Développements limités, calcul asymptotique
Chapitre 12
TSI 1re année — Chapitre 12. Relations de comparaison (O, o, équivalence), développements limités, Taylor-Young, opérations, applications à l’étude locale des fonctions et des courbes.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.
Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Motivation
Nous souhaitons calculer \sqrt{1,01} ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme 1,01 est proche de 1 et que \sqrt{1}=1, on se doute bien que \sqrt{1,01} sera proche de 1. Peut-on être plus précis ?
Si l’on appelle f la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}, alors la fonction f est une fonction continue en x_0=1. La continuité nous affirme que pour x suffisamment proche de x_0, f(x) est proche de f(x_0). Cela revient à dire que pour x au voisinage de x_0 on approche f(x) par la constante f(x_0).
Nous pouvons faire mieux qu’approcher notre fonction par une droite horizontale ! Essayons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de x_0 ? Elle doit passer par le point (x_0,f(x_0)) et doit « coller » le plus possible au graphe : c’est la tangente au graphe en x_0.
Une équation de la tangente est y = (x-x_0) f'(x_0) + f(x_0) où f'(x_0) désigne le nombre dérivé de f en x_0.
On sait que pour f(x)=\sqrt{x}, on a f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Une équation de la tangente en x_0=1 est donc y=(x-1)\frac{1}{2}+1. Et donc pour x proche de 1 on a f(x) \approx (x-1)\frac{1}{2}+1.
Qu’est-ce que cela donne pour notre calcul de \sqrt{1,01} ? On pose x=1,01 donc f(x) \approx 1+\frac{1}{2}(x-1) = 1 + \frac{0,01}{2}=1,005. Et c’est effectivement une très bonne approximation de \sqrt{1,01}=1,00498\ldots.
En posant h=x-1 on peut reformuler notre approximation en : \sqrt{1+h} \approx 1+\frac{1}{2}h qui est valable pour h proche de 0.
Dans ce chapitre, pour n’importe quelle fonction, nous allons trouver le polynôme de degré n qui approche le mieux la fonction. Les résultats ne sont valables que pour x autour d’une valeur fixée (ce sera souvent autour de 0). Ce polynôme sera calculé à partir des dérivées successives au point considéré. Sans plus attendre, voici la formule, dite formule de Taylor-Young : f(x)= f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2!}+\cdots +f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x).
La partie polynomiale f(0)+f'(0)x+\cdots+f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} est le polynôme de degré n qui approche le mieux f(x) autour de x=0.
La partie x^n\epsilon(x) est le « reste » dans lequel \epsilon(x) est une fonction qui tend vers 0 (quand x tend vers 0) et qui est négligeable devant la partie polynomiale.
2 Relations de comparaison
Dans cette section, on introduit les relations de comparaison entre fonctions ou suites, outils fondamentaux pour l’étude asymptotique.
2.1 Relations O, o et équivalence pour les suites
Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} et (v_n)_{n\in\mathbb{N}} deux suites réelles.
Définition 2.1 — (Domination — notation \boldsymbol{O})
On dit que u_n est dominée par v_n, et on écrit u_n = O(v_n), si : \exists M > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \geq N, \; |u_n| \leq M|v_n|
Définition 2.2 — (Négligeabilité — notation \boldsymbol{o})
On dit que u_n est négligeable devant v_n, et on écrit u_n = o(v_n), si : \forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \; \forall n \geq N, \; |u_n| \leq \varepsilon |v_n|
Définition 2.3 — (Équivalence)
On dit que u_n est équivalente à v_n, et on écrit u_n \sim v_n, si : \frac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1
On a les implications suivantes : u_n = o(v_n) \implies u_n = O(v_n) u_n \sim v_n \implies u_n = O(v_n)
Proposition 2.1 — (Liens entre les relations)
Pour des suites (u_n) et (v_n) avec v_n \neq 0 à partir d’un certain rang : u_n \sim v_n \iff u_n = v_n + o(v_n)
2.2 Relations O, o et équivalence pour les fonctions
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage d’un point a (qui peut être un réel ou \pm\infty).
Définition 2.4 — (Domination — notation \boldsymbol{O})
On écrit f(x) = O(g(x)) quand x \to a si : \exists M > 0, \; \exists \delta > 0, \; \forall x \in I \cap ]a-\delta, a+\delta[, \; |f(x)| \leq M|g(x)|
Définition 2.5 — (Négligeabilité — notation \boldsymbol{o})
On écrit f(x) = o(g(x)) quand x \to a si : \forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0, \; \forall x \in I \cap ]a-\delta, a+\delta[, \; |f(x)| \leq \varepsilon |g(x)|
Définition 2.6 — (Équivalence)
On écrit f(x) \sim g(x) quand x \to a si : \frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x\to a]{} 1
2.3 Propriétés des relations de comparaison
Proposition 2.2 — (Règles usuelles)
Soient f, g, h des fonctions définies au voisinage de a.
- Produit : Si f = O(g) et h = O(h) alors fh = O(gh).
- Puissances : Si f \sim g alors f^n \sim g^n pour tout n \in \mathbb{N}^*.
- Transitivité : Si f = o(g) et g = o(h) alors f = o(h).
- Si f \sim g alors f = O(g) et g = O(f).
Proposition 2.3 — (Propriétés conservées par équivalence)
Si f(x) \sim g(x) quand x \to a :
- Signe : Si g(x) > 0 au voisinage de a, alors f(x) > 0 au voisinage de a.
- Limite : Si g(x) \to \ell alors f(x) \to \ell.
Proposition 2.4 — (Obtention d’un équivalent par encadrement)
Si u_n, v_n et w_n sont des suites réelles telles que : u_n \leq v_n \leq w_n \quad \text{pour } n \text{ assez grand} et si u_n \sim w_n, alors v_n \sim u_n (et aussi v_n \sim w_n).
2.4 Traduction des croissances comparées
Proposition 2.5 — (Croissances comparées — fonctions)
Pour tout \alpha > 0 et \beta > 0 : \ln x = o(x^\alpha) \quad (x \to +\infty), \qquad x^\alpha = o(e^{\beta x}) \quad (x \to +\infty) x^\alpha \ln x = o(1) \quad (x \to 0^+)
Proposition 2.6 — (Croissances comparées — suites)
Pour tout \alpha > 0 et \beta > 0 : (\ln n)^\beta = o(n^\alpha), \qquad n^\alpha = o(e^{\beta n}) \quad (n \to +\infty)
Montrer les relations suivantes : \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x = 0
3 Formules de Taylor
3.1 Formule de Taylor avec reste intégral
Théorème 3.1 — (Formule de Taylor avec reste intégral)
Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur un intervalle I, et soient a, x \in I. Alors : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \, dt
3.2 Formule de Taylor-Lagrange
Théorème 3.2 — (Formule de Taylor-Lagrange)
Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur un intervalle I, et soient a, x \in I. Alors il existe c entre a et x tel que : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
3.3 Formule de Taylor-Young
Théorème 3.3 — (Formule de Taylor-Young)
Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction de classe \mathcal{C}^n sur un intervalle I, et soit a \in I. Alors : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + (x-a)^n \epsilon(x) où \epsilon(x) \xrightarrow[x\to a]{} 0.
En posant a = 0, la formule de Taylor-Young s’écrit : f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)\frac{x^2}{2!} + \cdots + f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} + x^n\epsilon(x)
4 Développements limités
4.1 Définition et unicité
Définition 4.1 — (Développement limité)
Soit f une fonction définie au voisinage de a. On dit que f admet un développement limité (DL) à l’ordre n au point a s’il existe des constantes a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K} et une fonction \epsilon telle que \epsilon(x) \xrightarrow[x\to a]{} 0 et : f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots + a_n(x-a)^n + (x-a)^n\epsilon(x)
Proposition 4.1 — (Unicité)
Si f admet un développement limité à l’ordre n au point a, alors ce développement est unique.
Si f admet un DL à l’ordre n au point a, alors elle admet aussi un DL à tout ordre k \leq n, obtenu en tronquant le DL à l’ordre k.
4.2 Caractérisation de la dérivabilité
Proposition 4.2
f est dérivable en a si et seulement si f admet un développement limité à l’ordre 1 au point a. Dans ce cas : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\epsilon(x), \quad \epsilon(x) \xrightarrow[x\to a]{} 0
4.3 DL d’une fonction paire ou impaire
Proposition 4.3
Si f est paire et admet un DL à l’ordre n en 0, alors ce DL ne contient que des puissances paires de x.
Si f est impaire et admet un DL à l’ordre n en 0, alors ce DL ne contient que des puissances impaires de x.
4.4 Forme normalisée
Définition 4.2 — (Forme normalisée d’un DL)
Si f admet un DL à l’ordre n en a de la forme : f(x) = (x-a)^p(a_0 + a_1(x-a) + \cdots + a_n(x-a)^n + o((x-a)^n)), \quad a_0 \neq 0 alors on dit que p est l’ordre du DL et a_0 est le premier coefficient non nul.
Proposition 4.4
Si f(x) = a_0(x-a)^p + o((x-a)^p) avec a_0 \neq 0, alors f(x) \sim a_0(x-a)^p quand x \to a, et le signe de f au voisinage de a est le signe de a_0(x-a)^p.
5 DL usuels à l’ordre n en 0
Proposition 5.1 — (DL usuels en 0)
Voici les développements limités usuels à retenir :
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
6 Opérations sur les développements limités
Proposition 6.1 — (Combinaison linéaire)
Si f et g admettent des DL à l’ordre n en a, alors pour tous \alpha, \beta \in \mathbb{K}, la fonction \alpha f + \beta g admet un DL à l’ordre n en a, obtenu par combinaison linéaire des DL.
Proposition 6.2 — (Produit)
Si f et g admettent des DL à l’ordre n en a, alors fg admet un DL à l’ordre n en a, obtenu en multipliant les DL de f et g et en tronquant à l’ordre n.
Proposition 6.3 — (Quotient)
Si f et g admettent des DL à l’ordre n en a et si g(x_0) \neq 0, alors \frac{f}{g} admet un DL à l’ordre n en a.
Proposition 6.4 — (Primitivation)
Si f admet un DL à l’ordre n en a, alors toute primitive de f admet un DL à l’ordre n+1 en a, obtenu en primitivant terme à terme le DL de f.
Calculer le DL à l’ordre 3 en 0 de \ln(1+x)\cos x.
Calculer le DL à l’ordre 2 en 0 de \sqrt{1+x}\cos x.
7 Applications des développements limités
7.1 Calcul de limites
Proposition 7.1
Si f(x) = a_0 + a_1(x-a) + \cdots + a_n(x-a)^n + o((x-a)^n), alors : \lim_{x\to a} f(x) = a_0
Calculer les limites suivantes en utilisant les DL : \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x}, \qquad \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}
7.2 Étude locale d’une fonction
Proposition 7.2
Le DL à l’ordre 1 de f en a donne l’équation de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a : y = f(a) + f'(a)(x-a)
Proposition 7.3 — (Position de la courbe par rapport à la tangente)
Si f admet un DL à l’ordre n en a de la forme : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + a_k(x-a)^k + o((x-a)^k) avec a_k \neq 0 et k \geq 2 le plus petit entier tel que a_k \neq 0, alors :
- Si k est pair : la courbe reste d’un même côté de la tangente au voisinage de a (au-dessus si a_k > 0, en dessous si a_k < 0).
- Si k est impair : la courbe traverse la tangente au point a.
7.3 Branches infinies
Proposition 7.4 — (Développement asymptotique)
Si f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + o(x^n) quand x \to +\infty, alors la droite y = a_0 + a_1 x est une asymptote à la courbe de f en +\infty (si a_1 \neq 0).
7.4 Condition pour un extremum local
Proposition 7.5
Si f admet un DL à l’ordre 2 en a de la forme : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + o((x-a)^2) alors :
- Si f'(a) = 0 et f''(a) > 0 : f admet un minimum local en a.
- Si f'(a) = 0 et f''(a) < 0 : f admet un maximum local en a.
Étudier les extremums locaux de la fonction f(x) = x^3 - 3x + 2 en utilisant les DL.
Étudier la position de la courbe de f(x) = e^x par rapport à sa tangente en 0.