TD — Ensembles et applications

Chapitre 02

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 02. Inclusion, produit cartésien, ensemble des parties, injections, surjections, bijections, relations d’équivalence.

Exercice 1

Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que :

  1. A \subset B et B \subset C impliquent A \subset C.
  2. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).
  3. A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C).
  4. A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C).

Exercice 2

Soit E un ensemble et A, B \in \mathcal{P}(E). Montrer que :

  1. \mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B).
  2. \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B).
  3. L’inclusion en (2) est stricte en général. Donner un contre-exemple.

Indication : - (3) E = \{1, 2\}, A = \{1\}, B = \{2\}. Alors \{1, 2\} \in \mathcal{P}(A \cup B) mais \{1, 2\} \notin \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).

Exercice 3

Soient E et F deux ensembles finis avec |E| = n et |F| = p. Déterminer le nombre :

  1. d’applications de E dans F ;
  2. d’injections de E dans F (si n \leq p) ;
  3. de bijections de E dans F (si n = p) ;
  4. de surjections de E dans F (si n \geq p).

Exercice 4

Soit f : E \to F une application. Montrer que :

  1. f est injective \iff \forall A, B \in \mathcal{P}(E),\; f(A \cap B) = f(A) \cap f(B).
  2. f est surjective \iff \forall B \in \mathcal{P}(F),\; f(f^{-1}(B)) = B.
  3. f est injective \iff \forall A \in \mathcal{P}(E),\; f^{-1}(f(A)) = A.

Exercice 5

Soient f : E \to F et g : F \to G deux applications. Montrer que :

  1. Si f et g sont injectives, alors g \circ f est injective.
  2. Si f et g sont surjectives, alors g \circ f est surjective.
  3. Si g \circ f est injective, alors f est injective.
  4. Si g \circ f est surjective, alors g est surjective.

Exercice 6

Soient f : E \to F et g : F \to E deux applications telles que g \circ f = \mathrm{Id}_E. Montrer que :

  1. f est injective.
  2. g est surjective.
  3. Si de plus f \circ g = \mathrm{Id}_F, alors f est bijective et f^{-1} = g.

Exercice 7

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \frac{x}{1 + |x|}.

  1. Montrer que f est injective.
  2. Montrer que f n’est pas surjective.
  3. Montrer que f réalise une bijection de \mathbb{R} sur ]-1, 1[ et déterminer sa réciproque.

Exercice 8

Soit E un ensemble et \mathcal{R} une relation binaire sur E. Montrer que \mathcal{R} est une relation d’équivalence si et seulement si :

  1. \mathcal{R} est réflexive : \forall x \in E,\; x \mathcal{R} x.
  2. \mathcal{R} est symétrique : \forall x, y \in E,\; x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x.
  3. \mathcal{R} est transitive : \forall x, y, z \in E,\; x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} z \implies x \mathcal{R} z.

Exercice 9

Soit n \in \mathbb{N}^*. Sur \mathbb{Z}, on définit la relation a \equiv b \pmod{n} par n \mid (a - b).

  1. Montrer que \equiv est une relation d’équivalence.
  2. Déterminer les classes d’équivalence.
  3. Combien y a-t-il de classes d’équivalence ?

Exercice 10

Soit f : E \to F une application. On définit sur E la relation x \sim y \iff f(x) = f(y).

  1. Montrer que \sim est une relation d’équivalence.
  2. Montrer que les classes d’équivalence sont les fibres f^{-1}(\{y\}) pour y \in \mathrm{Im}(f).

Cours

Chapitre 02 : Ensembles et applications