TD — Systèmes linéaires
Chapitre 07
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 07. Équations linéaires, systèmes linéaires, méthode du pivot de Gauss, systèmes échelonnés, systèmes homogènes.
Exercice 1
Résoudre les systèmes suivants par la méthode du pivot de Gauss :
\begin{cases} 2x + y + z = 3 \\ x - y + 3z = 8 \\ x + 2y - z = -3 \end{cases}
\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 3 \\ 3x + 3y + 3z = 4 \end{cases}
\begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 4y + 6z = 12 \\ 3x + 6y + 9z = 18 \end{cases}
Indications : - (1) Échelonner puis résoudre par remontée. - (2) Les lignes 2 et 3 sont incompatibles avec la ligne 1. - (3) Les trois équations sont proportionnelles : infinité de solutions.
Exercice 2
Résoudre le système selon les valeurs de a, b \in \mathbb{R} : \begin{cases} x + y - z = a \\ -x + 2z = b \\ 2y + 2z = 4 \end{cases}
Indication : Échelonner et discuter selon les valeurs de a et b.
Exercice 3
Résoudre les systèmes échelonnés suivants :
\begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_4 = 1 \\ x_2 + x_3 - 2x_4 = 3 \\ 2x_3 + x_4 = 4 \\ x_4 = -2 \end{cases}
\begin{cases} x_1 + x_2 + x_4 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_3 + x_4 = 0 \end{cases}
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ 2x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}
Indication : Résoudre par remontée en identifiant les variables libres et les variables pivots.
Exercice 4
Résoudre par la méthode du pivot de Gauss : \begin{cases} 2x_1 + 4x_2 - 6x_3 - 2x_4 = 2 \\ 3x_1 + 6x_2 - 7x_3 + 4x_4 = 2 \\ 5x_1 + 10x_2 - 11x_3 + 6x_4 = 3 \end{cases}
Indication : Après échelonnement, identifier les variables libres et paramétrer l’ensemble des solutions.
Exercice 5
Résoudre le système homogène : \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \end{cases}
Indication : Le système a 3 équations et 4 inconnues. L’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de dimension au moins 1.
Exercice 6
Montrer que si un système linéaire homogène a une solution (x_1, \ldots, x_p) \neq (0, \ldots, 0), alors il admet une infinité de solutions.
Indication : Si x est solution non nulle, alors \lambda x est aussi solution pour tout \lambda \in \mathbb{R}.
Exercice 7
Résoudre le système suivant par substitution : \begin{cases} 7x + 2y - 2z = 1 \\ 2x + 3y + 2z = 1 \end{cases}
Indication : Exprimer z en fonction de x et y à partir de la première équation, puis substituer dans la seconde.
Exercice 8
Résoudre selon les valeurs de t \in \mathbb{R} : \begin{cases} x + y = 1 \\ x + t^2 y = t \end{cases}
Indications : - Le déterminant est t^2 - 1. - Discuter les cas t = 1, t = -1 et t \neq \pm 1.
Exercice 9
Écrire un système linéaire de 4 équations et 3 inconnues qui :
- n’a aucune solution ;
- a une infinité de solutions ;
- a une solution unique.
Indication : Utiliser des équations proportionnelles ou incompatibles.
Exercice 10
Résoudre le système à n équations et n inconnues dont les équations sont (L_i) : x_i - x_{i+1} = 1 pour i = 1, \ldots, n-1 et (L_n) : x_n = 1.
Indication : Résoudre par remontée : x_n = 1, x_{n-1} = 2, …, x_1 = n.