Espaces vectoriels
Chapitre 13
TSI 1re année — Chapitre 13. EV, sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases, dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d’un sous-espace.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Notion d’espace vectoriel
1.1 Structure de \mathbb{K}-espace vectoriel
Définition 1.1
Un \mathbb{K}-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :
d’une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de E \times E dans E : \begin{array}{rcl} E \times E & \to & E \\ (u, v) & \mapsto & u+v \end{array}
d’une loi de composition externe, c’est-à-dire une application de \mathbb{K} \times E dans E : \begin{array}{rcl} \mathbb{K} \times E & \to & E \\ (\lambda, u) & \mapsto & \lambda \cdot u \end{array}
qui vérifient les propriétés suivantes :
- u + v = v + u pour tous u,v \in E (commutativité)
- u + (v+w) = (u+v) +w pour tous u,v,w \in E (associativité)
- Il existe un élément neutre 0_E \in E tel que u + 0_E = u pour tout u \in E
- Tout u \in E admet un symétrique u' tel que u + u' = 0_E. Cet élément u' est noté -u.
- 1 \cdot u = u pour tout u \in E
- \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda\mu) \cdot u pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K}, u \in E
- \lambda \cdot (u+v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v pour tous \lambda \in \mathbb{K}, u,v \in E
- (\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u pour tous \lambda,\mu \in \mathbb{K}, u \in E
Remarque.
- L’élément neutre 0_E s’appelle aussi le vecteur nul. Il ne doit pas être confondu avec l’élément 0 de \mathbb{K}.
- Le symétrique -u d’un vecteur u s’appelle aussi l’opposé.
- Les éléments de E sont appelés des vecteurs.
- Les éléments de \mathbb{K} sont appelés des scalaires.
1.2 Premiers exemples
Exemple 1.1
\mathbb{K}^n est un \mathbb{K}-espace vectoriel. Plus précisément :
- \mathbb{R}^n est un \mathbb{R}-espace vectoriel
- \mathbb{C}^n est un \mathbb{C}-espace vectoriel
L’addition et la multiplication par un scalaire se font composante par composante.
Exemple 1.2
\mathbb{K}[X], l’ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}, est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
Exemple 1.3
\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans \mathbb{K}, est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
Exemple 1.4
Soit A un ensemble non vide et E un \mathbb{K}-espace vectoriel. L’ensemble E^A des fonctions de A dans E est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
Cas particulier : \mathbb{K}^A est un \mathbb{K}-espace vectoriel. En particulier, \mathbb{K}^{\mathbb{N}} est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
Proposition 1.1
Soient E_1, E_2, \ldots, E_p des \mathbb{K}-espaces vectoriels. Le produit E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
1.3 Combinaisons linéaires
Définition 1.2
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et v_1, v_2, \ldots, v_p des vecteurs de E.
Un vecteur u \in E est une combinaison linéaire de v_1, v_2, \ldots, v_p s’il existe des scalaires \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K} tels que : u = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_p v_p
Exemple 1.5
Dans \mathbb{R}^3 :
- Le vecteur (3, 5, 7) est une combinaison linéaire de (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) car (3,5,7) = 3(1,0,0) + 5(0,1,0) + 7(0,0,1).
- Le vecteur (1,1,1) est une combinaison linéaire de (1,0,0) et (0,1,1) car (1,1,1) = 1 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (0,1,1).
Exemple 1.6
Dans \mathbb{R}^2, le vecteur (1, 2) est-il une combinaison linéaire de (1, 1) et (2, 2) ?
Non, car (1,2) = \lambda(1,1) + \mu(2,2) = (\lambda + 2\mu, \lambda + 2\mu) impliquerait \lambda + 2\mu = 1 et \lambda + 2\mu = 2, ce qui est contradictoire.
2 Sous-espaces vectoriels
2.1 Définition et caractérisation
Définition 2.1
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si :
- 0_E \in F
- Pour tous u, v \in F, on a u + v \in F (stabilité par addition)
- Pour tout \lambda \in \mathbb{K} et tout u \in F, on a \lambda \cdot u \in F (stabilité par multiplication par un scalaire)
Proposition 2.1 — (Caractérisation des sous-espaces vectoriels)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F une partie non vide de E. Alors F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si : \forall u, v \in F, \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \quad \lambda u + \mu v \in F
Exemple 2.1
\{0_E\} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
Exemple 2.2
Dans \mathbb{R}^3, l’ensemble F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} est un sous-espace vectoriel.
Vérification :
- (0,0,0) \in F car 0 + 0 + 0 = 0
- Si (x_1, y_1, z_1) et (x_2, y_2, z_2) sont dans F, alors (x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0
- Si (x,y,z) \in F et \lambda \in \mathbb{R}, alors \lambda x + \lambda y + \lambda z = \lambda(x+y+z) = 0
Exemple 2.3
L’ensemble \mathbb{K}[X] est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de \mathbb{K} dans \mathbb{K}.
L’ensemble \mathbb{K}_n[X] des polynômes de degré au plus n est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}[X].
2.2 Exemples de sous-espaces vectoriels
Exemple 2.4
Sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^2 :
- \{0\} (le sous-espace nul)
- Les droites vectorielles passant par l’origine : \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax + by = 0\} avec (a,b) \neq (0,0)
- \mathbb{R}^2 tout entier
Exemple 2.5
Sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^3 :
- \{0\} (le sous-espace nul)
- Les droites vectorielles passant par l’origine
- Les plans vectoriels passant par l’origine : \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid ax + by + cz = 0\} avec (a,b,c) \neq (0,0,0)
- \mathbb{R}^3 tout entier
2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels
Proposition 2.2
Soit (F_i)_{i \in I} une famille de sous-espaces vectoriels d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Alors : \bigcap_{i \in I} F_i est un sous-espace vectoriel de E.
Preuve.
- 0_E \in F_i pour tout i \in I, donc 0_E \in \bigcap_{i \in I} F_i.
- Si u, v \in \bigcap_{i \in I} F_i, alors u, v \in F_i pour tout i, donc u+v \in F_i pour tout i, donc u+v \in \bigcap_{i \in I} F_i.
- De même pour la multiplication par un scalaire.
Exemple 2.6
L’intersection de deux droites vectorielles de \mathbb{R}^2 est soit \{0\} (si les droites sont distinctes), soit la droite elle-même (si les droites sont confondues).
Remarque. La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est en général pas un sous-espace vectoriel. Par exemple, dans \mathbb{R}^2, la réunion des deux axes \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\} \cup \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\} n’est pas un sous-espace vectoriel car (1,0) + (0,1) = (1,1) n’appartient pas à cette réunion.
2.4 Sous-espace vectoriel engendré
Définition 2.2
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et v_1, v_2, \ldots, v_p des vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel engendré par v_1, v_2, \ldots, v_p est : \text{Vect}(v_1, v_2, \ldots, v_p) = \{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_p v_p \mid \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K}\}
Proposition 2.3
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et v_1, \ldots, v_p des vecteurs de E. Alors \text{Vect}(v_1, \ldots, v_p) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant v_1, \ldots, v_p.
Exemple 2.7
Dans \mathbb{R}^3 :
- \text{Vect}((1,0,0)) = \{(x, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} est une droite vectorielle.
- \text{Vect}((1,0,0), (0,1,0)) = \{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} est un plan vectoriel.
- \text{Vect}((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) = \mathbb{R}^3.
Exemple 2.8
Dans \mathbb{K}[X], \text{Vect}(1, X, X^2) = \mathbb{K}_2[X].
2.5 Somme de sous-espaces vectoriels
Définition 2.3
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. La somme de F et G est : F + G = \{u + v \mid u \in F, v \in G\}
Proposition 2.4
F + G est un sous-espace vectoriel de E.
Définition 2.4
On dit que F et G sont en somme directe si F \cap G = \{0_E\}. On note alors F \oplus G.
On dit que F et G sont supplémentaires dans E si E = F \oplus G, c’est-à-dire :
- F \cap G = \{0_E\}
- F + G = E
Proposition 2.5 — (Caractérisation de la somme directe)
F et G sont en somme directe si et seulement si tout vecteur de F + G s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.
Exemple 2.9
Dans \mathbb{R}^2, soient F = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} et G = \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}.
- F \cap G = \{(0,0)\}
- F + G = \mathbb{R}^2
Donc \mathbb{R}^2 = F \oplus G.
Exemple 2.10
Dans \mathbb{K}[X], l’ensemble des polynômes pairs et l’ensemble des polynômes impairs sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Proposition 2.6 — (Base adaptée à une somme directe)
Si E = F \oplus G et si (e_1, \ldots, e_p) est une base de F et (e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de G, alors (e_1, \ldots, e_p, e_{p+1}, \ldots, e_n) est une base de E.
3 Familles libres et génératrices
3.1 Familles libres
Définition 3.1
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et v_1, \ldots, v_p des vecteurs de E.
On dit que v_1, \ldots, v_p sont linéairement indépendants (ou que la famille (v_1, \ldots, v_p) est libre) si : \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E \implies \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_p = 0
On dit que v_1, \ldots, v_p sont linéairement dépendants (ou que la famille est liée) s’il existe des scalaires \lambda_1, \ldots, \lambda_p non tous nuls tels que : \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_p v_p = 0_E
Proposition 3.1
Une famille (v_1, \ldots, v_p) est liée si et seulement si l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
Exemple 3.1
Dans \mathbb{R}^3 :
- La famille ((1,0,0), (0,1,0)) est libre.
- La famille ((1,0,0), (2,0,0)) est liée car (2,0,0) = 2(1,0,0).
- La famille ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) est libre.
- La famille ((1,1,0), (0,1,1), (1,0,-1)) est liée car (1,1,0) - (0,1,1) + (1,0,-1) = (0,0,0).
Exemple 3.2
Dans \mathbb{K}[X], la famille (1, X, X^2, \ldots, X^n) est libre.
3.2 Familles génératrices
Définition 3.2
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et v_1, \ldots, v_p des vecteurs de E. On dit que (v_1, \ldots, v_p) est une famille génératrice de E si : \text{Vect}(v_1, \ldots, v_p) = E c’est-à-dire si tout vecteur de E est combinaison linéaire de v_1, \ldots, v_p.
Exemple 3.3
- La famille ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) est une famille génératrice de \mathbb{R}^3.
- La famille (1, X, X^2, \ldots, X^n) est une famille génératrice de \mathbb{K}_n[X].
4 Bases
4.1 Définition
Définition 4.1
Une famille (e_1, \ldots, e_p) de vecteurs de E est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice.
Autrement dit, (e_1, \ldots, e_p) est une base de E si tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de e_1, \ldots, e_p.
Proposition 4.1 — (Coordonnées dans une base)
Si (e_1, \ldots, e_p) est une base de E, alors pour tout u \in E, il existe des scalaires uniques \lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K} tels que : u = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_p e_p Les scalaires \lambda_1, \ldots, \lambda_p sont appelés les coordonnées de u dans la base (e_1, \ldots, e_p).
Exemple 4.1
Bases canoniques :
- La base canonique de \mathbb{R}^n est ((1,0,\ldots,0), (0,1,0,\ldots,0), \ldots, (0,\ldots,0,1)).
- La base canonique de \mathbb{K}_n[X] est (1, X, X^2, \ldots, X^n).
- La base canonique de \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est la famille des matrices élémentaires (E_{i,j})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}.
Proposition 4.2 — (Existence de bases)
Tout espace vectoriel de dimension finie (c’est-à-dire engendré par une famille finie de vecteurs) admet au moins une base.
5 Dimension finie
5.1 Théorème de la base incomplète
Théorème 5.1 — (Théorème de la base incomplète)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. Alors :
- Toute famille libre de E peut être complétée en une base de E.
- De toute famille génératrice de E, on peut extraire une base de E.
Corollaire 5.1
Dans un espace vectoriel engendré par p vecteurs, toute famille de plus de p vecteurs est liée.
5.2 Dimension d’un espace vectoriel
Définition 5.1
La dimension d’un espace vectoriel E de dimension finie est le nombre de vecteurs d’une base de E. On la note \dim(E).
Théorème 5.2
Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d’éléments.
Exemple 5.1
- \dim(\mathbb{R}^n) = n
- \dim(\mathbb{K}_n[X]) = n + 1
- \dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})) = np
- \dim(\{0\}) = 0
Proposition 5.1
Dans un espace vectoriel de dimension n :
- Toute famille libre a au plus n vecteurs.
- Toute famille génératrice a au moins n vecteurs.
- Une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre, si et seulement si elle est génératrice.
5.3 Dimension d’un sous-espace vectoriel
Proposition 5.2
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors :
- F est de dimension finie.
- \dim(F) \leq \dim(E).
- \dim(F) = \dim(E) si et seulement si F = E.
Exemple 5.2
- \dim(\mathbb{K}_n[X]) = n + 1
- Une droite vectorielle de \mathbb{R}^3 est de dimension 1.
- Un plan vectoriel de \mathbb{R}^3 est de dimension 2.
5.4 Dimension d’une somme de sous-espaces
Proposition 5.3 — (Formule de Grassmann)
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un \mathbb{K}-espace vectoriel E. Alors : \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)
Corollaire 5.2
Si F et G sont supplémentaires dans E (c’est-à-dire E = F \oplus G), alors : \dim(E) = \dim(F) + \dim(G)
5.5 Rang d’une famille de vecteurs
Définition 5.2
Le rang d’une famille de vecteurs (v_1, \ldots, v_p) est la dimension du sous-espace vectoriel engendré : \text{rg}(v_1, \ldots, v_p) = \dim(\text{Vect}(v_1, \ldots, v_p))
Proposition 5.4
Le rang d’une famille de vecteurs est le nombre de vecteurs d’une sous-famille libre maximale.
Exemple 5.3
Dans \mathbb{R}^3 :
- \text{rg}((1,0,0), (0,1,0)) = 2
- \text{rg}((1,0,0), (2,0,0)) = 1
- \text{rg}((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) = 3
- \text{rg}((1,1,0), (0,1,1), (1,0,-1)) = 2 (car la famille est liée)
6 Applications et exercices
Exercice 6.1
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^3 :
- F_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}
- F_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y\}
- F_3 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y + 3z = 0\}
Exercice 6.2
Montrer que les ensembles suivants ne sont pas des sous-espaces vectoriels :
- F_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 1\}
- F_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}
- F_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\}
Exercice 6.3
Montrer que les familles suivantes sont libres :
- ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) dans \mathbb{R}^3
- (1, X, X^2) dans \mathbb{R}[X]
- ((1, 1, 0), (0, 1, 1)) dans \mathbb{R}^3
Exercice 6.4
Montrer que les familles suivantes sont liées :
- ((1, 2, 3), (2, 4, 6)) dans \mathbb{R}^3
- ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, -1)) dans \mathbb{R}^3
Exercice 6.5
Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G où : F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} \quad \text{et} \quad G = \text{Vect}((1, 1, 1))
Exercice 6.6
Montrer que \dim(\mathbb{K}_n[X]) = n + 1 en exhibant une base.
Exercice 6.7
Soit F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}. Montrer que \dim(F) = 2 en exhibant une base de F.
Exercice 6.8
Soient F = \text{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1)) et G = \text{Vect}((1, 0, 1)) dans \mathbb{R}^3.
- Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels.
- Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G.
- Déterminer \dim(F), \dim(G) et vérifier la formule de Grassmann.
Exercice 6.9
Soit E = \mathbb{K}_2[X]. Montrer que les polynômes P_1 = 1, P_2 = X + 1, P_3 = X^2 + X + 1 forment une base de E.
Exercice 6.10
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et F, G deux sous-espaces vectoriels de E tels que \dim(F) = 2 et \dim(G) = 2. Montrer que F \cap G \neq \{0_E\}.