TD — Intégration des fonctions continues sur un segment

Chapitre 16

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

TSI (1re année) — TD du Chapitre 16. Fonctions en escalier, construction de l’intégrale, propriétés, sommes de Riemann, théorème fondamental, IPP, Taylor avec reste intégral, changement de variable, intégration numérique.

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \int_0^1 t^2\, dt
  2. \int_0^\pi \sin t\, dt
  3. \int_1^e \dfrac{dt}{t}

Exercice 2

Calculer par IPP :

  1. \int_0^1 t^2 e^{-t}\, dt
  2. \int_0^1 t \ln t\, dt

Exercice 3

Calculer par changement de variable :

  1. \int_0^1 \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
  2. \int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\, dt

Exercice 4

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Calculer \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\dfrac{k}{n}\right).

Indication : Somme de Riemann.

Exercice 5

Montrer que \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt \leq (b-a)\|f\|_\infty.

Exercice 6

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \int_0^1 t^n(1-t)^n\, dt = \dfrac{(n!)^2}{(2n+1)!}.

Exercice 7

Calculer \int_0^\pi \cos^{2n} t\, dt en établissant une relation de récurrence.

Exercice 8

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Montrer que \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 t^n f(t)\, dt = 0.

Exercice 9

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue avec f(0) = 0. Montrer que \lim_{n \to +\infty} n\int_0^1 t^n f(t)\, dt = f(1).

Exercice 10

Montrer la formule de Taylor avec reste intégral : f(b) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \dfrac{1}{n!}\int_a^b (b-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt

Cours

Chapitre 16 : Intégration des fonctions continues sur un segment