Ensembles et applications

Chapitre 02

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

17 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 02. Vocabulaire de la théorie des ensembles, complémentaire, réunion, intersection, produit cartésien, applications, injection, surjection, bijection, familles, fonction indicatrice, relations binaires.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

1 Vocabulaire de la théorie des ensembles

Définition 1.1

  1. Un ensemble est une collection d’objets ;
  2. Un ensemble qui possède un unique élément x s’appelle singleton et se note \{x\} ;
  3. Si « x est un élément d’un ensemble E » (ou « x appartient à E »), on note \mathbf{x\in E} ;
  4. On dit qu’un ensemble F est inclus dans un autre ensemble E si tout élément de F est un élément de E (ceci se traduit par \forall x\in F,\ x\in E : quel que soit x appartenant à F, x appartient à E) et on écrit \mathbf{F\subset E}. On dit aussi que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E ;
  5. Deux ensembles F et G sont dits égaux si F\subset G et G\subset F, et on écrit \mathbf{F=G} ;
  6. Si F est une partie d’un ensemble E, l’ensemble \{x\in E \,/\, x\notin F\} est appelé complémentaire de F dans E et noté \mathsf{C}_E F ou \overline{F}.

Exemple 1.1

  1. \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots\} l’ensemble des nombres entiers naturels ;
  2. \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} l’ensemble des nombres entiers relatifs ;
  3. \mathbb{N} est une partie de \mathbb{Z} et \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\cdots\} est une partie de \mathbb{N} et de \mathbb{Z} ;
  4. \mathbb{Z} est une partie de \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q} \,/\, (p\in\mathbb{Z})\wedge(q\in\mathbb{N}^*)\right\} l’ensemble des nombres rationnels, et \mathbb{Q} est une partie de \mathbb{R} l’ensemble des nombres réels ;
  5. \mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R} \,/\, x\geq 0\}, \mathbb{R}^-=\{x\in\mathbb{R} \,/\, x\leq 0\}, \mathbb{R}^*=\{x\in\mathbb{R} \,/\, x\neq 0\} et l’ensemble des nombres irrationnels \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} sont des parties de \mathbb{R} ;
  6. Le complémentaire de \mathbb{R} dans \mathbb{C} est l’ensemble des nombres complexes imaginaires, i.e. : \mathsf{C}_{\mathbb{C}}\mathbb{R}=\{a+ib \,/\, (a\in\mathbb{R})\wedge(b\in\mathbb{R}^*)\}

Remarque. Il ne faut pas confondre l’ensemble \{x\} et l’élément x.

À tout ensemble E on associe l’ensemble noté \varnothing_E et donné par : \varnothing_E=\{x\in E \,/\, x\neq x\}

Définition 1.2 — (Ensemble vide)

L’ensemble \varnothing_E est indépendant de E ; on l’appelle ensemble vide et on le note \varnothing.

Preuve. Considérons deux ensembles E et F et associons-leur \varnothing_E et \varnothing_F. L’implication P\Longrightarrow Q est toujours vraie si \neg P est vraie. On a \forall x,\ x=x, donc \forall x,\ x\notin\varnothing_E, par suite pour tout x l’implication : x\in\varnothing_E \Longrightarrow x\in\varnothing_F est vraie, d’où \varnothing_E\subset\varnothing_F. De même, \varnothing_F\subset\varnothing_E. D’où \varnothing_E=\varnothing_F.

Remarque. \varnothing\subset E.

Définition 1.3

Soit E un ensemble. L’ensemble \{X \,/\, X\subset E\} est appelé ensemble des parties de E, qu’on note \mathcal{P}(E).

Remarque. Soit un ensemble E, on a toujours \varnothing,\ E\in\mathcal{P}(E).

Exemple 1.2

E=\{a,b,c\} donc : \mathcal{P}(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}

Définition 1.4 — (Réunion & Intersection)

Soient E et F deux ensembles.

  1. L’ensemble \{x \,/\, (x\in E)\vee(x\in F)\} s’appelle réunion (ou union) de E et F, qu’on note \mathbf{E\cup F} ;
  2. L’ensemble \{x \,/\, (x\in E)\wedge(x\in F)\} s’appelle intersection de E et F, qu’on note \mathbf{E\cap F}.

Exemple 1.3

Soit E=[0,1[\,\cup\{\sqrt{2}\}\cup[2,4], et on se donne les parties de E : A=\{1/2,3\}\cup[2,5/2] et B=[1/2,1[\,\cup\{\sqrt{2},3\}. Alors on a :

  1. A\cup B=[1/2,1[\,\cup\{\sqrt{2}\}\cup[2,5/2]\cup\{3\}
  2. A\cap B=\{1/2,3\}

Théorème 1.1

Soit \Omega un ensemble. Si E, F et G sont des parties de \Omega, alors on a les propriétés suivantes :

  1. Complémentaire : \overline{\varnothing}=\Omega ; \overline{\Omega}=\varnothing ; \overline{\overline{E}}=E ; si F\subset E alors \overline{E}\subset\overline{F}.
  2. Lois de Morgan : \mathsf{C}_{\Omega}(E\cup F)=\mathsf{C}_{\Omega}E\cap\mathsf{C}_{\Omega}F \qquad \mathsf{C}_{\Omega}(E\cap F)=\mathsf{C}_{\Omega}E\cup\mathsf{C}_{\Omega}F
  3. Réunion : E\cup F=F\cup E ; E\cup(F\cup G)=(E\cup F)\cup G ; E\cup E=E ; E\cup\varnothing=E ; E\cup\Omega=\Omega.
  4. Intersection : E\cap F=F\cap E ; E\cap(F\cap G)=(E\cap F)\cap G ; E\cap E=E ; E\cap\varnothing=\varnothing ; E\cap\Omega=E.
  5. Réunion et Intersection : E\cap(F\cup G)=(E\cap F)\cup(E\cap G) \qquad E\cup(F\cap G)=(E\cup F)\cap(E\cup G)

Preuve.

  1. Complémentaire
    • Montrons que \Omega=\overline{\varnothing} : on a \forall x\in\Omega,\ x\notin\varnothing et \forall x\in\overline{\varnothing},\ x\notin\varnothing, donc \Omega=\overline{\varnothing}.
    • Montrons que \overline{\Omega}=\varnothing : on a \forall x\in\overline{\Omega},\ x\notin\Omega et \forall x\in\varnothing,\ x\notin\Omega, donc \overline{\Omega}=\varnothing.
    • Montrons que \overline{\overline{E}}=E : on a \forall x\in\overline{\overline{E}},\ x\notin\overline{E} et \forall x\in E,\ x\notin\overline{E}, donc \overline{\overline{E}}=E.
    • Montrons que si F\subset E alors \overline{E}\subset\overline{F} : soit x\in\overline{E}, donc x\notin E et comme F\subset E alors x\notin F, donc x\in\overline{F}. D’où \overline{E}\subset\overline{F}.
  2. Lois de Morgan
    • Montrons que \mathsf{C}_{\Omega}(E\cup F)=\mathsf{C}_{\Omega}E\cap\mathsf{C}_{\Omega}F : on a E\subset E\cup F et F\subset E\cup F, donc d’après ce qui précède \mathsf{C}_{\Omega}(E\cup F)\subset\mathsf{C}_{\Omega}E et \mathsf{C}_{\Omega}(E\cup F)\subset\mathsf{C}_{\Omega}F. Inversement, soit x\in\mathsf{C}_{\Omega}E\cap\mathsf{C}_{\Omega}F, donc x\notin E et x\notin F, donc x\notin E\cup F, donc x\in\mathsf{C}_{\Omega}(E\cup F). D’où le résultat.
    • Montrons que \mathsf{C}_{\Omega}(E\cap F)=\mathsf{C}_{\Omega}E\cup\mathsf{C}_{\Omega}F : on applique ce qui précède à \mathsf{C}_{\Omega}E\cup\mathsf{C}_{\Omega}F, ce qui donne : \mathsf{C}_{\Omega}(\mathsf{C}_{\Omega}E\cup\mathsf{C}_{\Omega}F)=\mathsf{C}_{\Omega}(\mathsf{C}_{\Omega}E)\cap\mathsf{C}_{\Omega}(\mathsf{C}_{\Omega}F)=E\cap F D’où \mathsf{C}_{\Omega}(E\cap F)=\mathsf{C}_{\Omega}E\cup\mathsf{C}_{\Omega}F.
  3. 4) et 5) Réunion et Intersection : ces résultats sont immédiats.

Définition 1.5

  1. Soient E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E et F, qu’on note E\times F, l’ensemble : E\times F=\{(x,y) \,/\, (x\in E)\wedge(y\in F)\}
  2. Si p est un entier \geq 2 et E_1,E_2,\cdots,E_p des ensembles, de la même façon on définit le produit cartésien des ensembles E_1,E_2,\cdots,E_p : E_1\times\cdots\times E_p=\{(x_1,x_2,\cdots,x_p) \,/\, (x_1\in E_1)\wedge(x_2\in E_2)\wedge\cdots\wedge(x_p\in E_p)\}
  3. Un élément (x_1,x_2,\cdots,x_p) du produit cartésien E_1\times E_2\times\cdots\times E_p s’appelle p-uplet.

Définition 1.6

  1. On appelle différence des ensembles E et F pris dans cet ordre l’ensemble noté \mathbf{E\smallsetminus F} et défini par : E\smallsetminus F=\{x\in E \,/\, x\notin F\}
  2. On appelle différence symétrique des ensembles E et F l’ensemble noté \mathbf{E\,\Delta\, F} et défini par : E\,\Delta\, F=(E\smallsetminus F)\cup(F\smallsetminus E)

Exemple 1.4

  1. \mathsf{C}_E F=E\smallsetminus F
  2. E\,\Delta\,\varnothing=E

2 Applications

Définition 2.1 — (Application)

Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F une correspondance f qui à chaque élément x de E associe un élément et un seul y de F.

  1. E est appelé ensemble de départ de l’application ;
  2. F est appelé ensemble d’arrivée de l’application ;
  3. y est appelé image de x par l’application. On écrit y=f(x) ;
  4. x est appelé antécédent de y par l’application ;
  5. L’ensemble \Gamma=\{(x,f(x)) \,/\, x\in E\} est appelé graphe de l’application f et on le note \mathbf{gr(f)} : f : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & F \\ x & \longmapsto & f(x)\end{array}
  6. L’ensemble des applications de E dans F est noté \mathbf{F^E}.

Exemple 2.1

  1. L’application \operatorname{Id}_E : E\longrightarrow E,\ x\longmapsto x s’appelle l’application identité dans E.
  2. E : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\ x\longmapsto E(x) est une application, où E(x):=\max\{n\in\mathbb{Z} \,/\, n\leq x\} qui s’appelle la partie entière de x.
  3. Une application du type u : \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R},\ n\longmapsto u_n s’appelle suite à valeurs réelles, qu’on note brièvement (u_n)_{n\in\mathbb{N}}.

Définition 2.2

Soient E et F deux ensembles. On appelle fonction de E dans F une correspondance qui à chaque élément x de E associe au plus un élément y de F. Si on désigne par f la fonction, il existe une partie D de E, appelée domaine de définition de f, donnée par : D=\{x\in E \,/\, \exists y\in F,\ y=f(x)\} telle que : f : \begin{array}{rcl} D & \longrightarrow & F \\ x & \longmapsto & f(x)=y\end{array} soit une application. L’ensemble des fonctions de E dans F est noté \mathcal{F}(E,F).

Exemple 2.2

Voici quelques fonctions :

  1. La fonction f_1 : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\ x\longmapsto\sqrt{x} a pour domaine de définition D_{f_1}=\mathbb{R}^+ ;
  2. La fonction f_2 : \mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C},\ z\longmapsto\frac{z^2}{1-z} a pour domaine de définition D_{f_2}=\mathbb{C}\smallsetminus\{1\} ;
  3. La fonction f_3 : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C},\ x\longmapsto\frac{x}{\ln x} a pour domaine de définition D_{f_3}=\,]0,1[\,\cup\,]1,+\infty[ ;
  4. La fonction f_4 : \mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R},\ (x,y)\longmapsto\frac{\ln x}{y} a pour domaine de définition D_{f_4}=\,]0,+\infty[\,\times\,\mathbb{R}^* ;
  5. La fonction f_5 : \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2,\ (x,y,z)\longmapsto\left(\frac{1}{1-x},\frac{1}{y^2+z^2}\right) a pour domaine de définition l’ensemble : D_{f_5}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \,/\, (x\neq 1)\wedge((y,z)\neq(0,0))\}

Définition 2.3

Soit f : E\longrightarrow F une application.

  1. Soit A une partie de E. L’ensemble \{f(x)\in F \,/\, x\in A\} se note \mathbf{f(A)} et s’appelle image directe de A ;
  2. Soit B une partie de F. L’ensemble \{x\in E \,/\, f(x)\in B\} se note \mathbf{f^{-1}(B)} et s’appelle image réciproque de B ;
  3. Si D est une partie de E, l’application D\longrightarrow F,\ x\longmapsto f(x) s’appelle restriction de f à la partie D, qu’on note \mathbf{f_{/D}} ;
  4. Inversement, si on note f_1=f_{/D}, f s’appelle prolongement de f_1 sur E ;
  5. Soient D une partie de E et C une partie de F tels que \forall x\in D,\ f(x)\in C. L’application D\longrightarrow C,\ x\longmapsto f(x) s’appelle application induite de f ;
  6. Soit g : F\longrightarrow G une application. L’application E\longrightarrow G,\ x\longmapsto g(f(x)) s’appelle application composée de f et g dans cet ordre et se note \mathbf{g\circ f}.

Exemple 2.3

Si on note f : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\ x\longmapsto E(x) l’application partie entière, on a :

  1. \operatorname{gr}(f)=\{(x,E(x)) \,/\, x\in\mathbb{R}\} ;
  2. f(\mathbb{R}^+)=\mathbb{N} (où \mathbb{R}^+=\{x\in\mathbb{R} \,/\, x\geq 0\}) ;
  3. f^{-1}(\{0\})=[0,1[ ;
  4. f_{/\mathbb{R}^+}(\mathbb{R}^-)=\{0\} (où \mathbb{R}^-=\{x\in\mathbb{R} \,/\, x\leq 0\}) ;
  5. f\left([\sqrt{2},2[\right)=\{1\} ;
  6. f^{-1}\left([\sqrt{2},2[\right)=\varnothing.

Exemple 2.4

Si on note g : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\ x\longmapsto e^x, on a :

  1. \operatorname{gr}(g)=\{(x,e^x) \,/\, x\in\mathbb{R}\} ;
  2. g(\mathbb{R})=\mathbb{R}^*_+ ;
  3. g^{-1}(\{0\})=\varnothing ;
  4. g(\mathbb{R}^-)=\,]0,1] ;
  5. g^{-1}(\mathbb{R}^-)=\varnothing.

Définition 2.4

Soit f : E\longrightarrow F une application.

  1. On dit que f est injective si tout élément de F possède au plus un antécédent. Autrement dit : \forall (x,x')\in E^2,\ \left(f(x)=f(x') \Longrightarrow x=x'\right) ou encore : \forall (x,x')\in E^2,\ \left(x\neq x' \Longrightarrow f(x)\neq f(x')\right)
  2. On dit que f est surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent. Autrement dit : \forall y\in F,\ \exists x\in E,\ y=f(x)
  3. On dit que f est bijective si tout élément de F possède un antécédent et un seul. Autrement dit : \forall y\in F,\ \exists !\, x\in E,\ y=f(x)

Exemple 2.5

  1. L’application \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{Z},\ x\longmapsto E(x) (partie entière) est surjective et non injective.
  2. L’application \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},\ n\longmapsto n^2 est injective et non surjective.
  3. L’application \mathbb{N}^2\longrightarrow\mathbb{N}^*,\ (p,q)\longmapsto 2^p(2q+1) est bijective (voir exercice 07 du TD01 pour la surjectivité).
  4. L’application \exp : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^*_+,\ x\longmapsto e^x est bijective.
  5. L’application \mathbb{C}^*\longrightarrow\mathbb{C},\ z\longmapsto z+\frac{1}{z} est non injective et surjective.

Proposition 2.1

  1. Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.
  2. Soit f une application bijective de E dans F. L’application, notée f^{-1}, de F dans E qui à tout élément y de F lui associe l’unique élément x de E tel que f(x)=y est une bijection de F dans E, appelée bijection réciproque de f : f^{-1} : \begin{array}{rcl} F & \longrightarrow & E \\ y & \longmapsto & f^{-1}(y)=x \text{ tel que } f(x)=y\end{array}
  3. f^{-1} est l’unique application vérifiant : f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_E \qquad ; \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_F

Preuve.

  1. Le premier point est immédiat.
  2. Montrons que f^{-1} est une bijection :
    • Soient y,y'\in F. Il existe x,x'\in E tels que f(x)=y et f(x')=y'. Donc si f^{-1}(y)\neq f^{-1}(y') alors x\neq x', donc y\neq y' (car f est bijective donc injective). D’où f^{-1} est bien définie.
    • Soient y,y'\in F tels que f^{-1}(y)=f^{-1}(y'). Il existe x,x'\in E tels que f(x)=y et f(x')=y'. Si x=x' alors y=y' (car f est une application). D’où f^{-1} est injective.
    • Soit x\in E, on a f(x)\in F est un antécédent par f^{-1} de x. Ainsi, on a montré que f^{-1} est bijective.
  3. Montrons que f^{-1} est unique et qu’on a f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_E et f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_F :
    • Soit x\in E et posons f(x)=y ; comme f est bijective, y parcourt F lorsque x parcourt E. On a : f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(y)=x \qquad \text{et} \qquad f\circ f^{-1}(y)=f(x)=y d’où f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_E et f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_F.
    • Soit g une autre application vérifiant les mêmes propriétés que f^{-1}. Soit y\in F, donc il existe un unique élément x\in E tel que y=f(x) (car f est bijective) (par définition de f^{-1} : f^{-1}(y)=x). Or, g\circ f=\operatorname{Id}_E, donc g(y)=g(f(x))=x=f^{-1}(y), ceci quel que soit y de F. D’où l’unicité de f^{-1}.

Proposition 2.2

Soient f : E\longrightarrow F et g : F\longrightarrow G deux applications. Alors :

  1. Si les applications f et g sont injectives, alors la composée g\circ f l’est aussi.
  2. Si les applications f et g sont surjectives, alors la composée g\circ f l’est aussi.
  3. Si les applications f et g sont bijectives, alors la composée g\circ f l’est aussi et on a : (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

Exemple 2.6

On considère les applications suivantes :

  • g_1 : [0,1[\,\longrightarrow\,[0,1[,\ t\longmapsto\sqrt{t}
  • g_2 : [0,1[\,\longrightarrow\,[1,2[,\ t\longmapsto 1+t
  • g_3 : [1,2[\,\longrightarrow\,]1,2],\ t\longmapsto 2/t
  • g_4 : ]1,2]\longrightarrow\,]0,1],\ t\longmapsto t-1
  • g_5 : ]0,1]\longrightarrow\mathbb{R}^-,\ t\longmapsto\ln t
  • g : [0,1[\,\longrightarrow\mathbb{R}^-,\ t\longmapsto\ln\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}

On a : g=g_5\circ g_4\circ g_3\circ g_2\circ g_1 Toutes ces applications sont bijectives et on a : g^{-1}=g_1^{-1}\circ g_2^{-1}\circ g_3^{-1}\circ g_4^{-1}\circ g_5^{-1}

3 Notion de famille – Fonction indicatrice

3.1 Notion de famille

Soit I un ensemble non vide dont les éléments seront appelés indices. Soit E un ensemble.

Définition 3.1

Toute application x de I vers E est appelée une famille d’éléments de E, indexée par I.

Pour i\in I, on note x_i plutôt que x(i), et on écrit (x_i)_{i\in I} cette famille d’éléments de E.

On note E^I l’ensemble des familles d’éléments de E indexées par I.

Exemple 3.1

Voici quelques familles de nombres et d’ensembles :

  1. \mathbb{C}=(z_z)_{z\in\mathbb{C}}=(z)_{z\in\mathbb{C}} famille de nombres complexes (c’est une famille infinie) ;
  2. \mathbb{U}=\left(e^{i\theta}\right)_{\theta\in\mathbb{R}} famille des nombres complexes de module 1 (c’est une famille infinie) ;
  3. \mathbb{U}_n=\left(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)_{0\leq k\leq n-1} (n\in\mathbb{N}^*) famille des racines n^{\text{ièmes}} de l’unité (c’est une famille finie) ;
  4. \mathbb{R}=(x_x)_{x\in\mathbb{R}}=(x)_{x\in\mathbb{R}} famille des nombres réels (c’est une famille infinie) ;
  5. Soit E un ensemble. \mathcal{P}(E)=(X)_{X\in\mathcal{P}(E)} famille des parties de E (c’est une famille infinie ou finie) ;
  6. \left([a,b]\right)_{\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \,/\, a\leq b\}} famille des segments de \mathbb{R} (c’est une famille infinie) ;
  7. \left(\mathrm{D}(a,r)\right)_{\{(a,r)\in\mathbb{C}\times\mathbb{R}^*_+\}} famille des disques ouverts de \mathbb{C} (c’est une famille infinie).

Définition 3.2 — (Réunion & Intersection)

Soit (E_i)_{i\in I} une famille d’ensembles.

  1. \bigcup_{i\in I}E_i=\{x \,/\, \exists i\in I,\ x\in E_i\}
  2. \bigcap_{i\in I}E_i=\{x \,/\, \forall i\in I,\ x\in E_i\}

Remarque. x\in\bigcup_{i\in I}E_i \iff \exists i\in I,\ x\in E_i \qquad ; \qquad x\in\bigcap_{i\in I}E_i \iff \forall i\in I,\ x\in E_i

Exemple 3.2

  1. \bigcup_{a>0}[a,+\infty[\,=\mathbb{R}^*_+
  2. \bigcap_{a>0}[a,+\infty[\,=\varnothing
  3. \bigcap_{a<0}[a,+\infty[\,=\mathbb{R}^+
  4. \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{n\}=\mathbb{N}
  5. \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*}\llbracket 1,n\rrbracket=\mathbb{N}^*
  6. \bigcap_{n\in\mathbb{N}^*}\llbracket 1,n\rrbracket=\{1\}
  7. \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*}\left[\frac{1}{n},n\right]=\,]0,+\infty[
  8. \bigcap_{n\in\mathbb{N}^*}\left[\frac{1}{n},n\right]=\{1\}

Proposition 3.1

Soient (E_i)_{i\in I}, (F_j)_{j\in J} deux familles d’ensembles et E un ensemble. Alors on a :

E\cup\left(\bigcap_{i\in I}E_i\right)=\bigcap_{i\in I}\left(E\cup E_i\right) \qquad E\cap\left(\bigcup_{i\in I}E_i\right)=\bigcup_{i\in I}\left(E\cap E_i\right)

\left(\bigcap_{i\in I}E_i\right)\cup\left(\bigcap_{j\in J}F_j\right)=\bigcap_{\stackrel{i\in I}{j\in J}}\left(E_i\cup F_j\right) \qquad \left(\bigcup_{i\in I}E_i\right)\cap\left(\bigcup_{j\in J}F_j\right)=\bigcup_{\stackrel{i\in I}{j\in J}}\left(E_i\cap F_j\right)

3.2 Fonction indicatrice

Définition 3.3

Soit \Omega un ensemble et A une partie de \Omega. On appelle fonction indicatrice de A (ou caractéristique) l’application notée \mathbf{1}_A et définie par : \mathbf{1}_A : \begin{array}{rcl} \Omega & \longrightarrow & \{0,1\} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} 1, & \text{si } x\in A \\ 0, & \text{sinon}\end{cases}\end{array}

Exemple 3.3

  1. \mathbf{1}_{\varnothing}=0 ; \mathbf{1}_{\Omega}=1
  2. Soit x\in\mathbb{R}. On a : |x|=x\left(\mathbf{1}_{\mathbb{R}^+}(x)-\mathbf{1}_{\mathbb{R}^-}(x)\right)
  3. Soit A une partie de \Omega. On a : \mathbf{1}_{\overline{A}}=1-\mathbf{1}_A

4 Relations binaires

Dans ce paragraphe, E désigne un ensemble non vide.

4.1 Notion de relation binaire

Définition 4.1 — (Relation binaire)

  1. On appelle relation binaire \mathcal{R} sur E une partie \Gamma du produit cartésien E\times E. La partie \Gamma est dite graphe de la relation \mathcal{R}.
  2. On dit qu’un élément x de E est en relation avec un autre élément y de E si (x,y)\in\Gamma, et on écrit : x\,\mathcal{R}\,y \iff (x,y)\in\Gamma

Exemple 4.1

  1. La relation d’inclusion sur \mathcal{P}(E) est une relation binaire : \forall (A,B)\in\mathcal{P}(E)^2,\ A\,\mathcal{R}\,B \iff A\subset B
  2. La relation de congruence modulo \alpha (\alpha\in\mathbb{R}) sur \mathbb{R} : \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x=y\ [\alpha] \iff \exists k\in\mathbb{Z},\ y-x=k\alpha Cas particulier : lorsque \alpha=0, on obtient la relation d’égalité sur \mathbb{R} : \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\,\mathcal{R}\,y \iff x=y. Le graphe de cette relation est l’ensemble \{(x,x) \,/\, x\in\mathbb{R}\}.
  3. La relation de divisibilité sur \mathbb{Z} : \forall (a,b)\in\mathbb{Z}^2,\ a\,\mathcal{R}\,b \iff \exists k\in\mathbb{Z} \,/\, b=ak Le graphe de cette relation est l’ensemble \{(a,ak) \,/\, (a,k)\in\mathbb{Z}^2\}.
  4. La relation \leq (inférieur ou égal) sur \mathbb{R} : \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\,\mathcal{R}\,y \iff x\leq y Le graphe de cette relation est l’ensemble \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \,/\, x\leq y\}.
  5. La relation > (supérieur strictement) sur \mathbb{R} : \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\,\mathcal{R}\,y \iff x>y Le graphe de cette relation est l’ensemble \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \,/\, x>y\}.
  6. La relation \mathcal{R} définie sur \mathbb{C} par : \forall (z,z')\in\mathbb{C}^2,\ z\,\mathcal{R}\,z' \iff |z|=|z'| Le graphe de cette relation est l’ensemble \{(\rho e^{i\theta},\rho e^{i\theta'}) \,/\, (\rho,\theta,\theta')\in\mathbb{R}^*_+\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\}\cup\{(0,0)\}.

Définition 4.2

Soit \mathcal{R} une relation binaire sur E.

  1. On dit que la relation \mathcal{R} est réflexive si : \forall x\in E,\ x\,\mathcal{R}\,x ;
  2. On dit que la relation \mathcal{R} est symétrique si : \forall (x,y)\in E^2,\ \left(x\,\mathcal{R}\,y \Longrightarrow y\,\mathcal{R}\,x\right) ;
  3. On dit que la relation \mathcal{R} est anti-symétrique si : \forall (x,y)\in E^2,\ \left(x\,\mathcal{R}\,y \text{ et } y\,\mathcal{R}\,x \Longrightarrow y=x\right) ;
  4. On dit que la relation \mathcal{R} est transitive si : \forall (x,y,z)\in E^3,\ \left(x\,\mathcal{R}\,y \text{ et } y\,\mathcal{R}\,z \Longrightarrow x\,\mathcal{R}\,z\right).

Exemple 4.2

On reprend les relations binaires définies dans l’exemple précédent.

  1. La relation définie en (1) est réflexive, anti-symétrique, transitive et non symétrique ;
  2. La relation définie en (2) est réflexive, symétrique, transitive et non anti-symétrique ;
  3. La relation définie en (3) est réflexive, transitive, non symétrique et non anti-symétrique ;
  4. La relation définie en (4) est réflexive, anti-symétrique, transitive et non symétrique ;
  5. La relation définie en (5) est transitive, non réflexive, non symétrique et anti-symétrique ;
  6. La relation définie en (6) est réflexive, symétrique, transitive et non anti-symétrique.

4.2 Relations d’équivalence

Définition 4.3

Soit \mathcal{R} une relation binaire sur E. On dit que \mathcal{R} est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Exemple 4.3

On reprend les relations binaires définies dans l’exemple précédent.

  1. La relation définie en (1) n’est pas une relation d’équivalence ;
  2. La relation définie en (2) est une relation d’équivalence ;
  3. La relation définie en (3) n’est pas une relation d’équivalence ;
  4. La relation définie en (4) n’est pas une relation d’équivalence ;
  5. La relation définie en (5) n’est pas une relation d’équivalence ;
  6. La relation définie en (6) est une relation d’équivalence.

4.3 Relations d’ordre

Définition 4.4

Soit \mathcal{R} une relation binaire sur E.

  1. On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre si elle est réflexive, anti-symétrique et transitive. On dit, dans ce cas, que (E,\mathcal{R}) est un ensemble ordonné ;
  2. On dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre total si elle vérifie de plus : \forall (x,y)\in E^2,\ \left(x\,\mathcal{R}\,y \text{ ou } y\,\mathcal{R}\,x\right)
  3. Sinon, on dit que \mathcal{R} est une relation d’ordre partiel.

Exemple 4.4

On reprend les relations binaires définies dans l’exemple précédent.

  1. La relation définie en (1) est d’ordre partiel ;
  2. La relation définie en (2) n’est pas une relation d’ordre ;
  3. La relation définie en (3) n’est pas une relation d’ordre sur \mathbb{Z} ; c’est une relation d’ordre partiel sur \mathbb{N} ;
  4. La relation définie en (4) est d’ordre total sur \mathbb{R} et partiel sur \mathbb{C} ;
  5. La relation définie en (5) n’est pas d’ordre ;
  6. La relation définie en (6) n’est pas d’ordre.

Dans la suite, on notera toute relation d’ordre par \preceq, et donc (E,\preceq) sera un ensemble ordonné.

Définition 4.5

Soit A une partie de E.

  1. On dit que m\in E (respectivement M\in E) est un minorant (respectivement majorant) de A si et seulement si : \forall x\in A,\ m\preceq x \quad (\text{respectivement } x\preceq M)
  2. On dit que m\in E (respectivement M\in E) est un minimum (respectivement maximum) de A si : \begin{cases} m \text{ minorant } (\text{respectivement } M \text{ majorant}) \text{ de } A \\ m\in A \quad (\text{respectivement } M\in A)\end{cases}

Exemple 4.5

  1. Dans (\mathcal{P}(E),\subset), l’ensemble vide \varnothing est un minimum et l’ensemble E est un maximum de \mathcal{P}(E).
  2. Soit E=\{a,b,c,d\} et on considère (\mathcal{P}(E),\subset). Soit A=\{\varnothing,\{a\},\{b,c\}\}.
    • L’ensemble vide \varnothing est un minimum de A.
    • A n’admet pas de maximum mais il admet des majorants, à savoir E et \{a,b,c\}.
  3. On considère les ensembles A=\{1,-3,i,\sqrt{2}\} et B=\mathbb{Q}\cap\,]0,1].
    • A n’admet ni minorant ni majorant.
    • Tout élément de \mathbb{R}^- est un minorant de B et B n’admet pas de minimum.
    • Tout élément de [1,+\infty[ est un majorant de B et 1 est un maximum de B.

Proposition 4.1

Le maximum et le minimum sont uniques s’ils existent.

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Chapitre 02 : Ensembles et applications