Représentations matricielles

Chapitre 15

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

TSI 1re année — Chapitre 15. Matrice d’une application linéaire, changements de bases, matrices semblables, rang d’une matrice, retour sur les systèmes linéaires.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.

1 Matrice d’une application linéaire dans des bases

1.1 Matrice d’une famille de vecteurs

Définition 1.1

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E, et v_1, \ldots, v_p des vecteurs de E.

Pour chaque j \in \{1, \ldots, p\}, le vecteur v_j s’écrit de manière unique : v_j = a_{1,j} e_1 + a_{2,j} e_2 + \cdots + a_{n,j} e_n

La matrice de la famille (v_1, \ldots, v_p) dans la base \mathcal{B} est la matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) dont la j-ème colonne est constituée des coordonnées de v_j dans la base \mathcal{B} :

A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}

Exemple 1.1

Dans \mathbb{R}^3 muni de la base canonique \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3), la matrice de la famille ((1,2,3), (4,5,6)) est : A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

1.2 Matrice d’une application linéaire

Définition 1.2

Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p) une base de E et \mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_n) une base de F.

Soit u : E \to F une application linéaire. Pour chaque j \in \{1, \ldots, p\}, le vecteur u(e_j) s’écrit de manière unique : u(e_j) = a_{1,j} f_1 + a_{2,j} f_2 + \cdots + a_{n,j} f_n

La matrice de l’application linéaire u par rapport aux bases \mathcal{B} et \mathcal{B}' est la matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) dont la j-ème colonne est constituée des coordonnées de u(e_j) dans la base \mathcal{B}'. On note : A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)

Remarque. Une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie est entièrement déterminée par l’image d’une base de l’espace de départ. La matrice \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) est donc la représentation matricielle complète de u.

Exemple 1.2

Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 définie par u(x,y) = (x+y, x-y, 2x).

Dans les bases canoniques, on a : u(e_1) = u(1,0) = (1, 1, 2), \quad u(e_2) = u(0,1) = (1, -1, 0)

Donc : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

Exemple 1.3

Soit u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par u(x,y,z) = (2x+y, y-z, x+z).

u(e_1) = (2, 0, 1), \quad u(e_2) = (1, 1, 0), \quad u(e_3) = (0, -1, 1)

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur

Proposition 1.1

Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B} une base de E, \mathcal{B}' une base de F, et u \in \mathcal{L}(E,F).

Si X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x) est la matrice colonne des coordonnées de x \in E dans la base \mathcal{B}, et A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u), alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u(x)) = A \cdot X

Exemple 1.4

Reprenons l’exemple précédent avec u(x,y) = (x+y, x-y, 2x) et x = (3, 1).

X = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}

Vérification : u(3,1) = (3+1, 3-1, 2 \times 3) = (4, 2, 6). ✓

1.4 Matrice d’une composée

Proposition 1.2

Soient E, F, G trois \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B} une base de E, \mathcal{B}' une base de F, \mathcal{B}'' une base de G.

Soient u \in \mathcal{L}(E,F) et v \in \mathcal{L}(F,G). Alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}''}(v \circ u) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}''}(v) \times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)

Remarque. Le produit matriciel est défini de manière à correspondre à la composition des applications linéaires. L’ordre est important : la matrice de v \circ u est le produit de la matrice de v par la matrice de u, dans cet ordre.

Exemple 1.5

Soient u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 et v : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définies par : u(x,y) = (x+y, x-y, 2x), \quad v(a,b,c) = (a+b, b+c)

On a : A = \mathrm{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \mathrm{Mat}(v) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

\mathrm{Mat}(v \circ u) = BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

Vérification : (v \circ u)(x,y) = v(x+y, x-y, 2x) = (2x, x-y+2x) = (2x, 3x-y). ✓

1.5 Isomorphisme entre \mathcal{L}(E,F) et \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

Théorème 1.1

Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, \mathcal{B} une base de E et \mathcal{B}' une base de F.

L’application : \Phi : \mathcal{L}(E,F) \to \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \quad u \mapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) est un isomorphisme de \mathbb{K}-espaces vectoriels.

Corollaire 1.1

\dim(\mathcal{L}(E,F)) = \dim(E) \times \dim(F) = p \times n.

2 Application linéaire canoniquement associée à une matrice

2.1 Définition

Définition 2.1

Soit A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). L’application linéaire canoniquement associée à A est l’application : f_A : \mathbb{K}^p \to \mathbb{K}^n, \quad X \mapsto AX

Proposition 2.1

f_A est une application linéaire.

Exemple 2.1

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}. L’application linéaire associée est : f_A : \mathbb{K}^3 \to \mathbb{K}^2, \quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 \end{pmatrix}

2.2 Noyau et image d’une matrice

Définition 2.2

Soit A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}).

  • Le noyau de A, noté \mathrm{Ker}(A), est le noyau de l’application linéaire f_A : \mathrm{Ker}(A) = \{X \in \mathbb{K}^p \mid AX = 0\}

  • L’image de A, notée \mathrm{Im}(A), est l’image de f_A : \mathrm{Im}(A) = \{AX \mid X \in \mathbb{K}^p\}

Proposition 2.2

Soit A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}).

  1. \mathrm{Ker}(A) est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p.
  2. \mathrm{Im}(A) est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^n.
  3. Les colonnes de A engendrent \mathrm{Im}(A).
  4. Les lignes de A donnent un système d’équations de \mathrm{Ker}(A).

Exemple 2.2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.

Noyau : AX = 0 donne : \begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 = 0 \end{cases} De la deuxième équation : x_1 = -\frac{3}{2}x_2. En substituant dans la première : -\frac{3}{2}x_2 + 2x_2 - x_3 = 0, donc x_3 = \frac{1}{2}x_2.

\mathrm{Ker}(A) = \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right)

Image : Les colonnes de A sont \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}. Comme \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} sont libres, \mathrm{Im}(A) = \mathbb{K}^2.

2.3 Rang d’une matrice

Définition 2.3

Le rang d’une matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), noté \mathrm{rg}(A), est le rang de l’application linéaire f_A, c’est-à-dire : \mathrm{rg}(A) = \dim(\mathrm{Im}(A))

Proposition 2.3

Le rang d’une matrice est égal au nombre de pivots obtenus par l’algorithme de Gauss-Jordan.

Proposition 2.4 — (Caractérisations des matrices inversibles)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. A est inversible.
  2. \mathrm{Ker}(A) = \{0\}.
  3. \mathrm{Im}(A) = \mathbb{K}^n.
  4. \mathrm{rg}(A) = n.
  5. Le système AX = 0 a une unique solution X = 0.
  6. Pour tout B \in \mathbb{K}^n, le système AX = B a une unique solution.

Proposition 2.5 — (Conservation du rang)

Le rang d’une matrice est conservé par multiplication à gauche ou à droite par une matrice inversible.

Proposition 2.6

Une matrice et sa transposée ont le même rang : \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}({}^tA)

3 Changements de bases

3.1 Matrice de passage

Définition 3.1

Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) et \mathcal{B}' = (e'_1, \ldots, e'_n) deux bases de E.

La matrice de passage de \mathcal{B} à \mathcal{B}', notée P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, est la matrice de la famille \mathcal{B}' dans la base \mathcal{B}. Autrement dit, la j-ème colonne de P est constituée des coordonnées de e'_j dans la base \mathcal{B}.

Proposition 3.1

La matrice de passage P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} est inversible, et : P^{-1} = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}

Exemple 3.1

Dans \mathbb{R}^2, soient \mathcal{B} = (e_1, e_2) la base canonique et \mathcal{B}' = (e'_1, e'_2) avec e'_1 = e_1 + e_2 et e'_2 = e_1 - e_2.

P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}

3.2 Effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur

Proposition 3.2

Soient \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E, P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, et x \in E. Si X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x) et X' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x), alors : X = P \cdot X' \quad \text{et} \quad X' = P^{-1} \cdot X

3.3 Effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application linéaire

Théorème 3.1 — (Formule de changement de bases)

Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B}_E, \mathcal{B}'_E deux bases de E, \mathcal{B}_F, \mathcal{B}'_F deux bases de F.

Soit u \in \mathcal{L}(E,F). On pose : - P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}'_E} - Q = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}'_F} - A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F}(u) - B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'_E, \mathcal{B}'_F}(u)

Alors : \boxed{B = Q^{-1} A P}

Exemple 3.2

Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y) = (2x+y, x-y).

Dans la base canonique \mathcal{B} : A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Soit \mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1)). On a : P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}

B = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}

Vérification : u(1,1) = (3, 0) = \frac{3}{2}(1,1) + \frac{3}{2}(1,-1) et u(1,-1) = (1, 2) = \frac{3}{2}(1,1) - \frac{1}{2}(1,-1). ✓

3.4 Cas particulier des endomorphismes

Corollaire 3.1 — (Formule de changement de base pour un endomorphisme)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie, \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E, P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, et u \in \mathcal{L}(E). Si A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) et B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u), alors : \boxed{B = P^{-1} A P}

4 Matrices semblables

4.1 Définition

Définition 4.1

Deux matrices A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) telle que : B = P^{-1} A P

Proposition 4.1

La relation de similitude est une relation d’équivalence sur \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) :

  1. Réflexivité : A est semblable à elle-même (avec P = I_n).
  2. Symétrie : Si B = P^{-1}AP, alors A = PBP^{-1}, donc A est semblable à B.
  3. Transitivité : Si B = P^{-1}AP et C = Q^{-1}BQ, alors C = (PQ)^{-1}A(PQ), donc A est semblable à C.

Proposition 4.2 — (Interprétation)

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

Proposition 4.3 — (Invariants par similitude)

Si A et B sont semblables, alors :

  1. \det(A) = \det(B) (si les déterminants sont définis)
  2. \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)
  3. \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B) (si les traces sont définies)
  4. A et B ont les mêmes valeurs propres
  5. A^n et B^n sont semblables pour tout n \in \mathbb{N}

Exemple 4.1

Les matrices A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} sont-elles semblables ?

On vérifie les invariants : \mathrm{tr}(A) = 5 = \mathrm{tr}(B), \det(A) = 6 = \det(B), \mathrm{rg}(A) = 2 = \mathrm{rg}(B).

Les valeurs propres de A sont 2 et 3. Les valeurs propres de B sont aussi 2 et 3. Donc A et B sont semblables.

5 Retour sur les systèmes linéaires

5.1 Écriture matricielle

Proposition 5.1

Le système linéaire : \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,p}x_p = b_1 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,p}x_p = b_n \end{cases} s’écrit sous forme matricielle : AX = B où A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est la matrice des coefficients, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}.

5.2 Système homogène associé

Proposition 5.2

Le système homogène associé à AX = B est AX = 0. L’ensemble des solutions de AX = 0 est \mathrm{Ker}(A), qui est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p de dimension p - \mathrm{rg}(A).

5.3 Condition de compatibilité

Proposition 5.3

Le système AX = B est compatible si et seulement si B \in \mathrm{Im}(A), c’est-à-dire si et seulement si : \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A|B) où (A|B) est la matrice augmentée.

5.4 Structure de l’ensemble des solutions

Proposition 5.4

Si le système AX = B est compatible et si X_0 est une solution particulière, alors l’ensemble des solutions est : \{X_0 + Y \mid Y \in \mathrm{Ker}(A)\}

C’est un sous-espace affine de \mathbb{K}^p de dimension p - \mathrm{rg}(A).

5.5 Formulation du théorème du rang pour les systèmes

Théorème 5.1 — (Théorème du rang pour les systèmes linéaires)

Soit AX = B un système linéaire de n équations à p inconnues. Alors :

  1. Le rang du système est \mathrm{rg}(A).
  2. La dimension de l’espace des solutions du système homogène associé est p - \mathrm{rg}(A).
  3. Le système est compatible si et seulement si \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A|B).

5.6 Cas des systèmes carrés

Proposition 5.5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. A est inversible.
  2. \mathrm{rg}(A) = n.
  3. Pour tout B \in \mathbb{K}^n, le système AX = B a une unique solution X = A^{-1}B.
  4. Le système AX = 0 a une unique solution X = 0.

6 Matrices élémentaires et opérations élémentaires

6.1 Matrices élémentaires

Définition 6.1

Les matrices élémentaires de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) sont les matrices obtenues à partir de I_n par une seule opération élémentaire sur les lignes (ou les colonnes) :

  1. Dilatation : E_{L_i \leftarrow \lambda L_i} avec \lambda \neq 0
  2. Transvection : E_{L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j} avec i \neq j
  3. Échange : E_{L_i \leftrightarrow L_j} avec i \neq j

Proposition 6.1

Toute matrice élémentaire est inversible.

Effectuer une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice A revient à multiplier A à gauche par la matrice élémentaire correspondante.

Effectuer une opération élémentaire sur les colonnes de A revient à multiplier A à droite par la matrice élémentaire correspondante.

Proposition 6.2 — (Conservation du rang)

Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. colonnes) conservent l’image (resp. le noyau) et le rang d’une matrice.

7 Exercices

Exercice 7.1

Soit u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y,z) = (x+2y-z, 2x+3y).

  1. Déterminer la matrice de u dans les bases canoniques.
  2. Calculer \mathrm{Ker}(u) et \mathrm{Im}(u).
  3. Vérifier le théorème du rang.

Exercice 7.2

Soient \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de \mathbb{R}^3 et \mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3) avec : e'_1 = e_1 + e_2, \quad e'_2 = e_2 + e_3, \quad e'_3 = e_1 + e_3

  1. Déterminer la matrice de passage P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}.
  2. Calculer P^{-1}.
  3. Soit x = 2e_1 + 3e_2 + e_3. Déterminer les coordonnées de x dans la base \mathcal{B}'.

Exercice 7.3

Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y) = (3x-y, x+y).

  1. Déterminer la matrice A de u dans la base canonique.
  2. Soit \mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1)). Déterminer la matrice B de u dans la base \mathcal{B}'.
  3. Vérifier que A et B sont semblables.

Exercice 7.4

Résoudre le système : \begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + 3y + z = 2 \\ x + y = 1 \end{cases}

  1. Écrire le système sous forme matricielle AX = B.
  2. Déterminer \mathrm{rg}(A) et \mathrm{rg}(A|B).
  3. Le système est-il compatible ? Si oui, déterminer l’ensemble des solutions.

Exercice 7.5

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Déterminer \mathrm{rg}(A).
  2. Déterminer \mathrm{Ker}(A) et \mathrm{Im}(A).
  3. A est-elle inversible ?

Exercice 7.6

Montrer que les matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} sont semblables en déterminant explicitement une matrice de passage P.

Exercice 7.7

Soit A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

  1. Montrer que A^3 = I_3.
  2. En déduire que A est inversible et calculer A^{-1}.
  3. Déterminer \mathrm{Ker}(A - I_3) et \mathrm{Im}(A - I_3).

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Chapitre 15 : Représentations matricielles