TD — Représentations matricielles
Chapitre 15
TSI (1re année) — TD du Chapitre 15. Matrice d’une application linéaire, changements de bases, matrices semblables, rang d’une matrice, retour sur les systèmes linéaires.
Exercice 1
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, f(x,y) = (x+y, x-y).
- Déterminer la matrice de f dans la base canonique.
- Soit \mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1)). Déterminer la matrice de f dans \mathcal{B}'.
Exercice 2
Soient \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de \mathbb{R}^3 et \mathcal{B}' = (e_1, e_1+e_2, e_1+e_2+e_3).
- Déterminer la matrice de passage P de \mathcal{B} à \mathcal{B}'.
- Déterminer P^{-1}.
Exercice 3
Montrer que deux matrices semblables ont même rang.
Exercice 4
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1} par Gauss-Jordan.
Exercice 5
Résoudre le système : \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y - 2z = -1 \end{cases} en utilisant la matrice inverse.
Exercice 6
Soit A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}). Montrer que \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(A^T).
Exercice 7
Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, f(x,y,z) = (x+y, y-z). Déterminer \mathrm{rg}(f) et vérifier le théorème du rang.
Exercice 8
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) inversible. Montrer que \mathrm{rg}(AB) = \mathrm{rg}(B) pour toute matrice B.
Exercice 9
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
Exercice 10
Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) semblables. Montrer que \det(A) = \det(B) et \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B).