Structures algébriques

Chapitre 08

MPSI (1re année) — Chapitre 08. Lois de composition interne, monoïdes, groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, anneaux, corps, anneaux \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

1 Lois de composition interne, monoïdes

1.1 Définition

Définition 1.1

Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne (LCI en abrégé) est une application : \top : E\times E \longrightarrow E On adopte une notation infixe : pour (x,y)\in E\times E, on notera x\top y au lieu de \top(x,y). On peut utiliser divers symboles tels que \top,\times,+,\cdot,\circ,\otimes,\dotplus…

Exemple 1.1

• Opérations usuelles + et \times sur les ensembles de nombres (\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}) ;
• soit n\in\mathbb{N}^* ; sur \mathbb{K}^n (\mathbb{K}=\mathbb{R} ou \mathbb{C}), on définit pour x=(x_1,\cdots,x_n), y=(y_1,\cdots,y_n) : x+y=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n) \quad ; \quad x\times y=(x_1 y_1,\cdots,x_n y_n)
• \cap, \cup et \Delta sur \mathcal{P}(X) où X est un ensemble quelconque ;
• l’addition des vecteurs sur le plan vectoriel et l’espace vectoriel de dimension 3 ;
• le produit vectoriel sur l’espace vectoriel de dimension 3 ;
• si X est un ensemble alors la composition \circ est une loi de composition interne sur \mathcal{F}(X,X) ;
• sur l’ensemble des suites numériques \mathbb{K}^{\mathbb{N}}, on définit (u_n)_n+(v_n)_n=(u_n+v_n)_n.

1.2 Vocabulaire

Définition 1.2 — (Associativité)

\top est associative si et seulement si \forall a,b,c\in E,\ (a\top b)\top c=a\top(b\top c) Si c’est le cas, on se passe de parenthèses.

Exemple 1.2

Les exemples de lois de composition interne précédentes sont toutes associatives sauf le produit vectoriel.

Définition 1.3 — (Élément neutre)

e\in E est élément neutre pour \top si et seulement si \forall x\in E,\ x\top e=e\top x=x

Il ne peut exister qu’un seul neutre : en effet si e_1 et e_2 sont deux éléments neutres pour la loi \top, alors e_1=e_1\top e_2=e_2.

Définition 1.4 — (Commutativité)

Soient a,b\in E. On dit que a et b commutent (pour \top) si et seulement si a\top b=b\top a. La loi \top est dite commutative si et seulement si \forall a,b\in E,\ a\top b=b\top a.

Exemple 1.3

• + et \times sur les ensembles usuels (\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}) et sur \mathbb{K}^n sont commutatives ;
• sur E=\mathcal{F}(X,X), \circ n’est pas commutative dès que X a au moins deux éléments : en effet, supposons que X possède deux éléments a,b avec a\neq b ; considérons f : x\mapsto a et g : x\mapsto b : on a f\circ g(a)=a et g\circ f(a)=b\neq a, donc g\circ f\neq f\circ g ;
• l’addition des vecteurs est commutative, ainsi que + sur \mathbb{K}^{\mathbb{N}}.

1.3 Monoïdes

Définition 1.5

Un monoïde est un couple (E,\top) où E est un ensemble (non vide) et \top une loi de composition interne associative admettant un neutre sur E.

Exemple 1.4

• (\mathbb{N},+), (\mathbb{N},\times), (\mathbb{Z},+), (\mathbb{R},+), (\mathbb{R},\times) ;
• (\mathbb{K}^n,+) de neutre (0,\cdots,0) ; (\mathbb{K}^n,\times) de neutre (1,\cdots,1) ;
• (\mathcal{F}(X,X),\circ) de neutre \mathrm{Id}_X ;
• (\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\times) de neutre la fonction constante égale à 1 ; (\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+) de neutre la fonction nulle ;
• (\mathbb{K}^{\mathbb{N}},+) de neutre la suite nulle.

Un monoïde est dit commutatif lorsque \top est commutative. Dans ce cas il est fréquent d’utiliser une notation additive + pour remplacer \top ; on note généralement 0_E le neutre de + sur E.

1.4 Éléments inversibles

Définition 1.6

Soit (E,\top) un monoïde, e l’élément neutre de \top, et x\in E. x est inversible à gauche (respectivement à droite) s’il existe y\in E tel que y\top x=e (respectivement x\top y=e). x est inversible si x admet un inverse à gauche et à droite.

Unicité. Supposons x inversible. Soient y,z\in E avec y\top x=x\top z=e. Alors y=y\top e=y\top(x\top z)=(y\top x)\top z=e\top z=z Donc y=z. Ceci prouve que si x est inversible, ses inverses à gauche et à droite sont égaux. L’unique élément de E tel que y\top x=x\top y=e s’appelle l’inverse de x pour \top et se note x^{-1}.

Remarque. Pour une loi additive on parle plutôt d’opposé et on note -x au lieu de x^{-1}.

Proposition 1.1

• Si x est inversible, x^{-1} aussi et (x^{-1})^{-1}=x ;
• si x et x' sont inversibles alors x\top x' aussi et (x\top x')^{-1}=x'^{-1}\top x^{-1}.

1.5 Éléments réguliers

Définition 1.7

x\in E est régulier à gauche si et seulement si \forall y,z\in E,\ x\top y=x\top z\Rightarrow y=z, et x\in E est régulier à droite si et seulement si \forall y,z\in E,\ y\top x=z\top x\Rightarrow y=z. x est régulier si et seulement si x est régulier à droite et à gauche.

Proposition 1.2

Si x est inversible à gauche (respectivement à droite) alors x est régulier à gauche (respectivement à droite). En particulier, si x est inversible, alors x est régulier.

Preuve. En effet, soit x' un inverse de x à gauche, et y,z\in E. Alors : x\top y=x\top z \Rightarrow x'\top(x\top y)=x'\top(x\top z) \Rightarrow (x'\top x)\top y=(x'\top x)\top z \Rightarrow e\top y=e\top z \Rightarrow y=z

Remarque. La réciproque est fausse !

• Si l’on considère (\mathbb{N},\times), tout élément non nul est régulier mais le seul inversible de (\mathbb{N},\times) est 1.
• Dans (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\dot\times), \overline{2}\neq\overline{0} et \overline{2} n’est pas régulier. En effet \overline{2}\dot\times\overline{3}=\overline{2}\dot\times\overline{0} et \overline{3}\neq\overline{0}.

1.6 Itérés d’un élément pour une loi dans un monoïde

Définition 1.8

Soit (E,\top) un monoïde de neutre e. On définit pour n\in\mathbb{N}, x^n par :

• x^0=e ;
• \forall k\in\mathbb{N},\ x^{k+1}=x^k\top x.

Si \top est commutative et notée de manière additive, on note nx au lieu de x^n, qui se définit alors par 0x=0_E et \forall k\in\mathbb{N},\ (k+1)x=kx+x.

Proposition 1.3

1. \forall n,m\in\mathbb{N},\ \forall x\in E,\ x^{m+n}=x^m\top x^n=x^n\top x^m (en notation additive (n+m)x=nx+mx) ;
2. \forall m,n\in\mathbb{N},\ \forall x\in E,\ (x^n)^m=x^{nm} (en notation additive m(nx)=(mn)x) ;
3. soient x,y\in E tels que x\top y=y\top x ; alors \forall p,q\in\mathbb{N},\ x^p\top y^q=y^q\top x^p ;
4. soient x,y\in E tels que x\top y=y\top x ; alors \forall n\in\mathbb{N},\ (x\top y)^n=x^n\top y^n ;
5. soit x\in E inversible pour \top ; pour n\in\mathbb{N}^*, on pose x^{-n}=(x^{-1})^n ; on a les mêmes propriétés pour m,n\in\mathbb{Z}.

Les démonstrations se font par récurrence et sont laissées en exercice.

2 Groupes

2.1 Définitions et exemples

Définition 2.1

Un groupe est un monoïde (G,\cdot) tel que tout élément de G admet un inverse pour « \cdot ». Le groupe (G,\cdot) sera dit commutatif (ou abélien) si et seulement si « \cdot » l’est.

Proposition 2.1

Si (E_1,\top_1),\cdots,(E_n,\top_n) sont des groupes alors E=\prod_{k=1}^n E_k muni de la loi \forall x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n)\in E,\quad x\top y=(x_1\top_1 y_1,\cdots,x_n\top_n y_n) est un groupe. De plus, si les groupes (E_k,\top_k) sont commutatifs alors (E,\top) l’est aussi.

Exemple 2.1

• (\mathbb{Z},+), (\mathbb{Q},+), (\mathbb{R},+), (\mathbb{C},+) sont des groupes commutatifs ;
• (\mathbb{K}^n,+) et ((\mathbb{K}^*)^n,\times) sont des groupes commutatifs ;
• pour n\in\mathbb{N}^*, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+) est un groupe (commutatif) ;
• soit (E,\cdot) un monoïde ; on note \mathcal{U}(E) l’ensemble des éléments inversibles de E par « \cdot » ; alors (\mathcal{U}(E),\cdot) est un groupe ;
• pour (\mathbb{Z},\times), \mathcal{U}(\mathbb{Z})=\{\pm1\} ; pour (\mathbb{K},\times), \mathcal{U}(\mathbb{K})=\mathbb{K}^* ;
• soit X\neq\varnothing ; l’ensemble \mathfrak{S}(X) des bijections de X dans X muni de \circ est un groupe, non commutatif dès que X possède trois éléments distincts ; en particulier, pour n\in\mathbb{N}^*, on note S_n=\mathfrak{S}(\llbracket 1,n\rrbracket) : (S_n,\circ) est appelé le groupe symétrique, non commutatif dès que n\geq 3 et fini de cardinal n! ;
• l’ensemble des \overline{k} avec k\wedge n=1 muni de \dot\times est un groupe commutatif fini ; par exemple \mathcal{U}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})=\{\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\} ;
• (\mathbb{K}^{\mathbb{N}},+) est un groupe commutatif.

Remarque. Soit (G,\cdot) un groupe, a\in G. Alors f_a : x\in G\mapsto x\cdot a est une permutation de G (d’inverse f_{a^{-1}}).

Application. Soit G un groupe fini commutatif, n=\mathrm{Card}(G). Alors \forall x\in G,\ x^n=e.

Preuve. Notons G=\{x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}\} et soit p=x_0x_1\cdots x_{n-1}. Soit a\in G ; l’ensemble \{ax_0,ax_1,\cdots,ax_{n-1}\} n’est autre que G car x\mapsto ax est une permutation de G. La loi de G étant commutative, p=(ax_0)(ax_1)\cdots(ax_{n-1})=a^np. Or p\in G et p est inversible donc régulier, donc a^n=pp^{-1}=e.

Ainsi, soit n\in\mathbb{N}^* : pour x\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} muni de \dot+, nx=\overline{0} ; pour x\in\mathcal{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) muni de \dot\times, x^{\varphi(n)}=\overline{1}. En particulier, si n est premier, on retrouve le petit théorème de Fermat : \forall a\in\mathbb{Z},\ n\nmid a \Rightarrow a^{n-1}\equiv 1\ [n].

2.2 Sous-groupes

Définition 2.2

Soit (G,\cdot) un groupe et H\subset G. On dit que H est un sous-groupe de G si :

1. H\neq\varnothing ;
2. \forall x,y\in H,\ x\cdot y\in H ;
3. \forall x\in H,\ x^{-1}\in H.

Remarque. Soit (G,\cdot) un groupe de neutre e.

• Si H est un sous-groupe de G, alors e\in H.
• H\subset G est un sous-groupe de G si et seulement si : (1) e\in H ; (2) \forall x,y\in H,\ x^{-1}\cdot y\in H.
• En notation additive, H est un sous-groupe de (G,+) si et seulement si : H\neq\varnothing, \forall x,y\in H,\ x+y\in H et \forall x\in H,\ -x\in H.

Exemple 2.2

• G et \{e\} sont des sous-groupes de G ;
• \mathbb{Z} est un sous-groupe de (\mathbb{Q},+) ; \mathbb{Q} est un sous-groupe de (\mathbb{R},+) ; \mathbb{R} est un sous-groupe de (\mathbb{C},+) ;
• \mathbb{U} est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*,\times) ; pour tout n\in\mathbb{N}^*, \mathbb{U}_n est un sous-groupe de (\mathbb{C}^*,\times).

Proposition 2.2

Une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe. En d’autres termes, soit (G,\cdot) un groupe de neutre e, I un ensemble non vide et (H_i)_{i\in I} une famille de sous-groupes. Alors \bigcap_{i\in I}H_i est un sous-groupe de G.

Preuve. Pour tout i\in I, e\in H_i car H_i est un sous-groupe. Soient x,y\in\bigcap_{i\in I}H_i ; alors pour tout i\in I, x\in H_i et y\in H_i donc x^{-1}\cdot y\in H_i, d’où x^{-1}\cdot y\in\bigcap_{i\in I}H_i.

2.3 Sous-groupes de \mathbb{Z}

Pour n\in\mathbb{N} on note n\mathbb{Z}=\{np\ /\ p\in\mathbb{Z}\} l’ensemble des multiples de n dans \mathbb{Z} ; n\mathbb{Z} est un sous-groupe de (\mathbb{Z},+).

Théorème 2.1

Soit H un sous-groupe de (\mathbb{Z},+). Alors il existe n\in\mathbb{N} tel que H=n\mathbb{Z}.

Preuve. Si H=\{0\}, alors H=0\mathbb{Z}. Si H\neq\{0\}, soit x\in H, x\neq 0 ; alors -x\in H, donc H contient un entier naturel non nul, c’est-à-dire H\cap\mathbb{N}^*\neq\varnothing. Soit n=\min(H\cap\mathbb{N}^*). Montrons que H=n\mathbb{Z} :

• n\in H donc 2n\in H puis, par récurrence, \forall k\in\mathbb{N},\ kn\in H ; de même -n\in H donc \forall k\in\mathbb{Z},\ kn\in H. Ainsi n\mathbb{Z}\subset H.
• Soit m\in H ; il existe (q,r)\in\mathbb{Z}^2 tels que m=nq+r et 0\leq r\leq n-1. Or nq\in n\mathbb{Z} et r=m-nq\in H car H est un sous-groupe. Si r>0, alors r\in H\cap\mathbb{N}^* et r<n, ce qui contredit la définition de n. Donc r=0, donc m=nq\in n\mathbb{Z}, donc H\subset n\mathbb{Z}.

Exercice 2.1

Soit (a,b)\in\mathbb{Z}^2\smallsetminus\{(0,0)\}. En utilisant la propriété montrée ci-dessus, montrer que : a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=(a\wedge b)\mathbb{Z} \quad ; \quad a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=(a\vee b)\mathbb{Z} où a\wedge b désigne le pgcd de a et b, et a\vee b leur ppcm.

2.4 Sous-groupe engendré par une partie

Soit S\subset G ; considérons l’ensemble \mathcal{F} des sous-groupes H tels que S\subset H (on remarque que \mathcal{F}\neq\varnothing car G\in\mathcal{F}). L’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent S est un sous-groupe, noté \langle S\rangle : c’est le plus petit sous-groupe qui contient S, appelé sous-groupe engendré par S. On dira que S engendre G si et seulement si \langle S\rangle=G. On remarque que \langle\varnothing\rangle=\{e\}.

Pour x\in G, on montre que \langle x\rangle=\{x^k\ /\ k\in\mathbb{Z}\}.

Définition 2.3

On dit que G est monogène s’il existe x\in G tel que G=\langle x\rangle. On dit que G est cyclique s’il est monogène et fini.

Exemple 2.3

• (\mathbb{Z},+) est monogène car \mathbb{Z}=\langle 1\rangle=\langle -1\rangle ; n\mathbb{Z}=\langle n\rangle dans (\mathbb{Z},+) ;
• (\mathbb{U}_n,\times) est cyclique car \mathbb{U}_n=\langle\omega\rangle où \omega=e^{\frac{2i\pi}{n}} ;
• (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+) est cyclique car \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\langle\overline{1}\rangle.

Conséquence. Un groupe monogène est forcément commutatif ; donc un groupe non commutatif ne peut être monogène.

2.5 Morphismes de groupes

Définition 2.4

Soient (G,\cdot) et (H,\star) deux groupes et f : G\to H. On dit que f est un morphisme de groupes si et seulement si \forall x,y\in G,\ f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).

Exemple 2.4

• \ln est un morphisme de groupes de (\mathbb{R}_+^*,\times) dans (\mathbb{R},+) ; \exp est un morphisme de (\mathbb{R},+) dans (\mathbb{R}_+^*,\times) ;
• pour \alpha\in\mathbb{R}, x\mapsto x^\alpha est un morphisme de (\mathbb{R}_+^*,\times) dans (\mathbb{R}_+^*,\times) ;
• z\mapsto|z| est un morphisme de (\mathbb{C}^*,\times) dans (\mathbb{R}_+^*,\times) ; z\mapsto\overline{z} est un morphisme de (\mathbb{C}^*,\times) dans (\mathbb{C}^*,\times) ;
• t\mapsto e^{it} est un morphisme de (\mathbb{R},+) dans (\mathbb{U},\times).

Vocabulaire. Un morphisme de groupes bijectif est appelé isomorphisme ; un morphisme de G dans G est un endomorphisme ; un endomorphisme bijectif est un automorphisme.

Proposition 2.3

Soient (G,\cdot) et (H,\star) deux groupes et f : G\to H un morphisme de groupes. Alors :

1. f(e_G)=e_H ;
2. pour x\in G : \forall n\in\mathbb{Z},\ f(x^n)=(f(x))^n et f(x^{-1})=(f(x))^{-1} ;
3. soit G_1 un sous-groupe de (G,\cdot) ; alors f(G_1) est un sous-groupe de (H,\star) ;
4. soit H_1 un sous-groupe de (H,\star) ; alors f^{-1}(H_1) est un sous-groupe de (G,\cdot) ; en particulier, f^{-1}(\{e_H\})=\{x\in G\ /\ f(x)=e_H\} est un sous-groupe de (G,\cdot) appelé noyau de f et noté \ker f ;
5. f est injective si et seulement si \ker f=\{e_G\}.

Proposition 2.4 — (Composée de deux morphismes)

1. Soient (G,\cdot), (H,\star) et (L,\top) trois groupes et f : G\to H, g : H\to L des morphismes de groupes. Alors g\circ f est un morphisme de (G,\cdot) dans (L,\top).
2. Soit f : G\to H un isomorphisme de groupes. Alors f^{-1} est un isomorphisme de (H,\star) dans (G,\cdot).

Application. Soit (G,\cdot) un groupe. On note \mathrm{Aut}(G) l’ensemble des automorphismes de G. Alors \mathrm{Aut}(G) est un sous-groupe de (\mathfrak{S}(G),\circ).

3 Anneaux et corps

3.1 Définitions, règles de calcul, exemples

Définition 3.1

Un anneau est un triplet (A,+,\times) où A est un ensemble non vide, + et \times des lois de composition internes telles que :

1. (A,+) est un groupe commutatif de neutre 0_A (on parle de zéro de A) ;
2. (A,\times) est un monoïde de neutre 1_A ;
3. \times est distributive à gauche et à droite par rapport à + : \forall a,b,c\in A,\ (a+b)\times c=a\times c+b\times c et c\times(a+b)=c\times a+c\times b.

L’anneau (A,+,\times) est commutatif si et seulement si \times est commutative.

Exemple 3.1

• (\mathbb{Z},+,\times), (\mathbb{R},+,\times), (\mathbb{C},+,\times) ;
• (\mathbb{K}^n,+,\times) est un anneau commutatif ;
• si X est un ensemble, (\mathcal{F}(X,\mathbb{K}),+,\times) est un anneau ;
• pour n\in\mathbb{N}^*, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+,\dot\times) est un anneau.

Vocabulaire. Les éléments inversibles pour \times s’appellent les unités de A, dont l’ensemble se note \mathcal{U}(A) ; (\mathcal{U}(A),\times) est un groupe appelé le groupe des unités de A. Par exemple, \mathcal{U}(\mathbb{Z})=\{\pm1\}, \mathcal{U}(\mathbb{R})=\mathbb{R}^*, \mathcal{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\{\overline{k}\ /\ k\in\llbracket 1,n\rrbracket \text{ et } k\wedge n=1\}.

Proposition 3.1 — (Règles de calcul)

Soit (A,+,\times) un anneau de neutres 0_A et 1_A. Alors :

1. Élément absorbant : \forall x\in A,\ 0_A\times x=x\times 0_A=0_A (donc 0_A n’est jamais inversible, et on écarte systématiquement le cas trivial 1_A=0_A) ;
2. Itérations de + et \times : \forall x,y\in A,\ \forall n\in\mathbb{Z},\ x\times(ny)=(nx)\times y=n(x\times y), et -1_A\times x=x\times(-1_A)=-x ;
3. Règle des signes : (-y)\times x=y\times(-x)=-(x\times y) et (-y)\times(-x)=y\times x ;
4. Distributivité étendue : pour a\in A, n\in\mathbb{N}^*, b_1,\cdots,b_n\in A : a\times\sum_{k=1}^n b_k=\sum_{k=1}^n a\times b_k ;
5. Formule du binôme : pour a,b\in A tels que a\times b=b\times a, \forall n\in\mathbb{N} : (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}
6. Factorisation : pour a,b\in A tels que a\times b=b\times a, \forall n\in\mathbb{N}^* : b^n-a^n=(b-a)\sum_{k=0}^{n-1}b^k a^{n-1-k}

Remarque. Si a\times b\neq b\times a, la formule du binôme peut être fausse : pour n=2, (a+b)^2=a^2+a\times b+b\times a+b^2, et il y a égalité avec a^2+2a\times b+b^2 si et seulement si a\times b=b\times a.

3.2 Anneaux intègres

Définition 3.2

Un anneau (A,+,\times) est intègre si et seulement si :

1. (A,+,\times) est commutatif ;
2. \forall x,y\in A,\ x\times y=0_A\Rightarrow x=0_A ou y=0_A.

Exemple 3.2

• (\mathbb{Z},+,\times) est un anneau intègre ;
• (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\dot+,\dot\times) n’est pas intègre : \overline{2}\dot\times\overline{3}=\overline{0} mais \overline{2}\neq\overline{0} et \overline{3}\neq\overline{0} ;
• soit n\in\mathbb{N}^* ; alors (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+,\dot\times) est intègre si et seulement si n est premier.

Preuve. (\Rightarrow) Par contraposée : supposons que n n’est pas premier ; alors n=pq avec p,q\in\llbracket 2,n-1\rrbracket, d’où \overline{0}=\overline{n}=\overline{p}\dot\times\overline{q} avec \overline{p}\neq\overline{0} et \overline{q}\neq\overline{0} : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} n’est pas intègre.

(\Leftarrow) Supposons n premier, et soient x,y\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} avec x\dot\times y=\overline{0}. Il existe k,l\in\llbracket 0,n-1\rrbracket tels que x=\overline{k} et y=\overline{l}. Ainsi \overline{0}=\overline{kl} donc n\mid kl. Or n est premier donc n\mid k ou n\mid l, donc \overline{k}=\overline{0} ou \overline{l}=\overline{0}.

Remarque. Si (A,+,\times) est intègre, alors tout élément non nul de A est régulier pour \times : si a\neq 0_A et a\times b=a\times c, alors a\times(b-c)=0 donc b-c=0, c’est-à-dire b=c.

3.3 Corps

Définition 3.3

Un anneau commutatif (\mathbb{K},+,\times) est un corps si et seulement si tout élément non nul est inversible par \times.

Exemple 3.3

• (\mathbb{Q},+,\times), (\mathbb{R},+,\times), (\mathbb{C},+,\times) sont des corps ;
• tout corps est un anneau intègre : soit (\mathbb{K},+,\times) un corps, x,y\in\mathbb{K} avec x\times y=0_\mathbb{K} ; si x\neq 0_\mathbb{K}, alors x est inversible donc x^{-1}\times x\times y=0_\mathbb{K}\Rightarrow y=0_\mathbb{K} ;
• soit n\in\mathbb{N}^* ; (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+,\dot\times) est un corps si et seulement si n est premier. Si p est un nombre premier, on note en général \mathbb{F}_p au lieu de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

3.4 Sous-anneaux, sous-corps et morphismes d’anneaux

Définition 3.4

Soit (A,+,\times) un anneau et B\subset A. On dit que B est un sous-anneau de A si :

1. B est un sous-groupe de (A,+) (i.e. 0_A\in B et \forall x,y\in B,\ x-y\in B) ;
2. B est stable par \times : \forall x,y\in B,\ x\times y\in B ;
3. 1_A\in B.

Exemple 3.4

• \mathbb{Z} est un sous-anneau de \mathbb{C}, et \mathbb{Z} est l’unique sous-anneau de \mathbb{Z} ;
• \mathbb{Z}[i]=\{a+ib\ /\ a,b\in\mathbb{Z}\} est un sous-anneau de \mathbb{C} ;
• 2\mathbb{Z}=\{2m\ /\ m\in\mathbb{Z}\} vérifie (1) et (2) mais pas (3) : ce n’est donc pas un sous-anneau.

Proposition 3.2

Une intersection de sous-anneaux est un sous-anneau.

Définition 3.5

Soit (L,+,\times) un corps et \mathbb{K}\subset L. On dit que \mathbb{K} est un sous-corps de L si \mathbb{K} est un sous-anneau de L et \forall x\in\mathbb{K}\smallsetminus\{0\},\ x^{-1}\in\mathbb{K}.

Exemple 3.5 — (ℚ[√5] est un sous-corps de ℝ)

On pose \mathbb{Q}[\sqrt{5}]=\{a+b\sqrt{5}\ /\ a,b\in\mathbb{Q}\}.

• \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[\sqrt{5}] ; la somme et le produit de deux éléments de \mathbb{Q}[\sqrt{5}] sont dans \mathbb{Q}[\sqrt{5}] : donc \mathbb{Q}[\sqrt{5}] est un sous-anneau de (\mathbb{R},+,\times).
• Soit x=a+b\sqrt{5}\in\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\smallsetminus\{0\}. Alors a-b\sqrt{5}\neq 0 (sinon \sqrt{5}\in\mathbb{Q} ou b=0, cas tous deux impossibles), et : \frac{1}{x}=\frac{a-b\sqrt{5}}{a^2+5b^2}=\frac{a}{a^2+5b^2}-\frac{b}{a^2+5b^2}\sqrt{5}\in\mathbb{Q}[\sqrt{5}] Donc \mathbb{Q}[\sqrt{5}] est un sous-corps de \mathbb{R}.

Définition 3.6 — (Morphisme d’anneaux)

Soient (A,+,\times) et (B,\dot+,\dot\times) deux anneaux. Alors f : A\to B est un morphisme d’anneaux si :

1. f est un morphisme de groupes de (A,+) dans (B,\dot+) : \forall x,y\in A,\ f(x+y)=f(x)\dot+f(y) ;
2. \forall x,y\in A,\ f(x\times y)=f(x)\dot\times f(y) ;
3. f(1_A)=1_B.

Remarque. Soient f : \mathbb{K}\to A un morphisme d’anneaux avec \mathbb{K} un corps. Alors f est injective : en effet, si x\in\mathbb{K}\smallsetminus\{0_\mathbb{K}\}, alors 1_A=f\left(x\times\frac{1}{x}\right)=f(x)f\left(\frac{1}{x}\right) donc f(x)\neq 0_A, d’où \ker f=\{0_\mathbb{K}\}. Autrement dit, A contient (via f) une copie de \mathbb{K}.

4 L’anneau \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : récapitulatif

Proposition 4.1

Soit n\in\mathbb{N}^*.

1. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+) est un groupe commutatif, cyclique d’ordre n, engendré par \overline{1} ; en particulier \forall x\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ nx=\overline{0} ;
2. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\dot+,\dot\times) est un anneau commutatif ;
3. \overline{k} est inversible pour \dot\times si et seulement si k\wedge n=1 ; ainsi (\mathcal{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),\dot\times) est un groupe commutatif et, pour x\in\mathcal{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), x^{\varphi(n)}=\overline{1} ;
4. \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est intègre, et même un corps, si et seulement si n est premier (on note alors \mathbb{F}_p).

Exercice 4.1

1. Montrer que (\mathbb{Z}[i],+,\times) est un anneau (entiers de Gauss).
2. Soit H\subset\mathbb{C}^*. Montrer que si (H,\times) est un sous-groupe fini de (\mathbb{C}^*,\times), alors il existe n\in\mathbb{N}^* tel que H=\mathbb{U}_n.
3. Soit H\subset\mathbb{R}. Montrer que si H est un sous-groupe de (\mathbb{R},+), alors soit il existe \alpha\in\mathbb{R} tel que H=\alpha\mathbb{Z}, soit H est dense dans \mathbb{R}. Application : montrer que toute fonction continue sur \mathbb{R} admettant 1 et \sqrt{2} comme périodes est constante.
4. Soit \mathbb{K}=\mathbb{Q}[\sqrt{5}]. Déterminer les morphismes d’anneaux de \mathbb{K} dans \mathbb{R}.

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