TD — Structures algébriques

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 08. Lois de composition interne, monoïdes, groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, anneaux, corps, anneaux \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Exercice 1

Soit E un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne \top associative, possédant un élément neutre e.

  1. Montrer que si x est inversible à gauche et à droite, alors ses inverses sont égaux.
  2. Montrer que si x et y sont inversibles, alors x \top y est inversible et (x \top y)^{-1} = y^{-1} \top x^{-1}.

Indications : - (1) Si y \top x = e et x \top z = e, alors y = y \top e = y \top (x \top z) = (y \top x) \top z = e \top z = z. - (2) Vérifier directement que (y^{-1} \top x^{-1}) \top (x \top y) = e.

Exercice 2

Soit (G, \cdot) un groupe. Montrer que :

  1. L’élément neutre est unique.
  2. Tout élément a un unique inverse.
  3. Pour tout x \in G, (x^{-1})^{-1} = x.

Indication : Utiliser les axiomes de groupe et l’associativité.

Exercice 3

Soit (G, \cdot) un groupe et H \subset G. Montrer que H est un sous-groupe de G si et seulement si :

  1. H \neq \varnothing ;
  2. \forall x, y \in H, \quad x \cdot y^{-1} \in H.

Indication : Prendre x = y pour obtenir e \in H, puis prendre x = e pour obtenir la stabilité par inverse.

Exercice 4

Montrer que les ensembles suivants sont des sous-groupes :

  1. \mathbb{Z} dans (\mathbb{Q}, +) ;
  2. \mathbb{Q} dans (\mathbb{R}, +) ;
  3. \mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C}^* \mid z^n = 1\} dans (\mathbb{C}^*, \times) ;
  4. n\mathbb{Z} dans (\mathbb{Z}, +) pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 5

Soit f : (G, \cdot) \to (H, \star) un morphisme de groupes. Montrer que :

  1. f(e_G) = e_H ;
  2. \forall x \in G, \quad f(x^{-1}) = (f(x))^{-1} ;
  3. \ker f = \{x \in G \mid f(x) = e_H\} est un sous-groupe de G ;
  4. \mathrm{Im}(f) = f(G) est un sous-groupe de H.

Exercice 6

Montrer que :

  1. \exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times) est un isomorphisme de groupes ;
  2. z \mapsto |z| est un morphisme de (\mathbb{C}^*, \times) dans (\mathbb{R}_+^*, \times). Déterminer son noyau ;
  3. t \mapsto e^{it} est un morphisme de (\mathbb{R}, +) dans (\mathbb{U}, \times).

Exercice 7

Soit G un groupe fini. Montrer que tout élément de G est d’ordre fini.

Indication : Considérer la suite x, x^2, x^3, \ldots dans G fini. Par le principe des tiroirs, il existe i < j tels que x^i = x^j.

Exercice 8

Soit G un groupe monogène, c’est-à-dire G = \langle a \rangle pour un certain a \in G.

  1. Montrer que G est commutatif.
  2. Si G est fini de cardinal n, montrer que a^n = e.

Exercice 9

Dresser la table de multiplication de \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. Quels sont les éléments inversibles ? \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} est-il un corps ? Est-il intègre ?

Indications : - Les inversibles sont les \overline{k} avec k \wedge 4 = 1, c’est-à-dire \overline{1} et \overline{3}. - \overline{2} \times \overline{2} = \overline{0} avec \overline{2} \neq \overline{0} : diviseurs de zéro.

Exercice 10

Montrer que (\mathbb{Z}[i], +, \times) est un anneau, où \mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2\} (entiers de Gauss).

Indication : Vérifier la stabilité par addition, soustraction et multiplication.

Exercice 11

Montrer que \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid (a,b) \in \mathbb{Q}^2\} est un corps.

Indication : Pour a + b\sqrt{2} \neq 0, montrer que l’inverse est \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} et vérifier que a^2 - 2b^2 \neq 0.

Cours

Chapitre 08 : Structures algébriques