Équations différentielles linéaires
Chapitre 06
MPSI (1re année) — Chapitre 06. Équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, coefficients constants ou non, structure de l’ensemble des solutions, variation de la constante, Cauchy-Lipschitz, modèles physiques.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Équations différentielles linéaires
Lorsqu’un corps tombe en chute libre sans frottement, il n’est soumis qu’à son poids \vec{P}. Par le principe fondamental de la mécanique : \vec{P}=m\vec{a}. Tous les vecteurs sont verticaux donc mg=ma, où g est la constante de gravitation, a l’accélération verticale et m la masse. On obtient a=g. L’accélération étant la dérivée de la vitesse par rapport au temps, on obtient : \frac{dv(t)}{dt}=g Il est facile d’en déduire la vitesse par intégration : v(t)=gt (en supposant que la vitesse initiale est nulle), c’est-à-dire que la vitesse augmente de façon linéaire au cours du temps. Puisque la vitesse est la dérivée de la position, v(t)=\frac{dx(t)}{dt}, donc par une nouvelle intégration on obtient x(t)=\frac12 gt^2 (en supposant la position initiale nulle).
Le cas d’un parachutiste est plus compliqué : le modèle précédent ne tient pas compte des frottements. Le parachute fait subir une force de frottement opposée à la vitesse, supposée proportionnelle à celle-ci : F=-fmv (f est le coefficient de frottement). Le principe fondamental de la mécanique devient mg-fmv=ma, ce qui conduit à : \frac{dv(t)}{dt}=g-fv(t) C’est une relation entre la vitesse v et sa dérivée : il s’agit d’une équation différentielle. Il n’est pas évident de trouver quelle est la fonction v qui convient. Le but de ce chapitre est d’apprendre comment déterminer v(t), ce qui permettra d’en déduire la position x(t) à tout instant.
1 Définition
1.1 Introduction
Une équation différentielle est une équation :
- dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;
- dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y', ou dérivées d’ordres supérieurs y'', y^{(3)},\ldots).
Voici des équations différentielles faciles à résoudre.
Exemple 2.1
De tête, trouver au moins une fonction solution des équations différentielles suivantes :
| Équation | Solution |
|---|---|
| y'=\sin x | y(x)=-\cos x+k, où k\in\mathbb{R} |
| y'=1+e^x | y(x)=x+e^x+k, où k\in\mathbb{R} |
| y'=y | y(x)=ke^x, où k\in\mathbb{R} |
| y'=3y | y(x)=ke^{3x}, où k\in\mathbb{R} |
| y''=\cos x | y(x)=-\cos x+ax+b, où a,b\in\mathbb{R} |
| y''=y | y(x)=ae^x+be^{-x}, où a,b\in\mathbb{R} |
Il est aussi facile de vérifier qu’une fonction donnée est bien solution d’une équation.
Exemple 2.2
- Soit l’équation différentielle y'=2xy+4x. Vérifier que y(x)=k\exp(x^2)-2 est une solution sur \mathbb{R}, ceci quel que soit k\in\mathbb{R}.
- Soit l’équation différentielle x^2y''-2y+2x=0. Vérifier que y(x)=kx^2+x est une solution sur \mathbb{R}, pour tout k\in\mathbb{R}.
1.2 Définition
Définition 2.1
- Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0 \qquad (E) où F est une fonction de (n+2) variables.
- Une solution d’une telle équation sur un intervalle I\subset\mathbb{R} est une fonction y:I\to\mathbb{R} qui est n fois dérivable et qui vérifie l’équation (E).
Remarque.
- C’est la coutume pour les équations différentielles de noter y au lieu de y(x), y' au lieu de y'(x), … On note donc « y'=\sin x » ce qui signifie « y'(x)=\sin x ».
- Il faut s’habituer au changement de nom pour les fonctions et les variables. Par exemple (x'')^3+t(x')^3+(\sin t)\,x^4=e^t est une équation différentielle d’ordre 2, dont l’inconnue est une fonction x qui dépend de la variable t. On cherche donc une fonction x(t), deux fois dérivable, qui vérifie (x''(t))^3+t(x'(t))^3+(\sin t)(x(t))^4=e^t.
- Rechercher une primitive, c’est déjà résoudre l’équation différentielle y'=f(x). C’est pourquoi on trouve souvent « intégrer l’équation différentielle » pour « trouver les solutions de l’équation différentielle ».
- La notion d’intervalle dans la résolution d’une équation différentielle est fondamentale. Si on change d’intervalle, on peut très bien obtenir d’autres solutions. Par exemple, sur I_1=]0,+\infty[, l’équation y'=1/x a pour solutions les fonctions y(x)=\ln(x)+k ; alors que sur I_2=]-\infty,0[, les solutions sont les fonctions y(x)=\ln(-x)+k (k constante).
- Si aucune précision n’est donnée sur l’intervalle I, on considérera qu’il s’agit de I=\mathbb{R}.
Exemple 2.3 — (Équation à variables séparées)
Une équation différentielle à variables séparées est une équation du type : y'=g(x)/f(y) \qquad \text{ou} \qquad y'f(y)=g(x) Une telle équation se résout par calcul de primitives. Si G est une primitive de g et F une primitive de f, alors, par dérivation d’une composition, \big(F(y(x))\big)'=y'(x)F'(y(x))=y'f(y). Ainsi l’équation y'f(y)=g(x) se réécrit \big(F(y(x))\big)'=G'(x), ce qui équivaut à une égalité de fonctions : F(y(x))=G(x)+c
Voici un exemple concret : x^2y'=e^{-y}. On commence par séparer les variables : y'e^{y}=\frac{1}{x^2} (en supposant x\neq 0). On intègre des deux côtés : e^{y}=-\frac{1}{x}+c \quad (c\in\mathbb{R}) Ce qui permet d’obtenir y (en supposant -\frac{1}{x}+c>0) : y(x)=\ln\left(-\frac{1}{x}+c\right) qui est une solution sur chaque intervalle I où elle est définie et dérivable. Cet intervalle dépend de la constante c : si c<0, I=]\frac1c,0[ ; si c=0, I=]-\infty,0[ ; si c>0, I=]\frac1c,+\infty[.
1.3 Équation différentielle linéaire
On ne sait pas résoudre toutes les équations différentielles. On se concentre dans ce chapitre sur deux types d’équations : les équations différentielles linéaires du premier ordre et celles du second ordre à coefficients constants.
Définition 2.2
- Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme a_0(x)y+a_1(x)y'+\dots+a_n(x)y^{(n)}=g(x) où les a_i et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I\subset\mathbb{R}. Le terme linéaire signifie grosso modo qu’il n’y a pas d’exposant pour les termes y,y',y'',\ldots
- Une équation différentielle linéaire est homogène (ou sans second membre) si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle : a_0(x)y+a_1(x)y'+\dots+a_n(x)y^{(n)}=0
- Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions a_i ci-dessus sont constantes : a_0y+a_1y'+\dots+a_ny^{(n)}=g(x)
Exemple 2.4
- y'+5xy=e^x est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.
- y'+5xy=0 est l’équation différentielle homogène associée à la précédente.
- 2y''-3y'+5y=0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre.
- y'^2-y=x ou y''\cdot y'-y=0 ne sont pas des équations différentielles linéaires.
Proposition 2.1 — (Principe de linéarité)
Si y_1 et y_2 sont solutions de l’équation différentielle linéaire homogène a_0(x)y+a_1(x)y'+\dots+a_n(x)y^{(n)}=0 \qquad (E_0) alors, quels que soient \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda y_1+\mu y_2 est aussi solution de cette équation.
C’est une simple vérification. On peut reformuler la proposition en disant que l’ensemble des solutions forme un espace vectoriel.
Pour résoudre une équation différentielle linéaire avec second membre a_0(x)y+a_1(x)y'+\dots+a_n(x)y^{(n)}=g(x) \qquad (E) on décompose souvent la résolution en deux étapes :
- trouver une solution particulière y_0 de l’équation (E) ;
- trouver l’ensemble \mathcal{S}_h des solutions y de l’équation homogène associée (E_0).
Proposition 2.2 — (Principe de superposition)
L’ensemble des solutions \mathcal{S} de (E) est formé des y_0+y \quad \text{avec} \quad y\in\mathcal{S}_h.
Autrement dit, on trouve toutes les solutions en ajoutant une solution particulière aux solutions de l’équation homogène. C’est une conséquence immédiate du caractère linéaire des équations.
Exercice 2.1
- Chercher une solution « simple » de l’équation différentielle y'=2y. Même question avec y''=-y ; y''+\cos(2x)=0 ; xy''=y'.
- Résoudre l’équation différentielle à variables séparées y'y^2=x. Même question avec y'=y\ln x ; y'=\frac{1}{y^n} (n\geq 1).
- Soit l’équation y'=y(1-y). Montrer que si y est une solution non nulle de cette équation, alors z=2y n’est pas solution. Que peut-on en conclure ?
2 Équation différentielle linéaire du premier ordre
Définition 3.1
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y'=a(x)y+b(x) \qquad (E) où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de \mathbb{R}.
Dans la suite on supposera que a et b sont des fonctions continues sur I. On peut envisager la forme \alpha(x)y'+\beta(x)y=\gamma(x) ; on demandera alors que \alpha(x)\neq 0 pour tout x\in I, et la division par \alpha permet de retrouver la forme (E).
On va commencer par résoudre le cas où a est une constante et b=0, puis a sera une fonction (et toujours b=0), et on terminera par le cas général où a et b sont deux fonctions.
2.1 y'=ay
Théorème 3.1
Soit a un réel. Les solutions sur \mathbb{R} de l’équation différentielle y'=ay \qquad (E) sont les fonctions y définies par : \boxed{y(x)=ke^{ax}} où k\in\mathbb{R} est une constante quelconque.
Ce résultat est fondamental. Il est tout aussi fondamental de comprendre d’où vient cette formule, via une preuve rapide (mais pas tout à fait rigoureuse). On réécrit l’équation sous la forme \frac{y'}{y}=a, que l’on intègre à gauche et à droite : \ln|y(x)|=ax+b. On compose par l’exponentielle des deux côtés : |y(x)|=e^{ax+b}, autrement dit y(x)=\pm e^b e^{ax}. En posant k=\pm e^b on obtient les solutions (non nulles) cherchées. Une preuve rigoureuse suit juste après.
Exemple 3.1
Résoudre l’équation différentielle 3y'-5y=0. On écrit cette équation sous la forme y'=\frac53 y. Ses solutions sur \mathbb{R} sont donc de la forme y(x)=ke^{\frac53 x}, où k\in\mathbb{R}.
Remarque.
- L’équation (E) admet donc une infinité de solutions (puisque l’on a une infinité de choix de la constante k).
- La constante k peut être nulle : on obtient la « solution nulle » y=0 sur \mathbb{R}, qui est une solution évidente de l’équation.
- Le théorème peut aussi s’interpréter ainsi : si y_0 est une solution non identiquement nulle de (E), alors toutes les autres solutions y sont des multiples de y_0. En termes plus savants, l’ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension 1 (une droite vectorielle).
Preuve.
- On vérifie que les fonctions proposées sont bien solutions de (E) : pour y(x)=ke^{ax}, on a y'(x)=ake^{ax}=ay(x).
- Montrons que ce sont les seules solutions. Soit y une solution quelconque de (E) sur \mathbb{R}. Considérons la fonction z définie par z(x)=y(x)e^{-ax}. Alors, par la formule de dérivation d’un produit : z'(x)=y'(x)e^{-ax}+y(x)\left(-ae^{-ax}\right)=e^{-ax}\left(y'(x)-ay(x)\right) Mais y est solution de (E), donc y'(x)-ay(x)=0. On en déduit que z'(x)=0 pour tout réel x : z est constante sur \mathbb{R}, il existe une constante k telle que z(x)=k pour tout x. D’où y(x)e^{-ax}=k, donc y(x)=ke^{ax}.
2.2 y'=a(x)y
Le théorème suivant affirme que, lorsque a est une fonction, résoudre l’équation y'=a(x)y revient à déterminer une primitive A de a (ce qui n’est pas toujours possible explicitement).
Théorème 3.2
Soit a:I\to\mathbb{R} une fonction continue et A:I\to\mathbb{R} une primitive de a. Les solutions sur I de l’équation différentielle y'=a(x)y \qquad (E) sont les fonctions y définies par : \boxed{y(x)=ke^{A(x)}} où k\in\mathbb{R} est une constante quelconque.
Si a(x)=a est constante, une primitive est par exemple A(x)=ax et on retrouve le théorème précédent. Preuve rapide : \frac{y'}{y}=a(x) \iff \ln|y(x)|=A(x)+b \iff |y(x)|=e^{A(x)+b} \iff y(x)=ke^{A(x)} \ (k=\pm e^b)
Preuve rigoureuse (on évite de diviser par quelque chose qui pourrait être nul) :
Preuve. \begin{array}{rl} & y(x) \text{ solution de } (E) \\ \iff & y'(x)-a(x)y(x)=0 \\ \iff & e^{-A(x)}\left(y'(x)-a(x)y(x)\right)=0 \\ \iff & \left(y(x)e^{-A(x)}\right)'=0 \\ \iff & \exists k\in\mathbb{R} \quad y(x)e^{-A(x)}=k \\ \iff & \exists k\in\mathbb{R} \quad y(x)=ke^{A(x)} \end{array}
Exemple 3.2
Comment résoudre l’équation différentielle x^2y'=y ? On se place sur I_+=]0,+\infty[ ou I_-=]-\infty,0[. L’équation devient y'=\frac{1}{x^2}y. Donc a(x)=\frac{1}{x^2}, dont une primitive est A(x)=-\frac1x. Ainsi les solutions cherchées sont y(x)=ke^{-\frac1x}, où k\in\mathbb{R}.
2.3 y'=a(x)y+b(x)
Il nous reste le cas général de l’équation linéaire d’ordre 1 avec second membre : y'=a(x)y+b(x) \qquad (E) où a,b:I\to\mathbb{R} sont continues. L’équation homogène associée est : y'=a(x)y \qquad (E_0) Il n’y a pas de nouvelle formule à apprendre : il suffit d’appliquer le principe de superposition.
Proposition 3.1
Si y_0 est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont les fonctions y:I\to\mathbb{R} définies par : y(x)=y_0(x)+ke^{A(x)} \qquad (k\in\mathbb{R}) où x\mapsto A(x) est une primitive de x\mapsto a(x).
La recherche de la solution générale se réduit donc à celle d’une solution particulière, parfois en remarquant une solution évidente. Par exemple y'=2xy+4x a pour solution particulière y_0(x)=-2 ; donc les solutions sont les y(x)=-2+ke^{x^2}, k\in\mathbb{R}.
Exemple 3.3
Soit l’équation y'+y=e^x+1. L’équation homogène est y'=-y, dont les solutions sont les y(x)=ke^{-x}, k\in\mathbb{R}. Cherchons une solution particulière avec la variation de la constante : y_0(x)=k(x)e^{-x}. \begin{array}{rcl} && y_0'+y_0=e^x+1 \\ &\iff & \left(k'(x)e^{-x}-k(x)e^{-x}\right)+k(x)e^{-x}=e^x+1 \\ &\iff & k'(x)e^{-x}=e^x+1 \\ &\iff & k'(x)=e^{2x}+e^x \\ &\iff & k(x)=\frac12 e^{2x}+e^x+c \end{array} On fixe c=0 : y_0(x)=\left(\frac12 e^{2x}+e^x\right)e^{-x}=\frac12 e^{x}+1. Les solutions générales de l’équation sont : y(x)=\frac12 e^{x}+1+ke^{-x}, \qquad k\in\mathbb{R}.
2.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème 3.3 — (Théorème de Cauchy-Lipschitz)
Soit y'=a(x)y+b(x) une équation différentielle linéaire du premier ordre, où a,b:I\to\mathbb{R} sont continues sur un intervalle ouvert I. Alors, pour tout x_0\in I et pour tout y_0\in\mathbb{R}, il existe une et une seule solution y telle que y(x_0)=y_0.
D’après nos calculs précédents, cette solution est : y(x)=\left(\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)}\,dt\right)e^{A(x)}+y_0e^{A(x)} où A est la primitive de a s’annulant en x_0, et cette solution vérifie bien y(x_0)=y_0.
Exemple 3.4
Trouver la solution de y'+y=e^x+1 vérifiant y(1)=2. Toutes les solutions sont y(x)=\frac12 e^{x}+1+ke^{-x}. On détermine k : y(1)=2 \iff \frac12 e+1+ke^{-1}=2 \iff \frac{k}{e}=1-\frac{e}{2} \iff k=e-\frac{e^2}{2} Ainsi la solution cherchée est y(x)=\frac12 e^{x}+1+\left(e-\frac{e^2}{2}\right)e^{-x}, et c’est la seule.
2.5 Courbes intégrales
Définition 3.2
Une courbe intégrale d’une équation différentielle (E) est le graphe d’une solution de (E).
Le théorème de Cauchy-Lipschitz se reformule ainsi : « Par chaque point (x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R} passe une et une seule courbe intégrale. »
Exemple 3.5
Les solutions de l’équation y'+y=x sont les y(x)=x-1+ke^{-x}, k\in\mathbb{R}, définies sur I=\mathbb{R}. Pour chaque point (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2, il existe une unique solution y telle que y(x_0)=y_0 ; le graphe de cette solution est la courbe intégrale passant par (x_0,y_0).
2.6 Exemples
Exemple 3.6
On considère l’équation différentielle (E) : x^3y'+(2-3x^2)y=x^3.
- Résoudre (E) sur ]0,+\infty[ et ]-\infty,0[.
- Peut-on trouver une solution sur \mathbb{R} ?
- Trouver la solution sur ]0,+\infty[ vérifiant y(1)=0.
Correction.
- Équation homogène (E_0) : pour x\neq 0, y'=-\frac{2-3x^2}{x^3}y. La solution générale de (E_0) est y(x)=ke^{\int -\frac{2-3x^2}{x^3}\,dx}=ke^{3\ln|x|}e^{1/x^2}=k|x|^3e^{1/x^2}. Donc sur ]0,+\infty[ : y(x)=k_1x^3e^{1/x^2} ; sur ]-\infty,0[ : y(x)=k_2x^3e^{1/x^2}. Équation avec second membre par variation de la constante : on cherche y(x)=k(x)x^3e^{1/x^2}. En dérivant et en remplaçant, on obtient k'(x)x^3e^{1/x^2}=1, donc k(x)=\int\frac{e^{-1/x^2}}{x^3}\,dx=\frac12 e^{-1/x^2}+c ; d’où une solution particulière y_0(x)=\frac12 x^3. Solution générale sur ]0,+\infty[ : y(x)=\frac12 x^3+k_1x^3e^{1/x^2} ; sur ]-\infty,0[ : y(x)=\frac12 x^3+k_2x^3e^{1/x^2}.
- x^3e^{1/x^2} tend vers +\infty (resp. -\infty) lorsque x\to 0^+ (resp. 0^-), donc pour k_1 ou k_2 non nul, y ne peut pas être prolongée par continuité en 0. Pour k_1=k_2=0, y(x)=\frac12 x^3 est continue et dérivable sur \mathbb{R} : c’est la seule solution sur \mathbb{R}.
- Avec y(1)=0 : y(1)=\frac12+ke=0, donc k=-\frac{1}{2e}, et y(x)=\frac12 x^3-\frac{1}{2e}x^3e^{1/x^2}.
Exemple 3.7
Résoudre x(1+x)y'-(x+2)y=2x.
- Équation homogène. Pour x\neq 0 et x\neq -1 : y'=\frac{x+2}{x(1+x)}y. La décomposition en éléments simples est a(x)=\frac{x+2}{x(1+x)}=\frac{2}{x}-\frac{1}{1+x} ; une primitive est A(x)=2\ln|x|-\ln|x+1|. La solution générale de l’équation homogène est : y(x)=ke^{A(x)}=ke^{\ln\frac{x^2}{|x+1|}}=k\frac{x^2}{|x+1|}=\pm k\frac{x^2}{x+1} soit y(x)=k\frac{x^2}{x+1} sur ]-\infty,-1[ ou sur ]-1,+\infty[.
- Solution particulière. On cherche y_0(x)=k(x)\frac{x^2}{x+1}. En remplaçant, on obtient k'(x)x^3=2x, donc pour x\neq 0, k'(x)=\frac{2}{x^2} et k(x)=-\frac{2}{x}. D’où la solution générale : y(x)=-\frac{2x}{x+1}+k\frac{x^2}{x+1} définie sur ]-\infty,-1[ ou ]-1,+\infty[.
- Solution définie sur \mathbb{R} ? y(x)=\frac{x(kx-2)}{x+1}. Pour k\neq -2, on ne peut pas prolonger y en -1. Pour k=-2, on obtient une solution définie sur \mathbb{R} : y=-2x.
Exercice 3.1
- Résoudre y'+y\ln 2=0. Tracer les courbes intégrales. Trouver la solution vérifiant y(1)=\frac12.
- Résoudre 2y'+3y=5. Trouver la solution vérifiant y(0)=-\frac13. Tracer la courbe intégrale.
- Trouver une solution évidente, puis résoudre 2xy'+y=1. Trouver la solution vérifiant y(1)=2. Même travail avec xy'-y=x^2.
- Par la méthode de variation de la constante, trouver une solution particulière de y'-2xy=3xe^{x^2}. Même travail avec y'+2y=\sin(3x)e^{-2x}.
3 Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
3.1 Définition
Une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, est une équation de la forme ay''+by'+cy=g(x) \qquad (E) où a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq 0, et g est une fonction continue sur un intervalle ouvert I. L’équation ay''+by'+cy=0 \qquad (E_0) est appelée l’équation homogène associée à (E). La structure des solutions est très simple :
Théorème 4.1
L’ensemble des solutions de l’équation homogène (E_0) est un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 2.
Nous admettons ce résultat.
3.2 Équation homogène
On cherche une solution de (E_0) sous la forme y(x)=e^{rx}, où r\in\mathbb{C} est une constante à déterminer : ay''+by'+cy=0 \iff (ar^2+br+c)e^{rx}=0 \iff ar^2+br+c=0
Définition 4.1
L’équation ar^2+br+c=0 est appelée l’équation caractéristique associée à (E_0).
Soit \Delta=b^2-4ac le discriminant de l’équation caractéristique.
Théorème 4.2
- Si \Delta>0, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r_1\neq r_2 et les solutions de (E_0) sont les \boxed{y(x)=\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x} \quad \text{où } \lambda,\mu\in\mathbb{R}.}
- Si \Delta=0, l’équation caractéristique possède une racine double r_0 et les solutions de (E_0) sont les \boxed{y(x)=(\lambda+\mu x)e^{r_0x} \quad \text{où } \lambda,\mu\in\mathbb{R}.}
- Si \Delta<0, l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées r_1=\alpha+i\beta, r_2=\alpha-i\beta et les solutions de (E_0) sont les \boxed{y(x)=e^{\alpha x}\left(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x)\right) \quad \text{où } \lambda,\mu\in\mathbb{R}.}
Exemple 4.1
- Résoudre sur \mathbb{R} : y''-y'-2y=0. L’équation caractéristique est r^2-r-2=0, qui s’écrit (r+1)(r-2)=0 (\Delta>0). D’où y(x)=\lambda e^{-x}+\mu e^{2x}, \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
- Résoudre sur \mathbb{R} : y''-4y'+4y=0. L’équation caractéristique est r^2-4r+4=0, soit (r-2)^2=0 (\Delta=0). D’où y(x)=(\lambda x+\mu)e^{2x}, \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
- Résoudre sur \mathbb{R} : y''-2y'+5y=0. L’équation caractéristique est r^2-2r+5=0, qui admet deux racines complexes conjuguées r_1=1+2i et r_2=1-2i (\Delta<0). D’où y(x)=e^x(\lambda\cos(2x)+\mu\sin(2x)), \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
Preuve. La preuve consiste à trouver deux solutions linéairement indépendantes, qui forment alors une base d’après le théorème de la dimension 2 (admis).
- Si \Delta>0 : deux racines réelles distinctes r_1,r_2 donnent deux solutions y_1=e^{r_1x}, y_2=e^{r_2x}, linéairement indépendantes car r_1\neq r_2 ; une base est \{e^{r_1x},e^{r_2x}\}.
- Si \Delta=0 : racine double r_0 ; on obtient y_1=e^{r_0x} et on vérifie que y_2=xe^{r_0x} est aussi solution : ay_2''+by_2'+cy_2=(2ar_0+ar_0^2x)e^{r_0x}+(b+br_0x)e^{r_0x}+cxe^{r_0x}=(2ar_0+b)e^{r_0x}=0 car 2ar_0+b=P'(r_0)=0, où P(r)=ar^2+br+c. Une base est \{e^{r_0x},xe^{r_0x}\}.
- Si \Delta<0 : racines conjuguées r_1=\alpha+i\beta, r_2=\alpha-i\beta ; les solutions complexes Y_1=e^{(\alpha+i\beta)x}, Y_2=e^{(\alpha-i\beta)x} donnent, par parties réelles et imaginaires, deux solutions réelles y_1=e^{\alpha x}\cos(\beta x), y_2=e^{\alpha x}\sin(\beta x), linéairement indépendantes. Une base est \{e^{\alpha x}\cos(\beta x),e^{\alpha x}\sin(\beta x)\}.
3.3 Équation avec second membre
Nous passons au cas général avec un second membre g continu sur un intervalle ouvert I : ay''+by'+cy=g(x) \qquad (E)
Théorème 4.3 — (Théorème de Cauchy-Lipschitz)
Pour chaque x_0\in I et chaque couple (y_0,y_1)\in\mathbb{R}^2, l’équation (E) admet une unique solution y sur I satisfaisant aux conditions initiales : \boxed{y(x_0)=y_0 \quad \text{et} \quad y'(x_0)=y_1.}
Dans la pratique, on cherche d’abord les solutions de l’équation homogène, puis une solution particulière de l’équation avec second membre, et on applique le principe de superposition :
Proposition 4.1
Les solutions générales de (E) s’obtiennent en ajoutant les solutions générales de l’équation homogène (E_0) à une solution particulière de (E).
3.4 Recherche d’une solution particulière
On donne deux cas particuliers importants et une méthode générale.
Second membre du type e^{\alpha x}P(x). Si g(x)=e^{\alpha x}P(x), avec \alpha\in\mathbb{R} et P\in\mathbb{R}[X], on cherche une solution particulière sous la forme y_0(x)=e^{\alpha x}x^{m}Q(x), où Q est un polynôme de même degré que P, avec :
- y_0(x)=e^{\alpha x}Q(x) (m=0), si \alpha n’est pas une racine de l’équation caractéristique ;
- y_0(x)=xe^{\alpha x}Q(x) (m=1), si \alpha est une racine simple ;
- y_0(x)=x^2e^{\alpha x}Q(x) (m=2), si \alpha est une racine double.
Second membre du type e^{\alpha x}\big(P_1(x)\cos(\beta x)+P_2(x)\sin(\beta x)\big). On cherche une solution particulière sous la forme :
- y_0(x)=e^{\alpha x}\big(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x)\big), si \alpha+i\beta n’est pas une racine de l’équation caractéristique ;
- y_0(x)=xe^{\alpha x}\big(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x)\big), si \alpha+i\beta est une racine.
Dans les deux cas, Q_1 et Q_2 sont deux polynômes de degré n=\max\{\deg P_1,\deg P_2\}.
Exemple 4.2
Résoudre : (E_0)\ \ y''-5y'+6y=0 \qquad (E_1)\ \ y''-5y'+6y=4xe^x \qquad (E_2)\ \ y''-5y'+6y=4xe^{2x} Trouver la solution de (E_1) vérifiant y(0)=1 et y'(0)=0.
- Équation (E_0). L’équation caractéristique est r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0, avec deux racines distinctes r_1=2, r_2=3. L’ensemble des solutions est \{\lambda e^{2x}+\mu e^{3x} \mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}.
- Équation (E_1).
- On cherche une solution particulière sous la forme y_0(x)=(ax+b)e^x. En injectant : \begin{array}{rl} & (ax+2a+b)e^x-5(ax+a+b)e^x+6(ax+b)e^x=4xe^x \\ \iff & (a-5a+6a)x+2a+b-5(a+b)+6b=4x \\ \iff & 2a=4 \ \text{ et } \ -3a+2b=0 \\ \iff & a=2 \ \text{ et } \ b=3 \end{array} Donc y_0(x)=(2x+3)e^x.
- L’ensemble des solutions de (E_1) est \{(2x+3)e^x+\lambda e^{2x}+\mu e^{3x} \mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}.
- Conditions initiales : 3+\lambda+\mu=1 et 5+2\lambda+3\mu=0, donc \lambda=-1, \mu=-1, c’est-à-dire y(x)=(2x+3)e^{x}-e^{2x}-e^{3x}.
- Équation (E_2). Comme 2 est racine de l’équation caractéristique, on cherche y_0(x)=x(ax+b)e^{2x}. On obtient y_0(x)=x(-2x-4)e^{2x}.
Méthode de variation des constantes. Si \{y_1,y_2\} est une base de solutions de (E_0), on cherche une solution particulière sous la forme y_0=\lambda y_1+\mu y_2, mais cette fois \lambda et \mu sont deux fonctions vérifiant : (S) \qquad \begin{cases} \lambda'y_1+\mu'y_2=0 \\ \lambda'y_1'+\mu'y_2'=\dfrac{g(x)}{a}\end{cases}
Pourquoi ? Si y_0=\lambda y_1+\mu y_2 est une telle fonction, alors : y_0'=\lambda'y_1+\mu'y_2+\lambda y_1'+\mu y_2'=\lambda y_1'+\mu y_2' y_0''=\lambda'y_1'+\mu'y_2'+\lambda y_1''+\mu y_2''=\frac{g(x)}{a}+\lambda y_1''+\mu y_2'' Ainsi l’équation (E) est vérifiée par y_0 : ay_0''+by_0'+cy_0=g(x)+\lambda\left(ay_1''+by_1'+cy_1\right)+\mu\left(ay_2''+by_2'+cy_2\right)=g(x) (on utilise le fait que y_1 et y_2 sont solutions de l’équation homogène). Le système (S) se résout facilement, ce qui donne \lambda' et \mu', puis \lambda et \mu par intégration.
Exemple 4.3
Résoudre, sur ]-\frac\pi2,+\frac\pi2[ : y''+y=\frac{1}{\cos x} Les solutions de l’équation homogène y''+y=0 sont \lambda\cos x+\mu\sin x. On cherche une solution particulière sous la forme y_0(x)=\lambda(x)\cos x+\mu(x)\sin x, où (\lambda,\mu) vérifient (S) : \begin{cases} \lambda'\cos x+\mu'\sin x=0 \\ -\lambda'\sin x+\mu'\cos x=\frac{1}{\cos x}\end{cases} En multipliant la première ligne par \sin x et la seconde par \cos x, puis en sommant : \mu'=1. Ainsi \mu(x)=x, et la première ligne donne \lambda'=-\frac{\sin x}{\cos x}, donc \lambda(x)=\ln(\cos x). On vérifie que y_0(x)=\ln(\cos x)\cos x+x\sin x est solution. Ainsi les fonctions solutions sont de la forme : \lambda\cos x+\mu\sin x+\ln(\cos x)\cos x+x\sin x, \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
Exercice 4.1
- Résoudre y''+\omega^2y=0. Trouver la solution vérifiant y(0)=1 et y'(0)=1. Tracer la courbe intégrale. Résoudre y''+\omega^2y=\sin(\omega x).
- Résoudre y''+y'-6y=0. Trouver la solution vérifiant y(-1)=1 et y'(-1)=0. Résoudre y''+y'-6y=e^x.
- Résoudre 2y''-2y'+\frac12 y=0. Trouver la solution ayant une limite finie lorsque x\to+\infty. Résoudre 2y''-2y'+\frac12 y=x-1.
4 Problèmes conduisant à des équations différentielles
4.1 Parachutiste
Revenons sur l’exemple du parachutiste : sa vitesse verticale vérifie \frac{dv(t)}{dt}=g-fv(t) où g (constante de gravitation) et f (coefficient de frottement) sont des constantes.
- Équation homogène. Les solutions de v'(t)=-fv(t) sont les v(t)=ke^{-ft}, k\in\mathbb{R}.
- Solution particulière. On cherche v_p(t)=k(t)e^{-ft} : v_p'(t)=k'(t)e^{-ft}-fk(t)e^{-ft} ; v_p est solution si et seulement si k'(t)e^{-ft}=g. Ainsi k'(t)=ge^{ft} donc, par exemple, k(t)=\frac{g}{f}e^{ft}, et v_p(t)=\frac{g}{f}.
- Solutions générales. v(t)=\frac{g}{f}+ke^{-ft}, k\in\mathbb{R}.
- Condition initiale. Si à t=0 le parachute se lance avec une vitesse nulle, v(0)=0 : v(t)=\frac{g}{f}-\frac{g}{f}e^{-ft}
- Vitesse limite. Lorsque t\to+\infty, v(t)\to v_\infty=\frac{g}{f}, qui représente la vitesse limite que le parachutiste ne peut dépasser. Expérimentalement, v_\infty\approx 5 m/s (soit environ 20 km/h), et comme g\approx 9{,}81 m/s², cela permet de calculer le coefficient de frottement f.
- Position. Comme v(t)=\frac{dx(t)}{dt}, trouver la position revient à trouver une primitive de v : x(t)=\frac{g}{f}t+\frac{g}{f^2}\left(e^{-ft}-1\right) en prenant comme convention x(0)=0.
Ceci n’est bien sûr qu’un modèle, mais il permet de mettre en évidence des propriétés vérifiées par les conditions expérimentales, comme la vitesse limite par exemple.
4.2 Demi-vie
Dans un tissu radioactif, la vitesse de désintégration des noyaux est proportionnelle au nombre N(t) de noyaux présents à l’instant t. Il existe donc une constante \lambda>0 telle que : N'(t)=-\lambda N(t) Le signe « - » traduit la décroissance du nombre de noyaux. Si N_0 désigne le nombre de noyaux à l’instant initial : N(t)=N_0e^{-\lambda t}
- Le temps caractéristique, noté \tau, est défini par \tau=\frac{1}{\lambda}. Si (T) désigne la tangente à l’origine de la courbe (C) de N, alors \tau est l’abscisse du point d’intersection de (T) avec l’axe du temps : en effet, une équation de (T) est y=N'(0)t+N(0)=-\lambda N_0t+N_0, et pour t=\tau on a bien y=0. Plus le temps caractéristique est petit, plus la vitesse de désintégration initiale est élevée.
- La période de demi-vie, notée \tau_{1/2}, est la période au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés : N(\tau_{1/2})=\frac{N_0}{2}. Donc N_0e^{-\lambda\tau_{1/2}}=\frac{N_0}{2}, d’où \lambda\tau_{1/2}=\ln 2. Ainsi : \tau_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\tau\ln 2 On peut aussi exprimer N(t) en fonction de la période de demi-vie : N(t)=N_0e^{-\lambda t}=N_0e^{-\frac{t}{\tau}}=N_0e^{-\frac{t}{\tau_{1/2}}\ln 2}=N_0\,2^{-\frac{t}{\tau_{1/2}}} Notez que \tau_{1/2} ne dépend pas de N_0, et c’est bien le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux se désintègrent, quel que soit l’instant initial : N(t+\tau_{1/2})=N_0\,2^{-\frac{t+\tau_{1/2}}{\tau_{1/2}}}=N_0\,2^{-\frac{t}{\tau_{1/2}}-1}=\frac12 N_0\,2^{-\frac{t}{\tau_{1/2}}}=\frac{N(t)}{2}
4.3 Modèles d’évolution
On considère une culture de bactéries en milieu clos ; N_0 est le nombre de bactéries introduites à t=0.
Loi de Malthus. Un premier modèle suppose que la vitesse d’accroissement est proportionnelle au nombre de bactéries en présence : N(t) vérifie y'=ay, où a>0 est une constante. Nous savons résoudre cette équation : N(t)=N_0e^{at}. Le milieu étant limité (volume, éléments nutritifs, …), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle : ce modèle ne peut s’appliquer sur une longue période.
Modèle de Verhulst. Pour tenir compte de ces observations, on suppose que N(t) vérifie y'=ay(M-y) \qquad (E) où a>0 et M>0 sont des constantes. On cherche les solutions y telles que y(t)>0 pour t\in I=[0,+\infty[.
- Changement de fonction. On pose z(x)=\frac{1}{y(x)}. La fonction z est dérivable sur I et : z'=-\frac{y'}{y^2}=\frac{ay(y-M)}{y^2}=a-\frac{aM}{y}=a-aMz
- Solutions z. Ainsi z vérifie z'=a-aMz, équation linéaire d’ordre 1 à coefficients constants avec second membre constant ; pour tout x\in I : z(x)=ke^{-aMx}+\frac1M, \qquad k\in\mathbb{R}
- Solutions y. Cela permet d’obtenir : y(x)=\frac{1}{z(x)}=\frac{1}{ke^{-aMx}+\frac1M}=\frac{M}{kMe^{-aMx}+1} La constante k est déterminée par la condition initiale y(0)=\frac{M}{kM+1}=N_0, ainsi k=\frac{1}{N_0}-\frac{1}{M}.
- Exemple. Avec N_0=0{,}01 (en million de bactéries), M=1, a=1 : k=99. Ainsi selon ce modèle : N(t)=\frac{1}{1+99e^{-t}} Il est clair que 0<N(t)<1 pour tout t\geq 0, et N(t)\to 1 lorsque t\to+\infty. Pour les variations de N, nul besoin de calculs : N est solution de (E), donc N'(t)=N(t)(1-N(t))>0, donc N est croissante.
Le modèle de Verhulst a l’avantage de bien faire apparaître un comportement asymptotique particulier : le nombre de bactéries finit par se stabiliser.
4.4 Masse attachée à un ressort
Une masse est attachée à un ressort. Les forces qui s’appliquent à cette masse sont : un poids \vec P, une réaction \vec R=-\vec P, une force de rappel \vec T, une force de frottement \vec F.
Principe fondamental de la mécanique. \vec P+\vec R+\vec T+\vec F=m\vec a. La réaction s’opposant au poids, \vec P+\vec R=\vec 0, et l’équation devient : \vec T+\vec F=m\vec a
Force de rappel. Horizontale, nulle à la position d’équilibre (origine x=0), elle pointe toujours vers la position d’équilibre. On la modélise par \vec T=-kx\,\vec i où x est la position de la masse et k>0 une constante qui dépend du ressort.
Oscillations sans frottements. Si \vec F=\vec 0, le principe fondamental sur l’axe horizontal s’écrit : -kx(t)=m\frac{d^2x(t)}{dt^2} Il s’agit de résoudre y''+\frac{k}{m}y=0. L’équation caractéristique est r^2+\frac{k}{m}=0, de solutions r_{1,2}=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}} (\Delta<0, \alpha=0, \beta=\sqrt{\frac{k}{m}}). Les solutions sont : x(t)=\lambda\cos\left(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\right)+\mu\sin\left(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\right), \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}
Exemple 5.1
On lâche la masse au point d’abscisse 1, sans vitesse initiale : x(0)=1 et x'(0)=0. Comme x(0)=1, \lambda=1 ; comme x'(0)=0, \mu=0. On trouve une solution périodique : x(t)=\cos\left(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\right)
Oscillations avec faibles frottements. On rajoute une force de frottement \vec F=-fm\frac{dx(t)}{dt}, proportionnelle à la vitesse et s’opposant au déplacement. Le principe fondamental devient : -kx(t)-fm\frac{dx(t)}{dt}=m\frac{d^2x(t)}{dt^2} Il s’agit de résoudre y''+fy'+\frac{k}{m}y=0. L’équation caractéristique est r^2+fr+\frac{k}{m}=0, de discriminant \Delta=f^2-4\frac{k}{m}. Supposons le frottement faible : \Delta<0. On note \delta=\sqrt{|\Delta|}=\sqrt{4\frac{k}{m}-f^2} ; les racines sont \alpha\pm i\beta avec \alpha=-\frac{f}{2} et \beta=\frac{\delta}{2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{f^2}{4}}. Les solutions sont : x(t)=e^{-\frac{f}{2}t}\left(\lambda\cos\left(\tfrac{\delta}{2}t\right)+\mu\sin\left(\tfrac{\delta}{2}t\right)\right), \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R} Cette fois la solution n’est plus périodique : c’est un mouvement oscillant amorti, qui tend vers la position d’équilibre x=0.
Exercice 5.1
- Un circuit électrique constitué d’un condensateur de capacité C se décharge dans une résistance R. Calculer l’évolution de la charge électrique qui vérifie q(t)=-RC\frac{dq(t)}{dt}.
- Calculer et tracer les solutions du système masse-ressort pour différents niveaux de frottements.
- Une tasse de café de température T_0=100 °C est posée dans une pièce de température T_\infty=20 °C. La loi de Newton affirme que la vitesse de décroissance de la température \frac{dT(t)}{dt} est proportionnelle à l’écart T(t)-T_\infty. Sachant qu’au bout de 3 minutes la température du café est passée à 80 °C, combien de temps faudra-t-il pour avoir un café à 65 °C ?