TD — Espaces vectoriels normés
Chapitre 02
MP (2e année) — TD du Chapitre 02. Normes et EVN, suites d’éléments d’un EVN, topologie d’un EVN, comparaison des normes, étude locale d’une application, parties compactes, parties connexes par arcs, EVN de dimension finie, suites de Cauchy.
Exercice 1
Montrer que les applications suivantes définissent des normes sur \mathbb{R}^n :
- \|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|
- \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}
- \|x\|_\infty = \max_{1 \leq k \leq n} |x_k|
Exercice 2
Soit (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n) une suite convergente de limite l. Montrer que :
- \|u_n\| \to \|l\|.
- (u_n) est bornée.
- La limite est unique.
Exercice 3
Montrer que dans un EVN, toute boule ouverte est un ouvert et toute boule fermée est un fermé.
Exercice 4
Soient \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 deux normes sur un espace vectoriel E. Montrer que \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 sont équivalentes si et seulement s’il existe a, b > 0 tels que : \forall x \in E,\quad a\,\mathcal{N}_1(x) \leq \mathcal{N}_2(x) \leq b\,\mathcal{N}_1(x)
Exercice 5
Montrer que sur \mathbb{R}[X], les normes \|P\|_\infty = \max_k |a_k| et \|P\|_1 = \sum_k |a_k| ne sont pas équivalentes.
Indication : Prendre P_n = X^n. On a \|P_n\|_\infty = 1 et \|P_n\|_1 = 1, mais considérer Q_n = 1 + X + \cdots + X^n.
Exercice 6
Soit f : E \to F une application entre deux EVN. Montrer que f est continue en a si et seulement si pour toute suite (x_n) convergeant vers a, (f(x_n)) converge vers f(a).
Exercice 7
Soit K une partie compacte d’un EVN et f : K \to \mathbb{R} continue. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes.
Exercice 8
Montrer que dans un EVN de dimension finie, toute partie fermée et bornée est compacte.
Exercice 9
Montrer que toute partie convexe d’un EVN est connexe par arcs.
Exercice 10
Soit (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n) une suite de Cauchy. Montrer que (u_n) est bornée.
Indication : Il existe N tel que pour p, q \geq N, \|u_p - u_q\| < 1. Donc pour n \geq N, \|u_n\| \leq \|u_N\| + 1.