction x\longmapsto\frac{1}{x} qui s’annule en 1 est appelée logarithme népérien et notée \ln (ou \operatorname{Log}). On a donc : \forall x\in\mathbb{R}^*_+,\ \ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}

Soient x,y\in]0,+\infty[ ; considérons la fonction d’expression f(x)=\ln(xy). On a f'(x)=\frac{1}{x}, donc f(x)=\ln x+C. Or, f(1)=\ln y donc C=\ln y. D’où le théorème suivant :

Théorème 1.2

\forall x,y>0,\ \ln(xy)=\ln x+\ln y

Corollaire 1.1

  • Si u est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors \left(\ln(|u|)\right)'=\frac{u'}{u}.
  • \forall x,y\in\mathbb{R}^*,\ \ln(|xy|)=\ln(|x|)+\ln(|y|).
  • \forall x,y\in\mathbb{R}^*,\ \ln\left(\left|\frac{x}{y}\right|\right)=\ln(|x|)-\ln(|y|).
  • \forall n\in\mathbb{Z}^*,\ \forall x\in\mathbb{R}^*,\ \ln(|x|^n)=n\ln(|x|).

Théorème 1.3 — (Limites du logarithme népérien)

\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty \quad;\quad \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty \quad;\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0 \quad;\quad \lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1

Représentation graphique du logarithme

1.3.2 Fonction exponentielle

La fonction \ln est strictement croissante et continue sur I=]0,+\infty[, elle définit une bijection de l’intervalle I dans \ln(I)=\mathbb{R}.

Définition 1.2

La réciproque du \ln est appelée fonction exponentielle et notée \exp ; elle est définie par : \exp : \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & ]0,+\infty[ \\ x & \longmapsto & \exp(x)=y \text{ tel que } \ln y=x\end{array}

Proposition 1.1

  1. La fonction \exp est strictement croissante et continue sur \mathbb{R} ; de plus \exp(0)=1 et \exp(1)=e.
  2. La fonction \ln est dérivable sur ]0,+\infty[ et sa dérivée ne s’annule pas, donc la fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R} et : \forall x\in\mathbb{R},\ \exp'(x)=\frac{1}{\ln'(\exp(x))}=\exp(x)
  3. Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction \exp et celle de la fonction \ln sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Soient x,y\in\mathbb{R} ; notons X=\exp(x) et Y=\exp(y) : alors X et Y sont dans ]0,+\infty[ et on peut donc écrire \ln(XY)=\ln(X)+\ln(Y), ce qui donne x+y=\ln(XY) ; par conséquent \exp(x+y)=XY=\exp(x)\exp(y). On peut donc énoncer :

Théorème 1.4

\forall x,y\in\mathbb{R},\ \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y) En particulier, \forall x\in\mathbb{R},\ \exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}.

Notation : \exp(x)=e^x. La propriété précédente s’écrit alors : \forall x,y\in\mathbb{R},\ e^{x+y}=e^x\times e^y

Théorème 1.5 — (Limites de la fonction exponentielle)

\lim_{x\to-\infty}e^x=0 \quad;\quad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty \quad;\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty \quad;\quad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Remarque. Il en découle \lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0.

Représentation graphique de l’exponentielle

1.3.3 Fonctions exponentielle et logarithme de base a

Définition 1.3

Soit a>0. On appelle exponentielle de base a la fonction notée \exp_a définie sur \mathbb{R} par : \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_a(x)=e^{x\ln a}

Proposition 1.2

  1. \forall x,y\in\mathbb{R},\ \exp_a(x+y)=\exp_a(x)\times\exp_a(y).
  2. \exp_a(0)=1 ; \exp_a(1)=a ; \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_e(x)=e^x.
  3. La fonction \exp_a est dérivable sur \mathbb{R} et \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_a'(x)=\ln(a)\times\exp_a(x).
  4. \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_{\frac{1}{a}}(x)=\frac{1}{\exp_a(x)}.
  5. \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_a(x)=a^x et on a les formules suivantes :
    • \forall a>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \exp_a(x)=e^{x\ln a} ;
    • \forall a>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \ln(a^x)=x\ln a ;
    • \forall a>0,\ \forall x,y\in\mathbb{R},\ a^{x+y}=a^x\times a^y, a^0=1 et a^1=a ;
    • \forall a>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ a^{-x}=\frac{1}{a^x}, d’où \forall a>0,\ \forall x,y\in\mathbb{R},\ a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y} ;
    • \forall a>0,\ \forall x,y\in\mathbb{R},\ [a^x]^y=a^{xy}, et donc \forall a>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \left(\frac{1}{a}\right)^x=\frac{1}{a^x} ;
    • \forall a,b>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ a^x\times b^x=(ab)^x, et donc \left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x} ;
    • si x\neq 0, a^x=b \iff a=b^{\frac{1}{x}}.
  6. Si u,v : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} sont deux fonctions avec u strictement positive (i.e. \forall x\in\mathbb{R},\ u(x)>0), alors :
    • \forall x\in\mathbb{R},\ u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln(u(x))} ;
    • \forall x\in\mathbb{R},\ \left(u(x)^{v(x)}\right)'=\left(v'(x)\ln(u(x))+\frac{v(x)u'(x)}{u(x)}\right)e^{v(x)\ln(u(x))} ;
    • en particulier, pour v(x)=\alpha\in\mathbb{R}, on a \left(u(x)^{\alpha}\right)'=\alpha u'(x)u(x)^{\alpha-1}.

Remarque. Si a\neq 1, la fonction \exp_a est strictement monotone et, puisqu’elle est continue, elle est bijective de \mathbb{R} dans \exp_a(\mathbb{R})=]0,+\infty[.

Définition 1.4

Soit a\in\mathbb{R}^*_+\smallsetminus\{1\}. On appelle logarithme de base a la fonction notée \log_a définie sur ]0,+\infty[ par : \forall x\in]0,+\infty[,\ \log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}

Proposition 1.3

  1. La fonction \log_a est la réciproque de la fonction \exp_a.
  2. \forall x,y\in\mathbb{R}^*_+,\ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y).
  3. \log_a(1)=0 ; \log_a(a)=1 ; \forall x\in\mathbb{R}^*_+,\ \ln x=\log_e(x).
  4. La fonction \log_a est dérivable et on a \forall x>0,\ \log_a'(x)=\frac{1}{x\ln a}.
  5. \forall x>0,\ \log_{\frac{1}{a}}(x)=-\log_a(x).

1.3.4 Fonction puissance

Si a est un réel et si x>0, alors on a déjà adopté la notation suivante : x^a=\exp_x(a)=e^{a\ln x} Cela définit la fonction f_a : x\in]0,+\infty[\longmapsto x^a\in]0,+\infty[, qui est continue et dérivable avec : f_a'(x)=ax^{a-1} On a \lim_{x\to 0^+}f_a(x)=\begin{cases}0, & \text{si } a>0\\ +\infty, & \text{si } a<0\end{cases}. Donc \mathcal{C}_{f_a} admet une asymptote au voisinage de 0 lorsque a<0, et lorsque a>0 : \frac{f_a(x)-0}{x}=x^{a-1}=e^{(a-1)\ln x}\underset{x\to 0^+}{\longrightarrow}\begin{cases}0, & \text{si } a>1\\ +\infty, & \text{si } 0<a<1\end{cases} Donc \mathcal{C}_{f_a} admet une tangente horizontale lorsque a>1 et une tangente verticale lorsque 0<a<1.

Théorème 1.6 — (Propriétés)

Avec x,y>0 et a,b\in\mathbb{R}, on a :

  1. x^a\times x^b=x^{a+b}, et donc x^{-a}=\frac{1}{x^a} et \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}.
  2. (x^a)^b=x^{ab}.
  3. (xy)^a=x^a\times y^a.
  4. Pour a non nul, y=x^a \iff x=y^{\frac{1}{a}}.

1.4 Fonctions circulaires

1.4.1 Rappels

Le plan \mathcal{P} est muni d’un repère orthonormé direct (O,\vec{i},\vec{j}). Soit x un réel, et M(x) le point du cercle \mathcal{C}(O,1), appelé le cercle trigonométrique ou le cercle unité, tel que (\vec{i},\vec{OM})=x\ [2\pi] ; alors les coordonnées de M(x) sont (\cos(x),\sin(x)). Lorsque x\neq\frac{\pi}{2}\ [\pi], on pose : \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} et lorsque x\neq 0\ [\pi], on pose : \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Proposition 1.4 — (Formules trigonométriques)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \sin^2 x+\cos^2 x=1.
  2. Les fonctions sinus et cosinus sont 2\pi-périodiques, définies, continues et dérivables sur \mathbb{R}, à valeurs dans [-1,1], et on a : \sin'=\cos \quad \textbf{et} \quad \cos'=-\sin
  3. La fonction tangente est \pi-périodique, définie, continue et dérivable sur \mathbb{R}\smallsetminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \,/\, k\in\mathbb{Z}\right\} et on a : \tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
  4. Les fonctions sinus et tangente sont impaires alors que la fonction cosinus est paire.
  5. \forall x\in\mathbb{R},\ \sin(\pi-x)=\sin x et \cos(\pi-x)=-\cos x.
  6. Formules d’addition : \forall x,y\in\mathbb{R}, on a :
    • \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y ;
    • \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y ;
    • \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} avec x,y,x+y\in\mathbb{R}\smallsetminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi \,/\, k\in\mathbb{Z}\right\}.

1.4.2 Réciproques des fonctions circulaires

1.4.2.1 Fonction Arcsinus

La fonction \sin est strictement croissante et continue sur I=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] ; elle définit une bijection de I dans \sin I=J=[-1,1]. Sa bijection réciproque est notée \arcsin et appelée arcsinus ; elle est définie par : \arcsin : \begin{array}{rcl} [-1,1] & \longrightarrow & \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \\ x & \longmapsto & \arcsin(x)=y \text{ tel que } \sin(y)=x\end{array} Cette fonction est strictement croissante et continue sur [-1,1] ; elle est dérivable sur ]-1,1[ mais ni en -1 ni en 1 (elle admet une tangente verticale en ces points) ; on a la formule suivante : \forall x\in]-1,1[,\ \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Proposition 1.5 — (Propriétés de arcsin)

  1. \forall x\in[-1,1],\ \sin(\arcsin x)=x.
  2. \forall x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\ \arcsin(\sin x)=x.
  3. \forall x\in[-1,1],\ \arcsin(-x)=-\arcsin x (fonction impaire).
  4. \forall x\in[-1,1],\ \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}.
  5. \forall x\in[-\pi,\pi],\ \arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-|x|.

1.4.2.2 Fonction Arccosinus

La fonction f:[0,\pi]\longrightarrow[-1,1] définie par f(x)=\cos(x) est continue et strictement décroissante ; elle définit donc une bijection de [0,\pi] sur [-1,1]. Par définition, la bijection réciproque de f est appelée fonction arccosinus et notée \arccos ; elle est définie par : \arccos : \begin{array}{rcl} [-1,1] & \longrightarrow & [0,\pi] \\ x & \longmapsto & \arccos(x)=y \text{ tel que } \cos y=x\end{array} Cette fonction est strictement décroissante et continue sur [-1,1] ; elle est dérivable sur ]-1,1[ mais ni en -1 ni en 1 (elle admet une tangente verticale en ces points) ; on a la formule suivante : \forall x\in]-1,1[,\ \arccos'(x)=\frac{-1}{\sin(\arccos x)}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

Proposition 1.6 — (Propriétés de arccos)

  1. \forall x\in[-1,1],\ \cos(\arccos x)=x.
  2. \forall x\in[0,\pi],\ \arccos(\cos x)=x.
  3. \forall x\in[-1,1],\ \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.
  4. \forall x\in[-1,1],\ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.
  5. \forall x\in[-1,1],\ \arccos(-x)=\pi-\arccos x.

1.4.2.3 Fonction Arctangente

La fonction f:\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\longrightarrow\mathbb{R} définie par f(x)=\tan(x) est continue et strictement croissante ; elle définit donc une bijection de \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ sur \mathbb{R}. Par définition, la bijection réciproque de f est appelée fonction arctangente et notée \arctan ; elle est définie par : \arctan : \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ \\ x & \longmapsto & \arctan(x)=y \text{ tel que } \tan y=x\end{array} Cette fonction est strictement croissante, continue et dérivable sur \mathbb{R} ; on a la formule suivante : \forall x\in\mathbb{R},\ \arctan'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^2}

Proposition 1.7 — (Propriétés de arctan)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \tan(\arctan x)=x.
  2. \forall x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\ \arctan(\tan x)=x.
  3. \forall x\in\mathbb{R},\ \arctan(-x)=-\arctan x (fonction impaire).
  4. \forall x\in\mathbb{R}^*_+,\ \arctan x+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}.
  5. \forall x\in\mathbb{R},\ \arctan x=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right).

1.5 Fonctions hyperboliques

Définition 1.5

Pour x\in\mathbb{R}, la fonction d’expression \operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} est appelée cosinus hyperbolique, la fonction d’expression \operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} est appelée sinus hyperbolique, et la fonction d’expression \operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} est appelée tangente hyperbolique.

1.5.1 Fonction cosinus hyperbolique

La fonction \operatorname{ch} est paire, continue et dérivable sur \mathbb{R} et \operatorname{ch}'(x)=\operatorname{sh}(x) ; on en déduit son tableau de variations et sa courbe.

Proposition 1.8 — (Propriétés de ch)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{ch}(x)\geq 1.
  2. \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{ch}(x)}{x}=+\infty et \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{ch}(x)}{e^x}=\frac{1}{2}.

1.5.2 Fonction sinus hyperbolique

La fonction \operatorname{sh} est impaire, définie, continue et dérivable sur \mathbb{R} et \operatorname{sh}'(x)=\operatorname{ch}(x) ; on en déduit son tableau des variations et sa courbe.

Proposition 1.9 — (Propriétés de sh)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{ch}(x)+\operatorname{sh}(x)=e^x et \operatorname{ch}(x)-\operatorname{sh}(x)=e^{-x}.
  2. \forall x>0,\ x<\operatorname{sh}(x)<\operatorname{ch}(x).
  3. \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}(x)}{x}=+\infty et \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}(x)}{e^x}=\frac{1}{2}.

1.5.3 Fonction tangente hyperbolique

La fonction \operatorname{th} est impaire, continue et dérivable sur \mathbb{R} et on a : \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{th}'(x)=\frac{\operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)}{\operatorname{ch}^2(x)}=1-\operatorname{th}^2(x)=\frac{1}{\operatorname{ch}^2(x)} D’où les variations et la courbe.

Proposition 1.10 — (Propriétés de th)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ -1<\operatorname{th}(x)<1.
  2. \forall x>0,\ \operatorname{th}(x)<x.

1.5.4 Formules hyperboliques

Proposition 1.11 — (Propriétés)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{ch}^2(x)-\operatorname{sh}^2(x)=1.
  2. Formules d’addition : \forall x,y\in\mathbb{R}, on a :
    • \operatorname{ch}(x+y)=\operatorname{ch}(x)\operatorname{ch}(y)+\operatorname{sh}(x)\operatorname{sh}(y) ;
    • \operatorname{sh}(x+y)=\operatorname{sh}(x)\operatorname{ch}(y)+\operatorname{ch}(x)\operatorname{sh}(y) ;
    • \operatorname{th}(x+y)=\frac{\operatorname{th}(x)+\operatorname{th}(y)}{1+\operatorname{th}(x)\operatorname{th}(y)} ;
    • \operatorname{ch}(x)+\operatorname{ch}(y)=2\operatorname{ch}\left(\frac{x+y}{2}\right)\operatorname{ch}\left(\frac{x-y}{2}\right) ;
    • \operatorname{ch}(x)-\operatorname{ch}(y)=2\operatorname{sh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\operatorname{sh}\left(\frac{x-y}{2}\right) ;
    • \operatorname{sh}(x)+\operatorname{sh}(y)=2\operatorname{sh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\operatorname{ch}\left(\frac{x-y}{2}\right) ;
    • \operatorname{th}(x)+\operatorname{th}(y)=\frac{\operatorname{sh}(x+y)}{\operatorname{ch}(x)\operatorname{ch}(y)}.

1.5.5 Réciproques des fonctions hyperboliques

1.5.5.1 Fonction \operatorname{argch}

La fonction \operatorname{ch} définit une bijection de [0,+\infty[ sur l’intervalle [1,+\infty[ ; la bijection réciproque est notée \operatorname{argch} et appelée argument cosinus hyperbolique ; elle est définie par : \operatorname{argch} : \begin{array}{rcl} [1,+\infty[ & \longrightarrow & [0,+\infty[ \\ x & \longmapsto & \operatorname{argch}(x)=y \text{ tel que } \operatorname{ch}(y)=x\end{array} Cette fonction est continue sur [1,+\infty[, strictement croissante, dérivable sur ]1,+\infty[ mais pas en 1 ; sa dérivée est : \forall x>1,\ \operatorname{argch}'(x)=\frac{1}{\operatorname{sh}(\operatorname{argch}(x))}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

Proposition 1.12 — (Propriétés de argch)

  1. \forall x\geq 0,\ \operatorname{argch}(\operatorname{ch}(x))=x.
  2. \forall x\geq 1,\ \operatorname{ch}(\operatorname{argch}(x))=x.
  3. \forall x\geq 1,\ \operatorname{argch}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right).
  4. \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{argch}(x)}{x}=0 et \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{argch}(x)}{\ln(x)}=1.

1.5.5.2 Fonction \operatorname{argsh}

La fonction \operatorname{sh} définit une bijection de \mathbb{R} sur \mathbb{R} ; la bijection réciproque est notée \operatorname{argsh} et appelée argument sinus hyperbolique ; elle est définie par : \operatorname{argsh} : \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \operatorname{argsh}(x)=y \text{ tel que } \operatorname{sh}(y)=x\end{array} Cette fonction est continue sur \mathbb{R}, strictement croissante, dérivable sur \mathbb{R} (car la dérivée de \operatorname{sh} ne s’annule pas), et sa dérivée est : \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{argsh}'(x)=\frac{1}{\operatorname{ch}(\operatorname{argsh}(x))}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

Proposition 1.13 — (Propriétés de argsh)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{argsh}(\operatorname{sh}(x))=x et \operatorname{sh}(\operatorname{argsh}(x))=x.
  2. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{argsh}(-x)=-\operatorname{argsh}(x).
  3. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{argsh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).
  4. \forall x>0,\ x>\operatorname{argsh}(x).
  5. \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{argsh}(x)}{x}=0 et \lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{argsh}(x)}{\ln(x)}=1.

1.5.5.3 Fonction \operatorname{argth}

La fonction \operatorname{th} définit une bijection de \mathbb{R} sur ]-1,1[ ; la bijection réciproque est notée \operatorname{argth} et appelée argument tangente hyperbolique ; elle est définie par : \operatorname{argth} : \begin{array}{rcl} ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \operatorname{argth}(x)=y \text{ tel que } \operatorname{th}(y)=x\end{array} Cette fonction est continue sur ]-1,1[, strictement croissante, dérivable sur ]-1,1[, et sa dérivée est : \forall x\in]-1,1[,\ \operatorname{argth}'(x)=\frac{1}{1-\operatorname{th}^2(\operatorname{argth}(x))}=\frac{1}{1-x^2}

Proposition 1.14 — (Propriétés de argth)

  1. \forall x\in\mathbb{R},\ \operatorname{argth}(\operatorname{th}(x))=x et \forall x\in]-1,1[,\ \operatorname{th}(\operatorname{argth}(x))=x.
  2. \forall x\in]-1,1[,\ \operatorname{argth}(-x)=-\operatorname{argth}(x).
  3. \forall x\in]-1,1[,\ \operatorname{argth}(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
  4. \forall x\in]0,1[,\ x<\operatorname{argth}(x).

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Chapitre 05 : Fonctions usuelles