TD — Structures algébriques

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MP (2e année) — TD du Chapitre 01. Groupes, anneaux et corps, anneau \mathbb{K}[X], \mathbb{K}-algèbres.

Exercice 1

Soit (G, \star) un groupe. Montrer que :

  1. L’élément neutre est unique.
  2. Tout élément a un unique symétrique.
  3. \forall a, b \in G,\; (a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}.

Exercice 2

Soit (A, +, \times) un anneau. Montrer que :

  1. \forall a \in A,\; 0_A \times a = 0_A.
  2. \forall a, b \in A,\; (-a) \times b = -(a \times b).
  3. Si A est intègre, alors ab = 0 \implies a = 0 ou b = 0.

Exercice 3

Montrer que \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un corps si et seulement si n est premier.

Indication : Si n est premier, tout \bar{k} \neq \bar{0} est inversible par Bézout. Si n est composé, n = ab avec 1 < a, b < n donne des diviseurs de zéro.

Exercice 4

Soit \mathbb{K}[X] l’anneau des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}. Montrer que :

  1. \mathbb{K}[X] est un anneau intègre.
  2. La division euclidienne existe et est unique dans \mathbb{K}[X].
  3. \mathbb{K}[X] est un anneau euclidien.

Exercice 5

Soit A une \mathbb{K}-algèbre. Montrer que :

  1. \mathcal{L}(E) est une \mathbb{K}-algèbre pour tout \mathbb{K}-espace vectoriel E.
  2. \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est une \mathbb{K}-algèbre.
  3. \mathbb{K}[X] est une \mathbb{K}-algèbre.

Exercice 6

Soit A un anneau et a \in A. Montrer que :

  1. Si a est nilpotent (a^n = 0 pour un certain n), alors 1 - a est inversible.
  2. Si a est idempotent (a^2 = a), alors a et 1-a sont idempotents.

Indication : Pour (1), (1-a)^{-1} = 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}.

Exercice 7

Montrer que le centre d’un anneau A, défini par Z(A) = \{a \in A \mid \forall x \in A,\; ax = xa\}, est un sous-anneau de A.

Exercice 8

Soient P, Q \in \mathbb{K}[X]. Montrer que :

  1. P \wedge Q = 1 si et seulement s’il existe U, V \in \mathbb{K}[X] tels que UP + VQ = 1.
  2. Si P est irréductible et P \mid QR, alors P \mid Q ou P \mid R.

Exercice 9

Soit \varphi : A \to B un morphisme d’anneaux. Montrer que :

  1. \ker \varphi est un idéal de A.
  2. \mathrm{Im}(\varphi) est un sous-anneau de B.
  3. Si \varphi est surjectif, alors B est commutatif si A l’est.

Exercice 10

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que \mathcal{L}(E) est une \mathbb{K}-algèbre non commutative si \dim E \geq 2.

Indication : Donner deux matrices 2 \times 2 qui ne commutent pas.

Cours

Chapitre 01 : Structures algébriques