Applications linéaires
Chapitre 14
TSI 1re année — Chapitre 14. Opérations, image, noyau, isomorphismes, projecteurs, symétries, théorème du rang.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et E, F, G désignent des \mathbb{K}-espaces vectoriels.
1 Définition et exemples
1.1 Définition
Définition 1.1
Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels. Une application f : E \to F est dite linéaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
- Additivité : \forall u, v \in E, \quad f(u+v) = f(u) + f(v)
- Homogénéité : \forall \lambda \in \mathbb{K}, \; \forall u \in E, \quad f(\lambda u) = \lambda f(u)
On dit aussi que f est un morphisme de \mathbb{K}-espaces vectoriels.
Proposition 1.1 — (Caractérisation)
Une application f : E \to F est linéaire si et seulement si : \forall u, v \in E, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \quad f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)
Remarque. On note \mathcal{L}(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
Définition 1.2
- Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est noté \mathcal{L}(E).
- Une application linéaire de E dans \mathbb{K} est appelée forme linéaire sur E.
- Une application linéaire bijective de E dans F est appelée isomorphisme de E sur F.
- Un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme de E.
Exemple 1.1
- L’application nulle f : E \to F, u \mapsto 0_F est linéaire.
- L’application identité \mathrm{Id}_E : E \to E, u \mapsto u est linéaire.
- Soit \lambda \in \mathbb{K}. L’application f : E \to E, u \mapsto \lambda u est linéaire. C’est une homothétie de rapport \lambda.
Exemple 1.2
Pour une matrice fixée A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), l’application : \begin{array}{rcl} \mathbb{K}^p & \to & \mathbb{K}^n \\ X & \mapsto & AX \end{array} est une application linéaire.
L’application f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y,z) = (-2x, y+3z) est une application linéaire.
Preuve : Soient u = (x,y,z) et v = (x',y',z') deux éléments de \mathbb{R}^3 et \lambda \in \mathbb{R}.
\begin{aligned} f(u+v) &= f(x+x', y+y', z+z') = (-2(x+x'), y+y'+3(z+z')) \\ &= (-2x, y+3z) + (-2x', y'+3z') = f(u) + f(v) \end{aligned}
\begin{aligned} f(\lambda u) &= f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = (-2\lambda x, \lambda y + 3\lambda z) \\ &= \lambda \cdot (-2x, y+3z) = \lambda f(u) \end{aligned}
Exemple 1.3
Voici d’autres exemples d’applications linéaires :
La dérivée : l’application f : \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X], P \mapsto P' est un endomorphisme de \mathbb{K}[X].
La transposition : l’application T : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), A \mapsto A^T est un endomorphisme de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).
La trace : l’application \mathrm{tr} : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}, A \mapsto \mathrm{tr}(A) est une forme linéaire.
Exemple 1.4 — (Applications qui ne sont pas linéaires)
L’application f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 n’est pas linéaire car f(2) = 4 \neq 2 \cdot f(1) = 2.
L’application f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x + 1 n’est pas linéaire car f(0) = 1 \neq 0.
L’application f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \mapsto xy n’est pas linéaire car f(1,1) + f(1,1) = 2 \neq f(2,2) = 4.
Exercice 1.1
Montrer que les applications suivantes f_i : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 sont linéaires. Caractériser géométriquement ces applications et faire un dessin.
- f_1(x,y) = (-x, -y)
- f_2(x,y) = (3x, 3y)
- f_3(x,y) = (x, -y)
- f_4(x,y) = (-x, y)
- f_5(x,y) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y, \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right)
1.2 Exemples géométriques
Symétrie centrale. Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. L’application f : E \to E, u \mapsto -u est linéaire et s’appelle la symétrie centrale par rapport à l’origine 0_E.
Projection. Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E, c’est-à-dire E = F \oplus G. Tout vecteur u de E s’écrit de façon unique u = v + w avec v \in F et w \in G. La projection sur F parallèlement à G est l’application p : E \to E définie par p(u) = v.
Symétrie. Avec les mêmes hypothèses, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s : E \to E définie par s(u) = v - w.
2 Opérations sur les applications linéaires
2.1 Structure d’espace vectoriel
Proposition 2.1
\mathcal{L}(E, F) est un \mathbb{K}-espace vectoriel. La somme de deux applications linéaires et le produit par un scalaire d’une application linéaire sont des applications linéaires.
Preuve. Soient f, g \in \mathcal{L}(E,F) et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. Pour tous u, v \in E :
(\lambda f + \mu g)(u+v) = \lambda f(u+v) + \mu g(u+v) = \lambda(f(u)+f(v)) + \mu(g(u)+g(v)) = \lambda f(u) + \mu g(u) + \lambda f(v) + \mu g(v) = (\lambda f + \mu g)(u) + (\lambda f + \mu g)(v)
De même pour la multiplication par un scalaire.
2.2 Composition
Proposition 2.2 — (Bilinéarité de la composition)
Soient f, f_1, f_2 \in \mathcal{L}(E,F) et g, g_1, g_2 \in \mathcal{L}(F,G). Alors :
- g \circ (f_1 + f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2
- (g_1 + g_2) \circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f
- (\lambda g) \circ f = g \circ (\lambda f) = \lambda (g \circ f)
Proposition 2.3
Si f \in \mathcal{L}(E,F) et g \in \mathcal{L}(F,G), alors g \circ f \in \mathcal{L}(E,G).
Preuve. Soient u, v \in E et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. On a :
\begin{aligned} (g \circ f)(\lambda u + \mu v) &= g(f(\lambda u + \mu v)) \\ &= g(\lambda f(u) + \mu f(v)) \quad \text{(linéarité de } f\text{)} \\ &= \lambda g(f(u)) + \mu g(f(v)) \quad \text{(linéarité de } g\text{)} \\ &= \lambda (g \circ f)(u) + \mu (g \circ f)(v) \end{aligned}
Remarque. La composition des applications linéaires n’est en général pas commutative : g \circ f \neq f \circ g.
3 Image et noyau
3.1 Définitions
Définition 3.1
Soit f : E \to F une application linéaire.
Le noyau de f, noté \mathrm{Ker}(f), est l’ensemble des vecteurs de E dont l’image par f est le vecteur nul : \mathrm{Ker}(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}
L’image de f, notée \mathrm{Im}(f), est l’ensemble des vecteurs de F qui sont l’image d’au moins un vecteur de E : \mathrm{Im}(f) = \{y \in F \mid \exists x \in E, \; y = f(x)\}
Proposition 3.1
Soit f : E \to F une application linéaire. Alors :
- \mathrm{Ker}(f) est un sous-espace vectoriel de E.
- \mathrm{Im}(f) est un sous-espace vectoriel de F.
Preuve. Soient x_1, x_2 \in \mathrm{Ker}(f) et \lambda, \mu \in \mathbb{K}. On a : f(\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda f(x_1) + \mu f(x_2) = \lambda \cdot 0_F + \mu \cdot 0_F = 0_F Donc \lambda x_1 + \mu x_2 \in \mathrm{Ker}(f).
Preuve. Soient y_1, y_2 \in \mathrm{Im}(f). Il existe x_1, x_2 \in E tels que y_1 = f(x_1) et y_2 = f(x_2). Soient \lambda, \mu \in \mathbb{K}. On a : \lambda y_1 + \mu y_2 = \lambda f(x_1) + \mu f(x_2) = f(\lambda x_1 + \mu x_2) \in \mathrm{Im}(f)
Exemple 3.1
Reprenons l’exemple de l’application linéaire f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y,z) = (-2x, y+3z).
Noyau : \begin{aligned} (x,y,z) \in \mathrm{Ker}(f) &\iff f(x,y,z) = (0,0) \\ &\iff (-2x, y+3z) = (0,0) \\ &\iff x = 0 \text{ et } y = -3z \end{aligned} Donc \mathrm{Ker}(f) = \{(0, -3z, z) \mid z \in \mathbb{R}\} = \mathrm{Vect}((0,-3,1)).
Image : \mathrm{Im}(f) = \{(-2x, y+3z) \mid (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\} = \mathbb{R}^2
3.2 Image d’un sous-espace vectoriel
Proposition 3.2
Soit f : E \to F une application linéaire et A un sous-ensemble de E. L’image directe de A par f est : f(A) = \{f(x) \mid x \in A\} L’image réciproque d’un sous-ensemble B de F par f est : f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}
Proposition 3.3
Si A est un sous-espace vectoriel de E, alors f(A) est un sous-espace vectoriel de F.
Si B est un sous-espace vectoriel de F, alors f^{-1}(B) est un sous-espace vectoriel de E.
Proposition 3.4
Si (x_i)_{i \in I} est une famille génératrice de E, alors : \mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}(\{f(x_i) \mid i \in I\})
4 Injectivité, surjectivité, bijectivité
4.1 Caractérisations
Proposition 4.1 — (Injectivité)
Soit f : E \to F une application linéaire. Alors : f \text{ est injective} \iff \mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}
Preuve. (\Rightarrow) Si f est injective et x \in \mathrm{Ker}(f), alors f(x) = 0_F = f(0_E), donc x = 0_E.
(\Leftarrow) Si \mathrm{Ker}(f) = \{0_E\} et f(x_1) = f(x_2), alors f(x_1 - x_2) = 0_F, donc x_1 - x_2 \in \mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}, donc x_1 = x_2.
Proposition 4.2 — (Surjectivité)
Soit f : E \to F une application linéaire. Alors : f \text{ est surjective} \iff \mathrm{Im}(f) = F
Exemple 4.1
L’application f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, (x,y,z) \mapsto (-2x, y+3z) est surjective mais pas injective.
L’application f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, (x,y) \mapsto (x, y, 0) est injective mais pas surjective.
4.2 Isomorphismes
Définition 4.1
Une application linéaire f : E \to F est un isomorphisme si elle est bijective (injective et surjective).
Proposition 4.3
Si f : E \to F est un isomorphisme, alors f^{-1} : F \to E est aussi une application linéaire.
Preuve. Soient z, w \in F et \alpha \in \mathbb{K}. Posons u = f^{-1}(z) et v = f^{-1}(w), donc f(u) = z et f(v) = w.
On a d’une part f(\alpha u + v) = \alpha f(u) + f(v) = \alpha z + w.
D’autre part f(\alpha f^{-1}(z) + f^{-1}(w)) = \alpha f(f^{-1}(z)) + f(f^{-1}(w)) = \alpha z + w.
Donc f(\alpha u + v) = f(\alpha f^{-1}(z) + f^{-1}(w)). Comme f est injective, \alpha u + v = \alpha f^{-1}(z) + f^{-1}(w), c’est-à-dire : f^{-1}(\alpha z + w) = \alpha f^{-1}(z) + f^{-1}(w)
Exemple 4.2
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y) = (2x+3y, x+y). Cette application est linéaire.
Pour montrer qu’elle est bijective, on résout f(x,y) = (x',y') : (2x+3y, x+y) = (x', y') C’est un système linéaire à deux équations et deux inconnues. On trouve (x,y) = (-x'+3y', x'-2y').
Donc f^{-1}(x',y') = (-x'+3y', x'-2y'). On vérifie que f^{-1} est bien l’inverse de f et que f^{-1} est linéaire.
Proposition 4.4 — (Classification à isomorphisme près)
Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont la même dimension.
5 Projecteurs et symétries
5.1 Définition géométrique
Définition 5.1 — (Projection ou projecteur)
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E, c’est-à-dire E = F \oplus G. Tout vecteur u de E s’écrit de façon unique u = v + w avec v \in F et w \in G.
La projection (ou projecteur) sur F parallèlement à G est l’application p : E \to E définie par : p(u) = v
Proposition 5.1 — (Caractérisation des projecteurs)
Une application linéaire p : E \to E est un projecteur si et seulement si : p^2 = p
Preuve. (\Rightarrow) Si p est un projecteur sur F parallèlement à G, alors pour tout u = v + w avec v \in F et w \in G : p^2(u) = p(p(u)) = p(v) = v = p(u) car v \in F et p(v) = v.
(\Leftarrow) Si p^2 = p, posons F = \mathrm{Im}(p) et G = \mathrm{Ker}(p). On montre que E = F \oplus G et que p est la projection sur F parallèlement à G.
Définition 5.2 — (Symétrie)
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s : E \to E définie par : s(u) = v - w \quad \text{où } u = v + w \text{ avec } v \in F, \; w \in G
Proposition 5.2 — (Caractérisation des symétries)
Une application linéaire s : E \to E est une symétrie si et seulement si : s^2 = \mathrm{Id}_E
Preuve. (\Rightarrow) Si s est une symétrie, alors pour tout u = v + w : s^2(u) = s(s(u)) = s(v - w) = v - (-w) = v + w = u
(\Leftarrow) Si s^2 = \mathrm{Id}_E, alors s est bijective (d’inverse s) et on peut montrer que s est une symétrie.
Exercice 5.1
Soient E un espace vectoriel, et F, G deux sous-espaces tels que E = F \oplus G. Chaque u \in E se décompose de manière unique u = v + w avec v \in F, w \in G.
La projection sur F parallèlement à G est l’application p : E \to E définie par p(u) = v. Montrer que p est une application linéaire. Montrer que p^2 = p. Calculer \mathrm{Ker}(p) et \mathrm{Im}(p).
La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s : E \to E définie par s(u) = v - w. Montrer que s est une application linéaire. Montrer que s^2 = \mathrm{Id}_E. Calculer \mathrm{Ker}(s) et \mathrm{Im}(s).
6 Automorphismes et groupe linéaire
Définition 6.1
Un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté \mathrm{GL}(E) et est appelé groupe linéaire de E.
Proposition 6.1
\mathrm{GL}(E) muni de la composition est un groupe. La composition est associative, l’élément neutre est \mathrm{Id}_E, et tout élément de \mathrm{GL}(E) admet un inverse dans \mathrm{GL}(E).
Remarque. La composition dans \mathrm{GL}(E) n’est pas commutative si \dim(E) > 2.
7 Applications linéaires et dimension finie
7.1 Détermination par les images d’une base
Théorème 7.1
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et (e_1, \ldots, e_n) une base de E. Soient f_1, \ldots, f_n des vecteurs de F. Alors il existe une et une seule application linéaire f : E \to F telle que : \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \quad f(e_i) = f_i
Preuve. Existence : Pour tout u = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n \in E, on pose : f(u) = \lambda_1 f_1 + \cdots + \lambda_n f_n On vérifie que f est linéaire et que f(e_i) = f_i.
Unicité : Si g est une autre application linéaire telle que g(e_i) = f_i, alors pour tout u = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n : g(u) = \lambda_1 g(e_1) + \cdots + \lambda_n g(e_n) = \lambda_1 f_1 + \cdots + \lambda_n f_n = f(u) Donc g = f.
Proposition 7.1
Une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie est bijective si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective.
7.2 Rang d’une application linéaire
Définition 7.1
Soit f : E \to F une application linéaire avec E de dimension finie. Le rang de f, noté \mathrm{rg}(f), est la dimension de \mathrm{Im}(f) : \mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}(f))
Proposition 7.2 — (Inégalité sur le rang)
Soient f \in \mathcal{L}(E,F) et g \in \mathcal{L}(F,G). Alors : \mathrm{rg}(g \circ f) \leq \min(\mathrm{rg}(f), \mathrm{rg}(g))
Proposition 7.3 — (Invariance du rang par composition par un isomorphisme)
Si f \in \mathcal{L}(E,F) et si \varphi : F \to G est un isomorphisme, alors : \mathrm{rg}(\varphi \circ f) = \mathrm{rg}(f)
7.3 Théorème du rang
Théorème 7.2 — (Théorème du rang)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f \in \mathcal{L}(E,F). Alors f est de rang fini et : \boxed{\dim(E) = \dim(\mathrm{Ker}(f)) + \mathrm{rg}(f)}
Preuve. Soit (e_1, \ldots, e_k) une base de \mathrm{Ker}(f). Par le théorème de la base incomplète, on peut compléter cette base en une base (e_1, \ldots, e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n) de E.
On montre que (f(e_{k+1}), \ldots, f(e_n)) est une base de \mathrm{Im}(f).
Génératrice : Soit y \in \mathrm{Im}(f). Il existe x = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n \in E tel que y = f(x). Alors : y = \lambda_1 f(e_1) + \cdots + \lambda_k f(e_k) + \lambda_{k+1} f(e_{k+1}) + \cdots + \lambda_n f(e_n) = \lambda_{k+1} f(e_{k+1}) + \cdots + \lambda_n f(e_n) car f(e_i) = 0_F pour i \leq k.
Libre : Supposons \lambda_{k+1} f(e_{k+1}) + \cdots + \lambda_n f(e_n) = 0_F. Alors : f(\lambda_{k+1} e_{k+1} + \cdots + \lambda_n e_n) = 0_F Donc \lambda_{k+1} e_{k+1} + \cdots + \lambda_n e_n \in \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k). Comme (e_1, \ldots, e_n) est une base de E, on a \lambda_{k+1} = \cdots = \lambda_n = 0.
Donc \mathrm{rg}(f) = n - k = \dim(E) - \dim(\mathrm{Ker}(f)).
Corollaire 7.1
Soit f : E \to F une application linéaire avec E de dimension finie. Alors :
- f est injective si et seulement si \mathrm{rg}(f) = \dim(E).
- f est surjective si et seulement si \mathrm{rg}(f) = \dim(F) (si F est de dimension finie).
Exemple 7.1
Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y,z) = (-2x, y+3z).
On a \dim(\mathbb{R}^3) = 3 et \dim(\mathrm{Ker}(f)) = 1 (car \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Vect}((0,-3,1))).
Par le théorème du rang : \mathrm{rg}(f) = 3 - 1 = 2.
Comme \dim(\mathbb{R}^2) = 2, f est surjective.
Exercice 7.1
Soit f : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X] définie par P(X) \mapsto P''(X) (où P'' désigne la dérivée seconde).
- Montrer que f est une application linéaire.
- Calculer \mathrm{Ker}(f) et \mathrm{Im}(f).
- Vérifier le théorème du rang.
Exercice 7.2
Soient E un espace vectoriel de dimension n et f \in \mathcal{L}(E). Montrer que :
- Si f^2 = 0, alors \mathrm{rg}(f) \leq \frac{n}{2}.
- Si f^2 = f, alors E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f).
Exercice 7.3
Soient f, g \in \mathcal{L}(E) avec E de dimension finie. Montrer que : \mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g) - \dim(E) \leq \mathrm{rg}(f \circ g) \leq \min(\mathrm{rg}(f), \mathrm{rg}(g))