TD — Logique et raisonnement

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 01. Quantificateurs, implication, équivalence, raisonnement par récurrence, par l’absurde, par contraposition.

Exercice 1

Soient P, Q, R trois propositions. Montrer que :

  1. P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) est équivalente à (P \wedge Q) \Rightarrow R.
  2. \neg(P \wedge Q) est équivalente à (\neg P) \vee (\neg Q) (lois de De Morgan).
  3. \neg(P \vee Q) est équivalente à (\neg P) \wedge (\neg Q).
  4. P \Rightarrow Q est équivalente à (\neg P) \vee Q.

Exercice 2

Soient P(x) et Q(x) deux propositions dépendant de x \in E.

  1. Montrer que \forall x \in E,\; P(x) \wedge Q(x) est équivalente à (\forall x \in E,\; P(x)) \wedge (\forall x \in E,\; Q(x)).
  2. Montrer que \exists x \in E,\; P(x) \vee Q(x) est équivalente à (\exists x \in E,\; P(x)) \vee (\exists x \in E,\; Q(x)).
  3. Montrer que \forall x \in E,\; P(x) est équivalente à \neg(\exists x \in E,\; \neg P(x)).

Exercice 3

Soit E un ensemble non vide. Montrer que :

  1. \forall x \in E,\; P(x) \implies \exists x \in E,\; P(x).
  2. \exists x \in E,\; \forall y \in E,\; R(x,y) \implies \forall y \in E,\; \exists x \in E,\; R(x,y).
  3. La réciproque de (2) est fausse. Donner un contre-exemple.

Indication : - (3) Prendre E = \mathbb{N} et R(x,y) = (x \geq y). On a \forall y,\; \exists x \geq y mais \not\exists x,\; \forall y,\; x \geq y.

Exercice 4

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}
  2. \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  3. \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2

Exercice 5

Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}^* :

  1. 2^n > n
  2. n! \geq 2^{n-1}
  3. \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}

Exercice 6

Montrer par l’absurde que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

Indication : Supposer \sqrt{2} = \frac{p}{q} avec p, q premiers entre eux. Montrer que 2 \mid p puis 2 \mid q, contradiction.

Exercice 7

Montrer par contraposée que si n^2 est pair, alors n est pair.

Indication : La contraposée est : si n est impair, alors n^2 est impair.

Exercice 8

Montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Indication : Supposer que p_1, \ldots, p_n sont tous les nombres premiers. Poser N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1. Montrer qu’aucun p_i ne divise N.

Exercice 9

Soit a \in \mathbb{R}. Montrer par contraposée que : \forall \varepsilon > 0,\; |a| \leq \varepsilon \implies a = 0

Indication : La contraposée est : si a \neq 0, alors \exists \varepsilon > 0 tel que |a| > \varepsilon. Prendre \varepsilon = \frac{|a|}{2}.

Exercice 10

Soient a, b \in \mathbb{R}. Montrer que : ab = 0 \iff (a = 0 \text{ ou } b = 0)

Indications : - (\Leftarrow) : immédiat. - (\Rightarrow) : par contraposée. Si a \neq 0 et b \neq 0, alors ab \neq 0 (utiliser b = \frac{ab}{a}).

Cours

Chapitre 01 : Logique et raisonnement