TD — Calcul algébrique

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 03. Sommes simples et doubles, produits, factorielles, coefficients binomiaux, binôme de Newton.

Exercice 1

Calculer les sommes suivantes :

  1. \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
  2. \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. \sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1} - 1
  4. \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}

Indications : - (1) et (2) : par récurrence. - (3) : somme géométrique. - (4) : décomposer \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Exercice 2

Calculer les sommes doubles suivantes :

  1. \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1
  2. \sum_{1 \leq i < j \leq n} ij
  3. \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \min(i, j)

Indications : - (1) \sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2}. - (2) Utiliser \sum_{1 \leq i < j \leq n} ij = \frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2 - \sum_{i=1}^n i^2\right].

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :

  1. (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} (binôme de Newton).
  2. \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.
  3. \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0 pour n \geq 1.

Indications : - (2) Prendre a = b = 1 dans le binôme de Newton. - (3) Prendre a = 1, b = -1 dans le binôme de Newton.

Exercice 4

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N} et tout k \in \{0, \ldots, n\} :

  1. \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} (symétrie).
  2. \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} (formule de Pascal).
  3. \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} (identité de Vandermonde).

Indications : - (3) Utiliser le coefficient de x^n dans (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}.

Exercice 5

Calculer les produits suivants :

  1. \prod_{k=1}^n k = n!
  2. \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{1}{k}\right)
  3. \prod_{k=1}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)

Indications : - (2) \prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k} = n+1 (produit télescopique). - (3) \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdots \frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n} = \frac{n+1}{2n}.

Exercice 6

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} pour k \geq 1.
  2. \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1}.
  3. \sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} = n(n+1) \cdot 2^{n-2} pour n \geq 2.

Indications : - (2) Dériver (1+x)^n = \sum \binom{n}{k} x^k et prendre x = 1. - (3) Dériver deux fois et prendre x = 1.

Exercice 7

Calculer \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{k+1}.

Indication : \frac{1}{k+1}\binom{n}{k} = \frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}. La somme vaut \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.

Exercice 8

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+1}

Indication : Intégrer (1-x)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} x^k entre 0 et 1.

Exercice 9

Soient n, p \in \mathbb{N} avec p \leq n. Montrer que : \sum_{k=p}^n \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}

Indication : Utiliser la formule de Pascal \binom{k}{p} = \binom{k+1}{p+1} - \binom{k}{p+1} et sommer (télescopage).

Exercice 10

Calculer \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{n-k}.

Indication : Par symétrie \binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}, donc la somme est \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} (identité de Vandermonde).

Cours

Chapitre 03 : Calcul algébrique