TD — Séries dans un espace vectoriel normé et familles sommables
Chapitre 04
MP (2e année) — TD du Chapitre 04. Convergence, convergence absolue, reste, séries d’éléments d’une \mathbb{K}-algèbre normée, famille sommable de nombres complexes, critère de comparaison, théorème de sommation par paquets, critère de sommabilité, produit de Cauchy.
Exercice 1
Soit (E, \|\cdot\|) un EVN et \sum u_n une série à valeurs dans E. Montrer que si \sum u_n converge, alors u_n \to 0.
Exercice 2
Montrer qu’une série absolument convergente dans un EVN de dimension finie est convergente.
Indication : Utiliser le critère de Cauchy et l’inégalité triangulaire.
Exercice 3
Soit \sum u_n une série convergente de somme S. Montrer que le reste R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k tend vers 0.
Exercice 4
Soit A une \mathbb{K}-algèbre normée de dimension finie. Montrer que si \|a\| < 1, alors la série géométrique \sum a^n converge et : \sum_{n=0}^{+\infty} a^n = (e - a)^{-1}
Indication : Montrer d’abord que e - a est inversible (série de Neumann), puis montrer la convergence de la série.
Exercice 5
Soit (u_i)_{i \in I} une famille de nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable. Montrer que la famille est sommable si et seulement si pour toute bijection \varphi : \mathbb{N} \to I, la série \sum u_{\varphi(n)} est absolument convergente.
Exercice 6
Soient (u_i)_{i \in I} et (v_i)_{i \in I} deux familles sommables. Montrer que (u_i + v_i)_{i \in I} est sommable et : \sum_{i \in I} (u_i + v_i) = \sum_{i \in I} u_i + \sum_{i \in I} v_i
Exercice 7
Soit I = I_1 \cup I_2 avec I_1 \cap I_2 = \varnothing et (u_i)_{i \in I} une famille sommable. Montrer le théorème de sommation par paquets : \sum_{i \in I} u_i = \sum_{i \in I_1} u_i + \sum_{i \in I_2} u_i
Exercice 8
Soient \sum a_n et \sum b_n deux séries absolument convergentes. Montrer que le produit de Cauchy \sum c_n avec c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} est absolument convergent et : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)
Exercice 9
Montrer que \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e en utilisant le produit de Cauchy de \sum \frac{x^n}{n!} par elle-même.
Exercice 10
Soit (u_n) une suite d’éléments d’un EVN telle que \sum \|u_n\| converge. Montrer que \sum u_n converge et : \left\|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right\| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|