TD — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MP (2e année) — TD du Chapitre 03. Éléments propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, application de la notion de polynôme annulateur à la réduction.

Exercice 1

Soit A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & -3 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}.

  1. Déterminer \chi_A.
  2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
  3. A est-elle diagonalisable ?

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \chi_A.
  2. A est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
  3. Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 3

Soit u \in \mathcal{L}(E) avec u^2 = u (projecteur). Montrer que :

  1. Les valeurs propres de u sont dans \{0, 1\}.
  2. u est diagonalisable.
  3. \mathrm{tr}(u) = \mathrm{rg}(u).

Exercice 4

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) diagonalisable avec A = PDP^{-1}. Montrer que :

  1. A^k = PD^kP^{-1} pour tout k \in \mathbb{N}.
  2. Si A est inversible, A^{-1} = PD^{-1}P^{-1}.
  3. Pour tout polynôme P, P(A) = P(D) conjugué.

Exercice 5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). Montrer que A est trigonalisable si et seulement si \chi_A est scindé sur \mathbb{C}.

Exercice 6

Soit u \in \mathcal{L}(E) et \lambda une valeur propre de u. Montrer que :

  1. \lambda est racine de tout polynôme annulateur de u.
  2. \lambda est racine du polynôme minimal.
  3. \lambda est racine de \chi_u.

Exercice 7

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et P_A son polynôme minimal. Montrer que :

  1. P_A divise \chi_A (Cayley-Hamilton).
  2. A est diagonalisable si et seulement si P_A est scindé à racines simples.

Exercice 8

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) avec AB = BA. Montrer que si \lambda est valeur propre de A, alors E_\lambda(A) est stable par B.

Exercice 9

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) nilpotente (A^p = 0 pour un certain p). Montrer que :

  1. \chi_A(X) = X^n.
  2. A est trigonalisable.
  3. A est diagonalisable si et seulement si A = 0.

Exercice 10

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Déterminer la décomposition de Dunford de A.

Indication : A = D + N avec D = I_3 (diagonalisable) et N = A - I_3 (nilpotente). Vérifier DN = ND.

Cours

Chapitre 03 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées