Fonctions de la variable réelle, limites et continuité

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

21 août 2026

TSI 1re année — Chapitre 06. Limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, continuité et monotonie stricte, fonctions réciproques.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.

Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Motivation

Les équations en une variable x qu’on sait résoudre explicitement, c’est-à-dire en donnant une formule pour la solution, sont très particulières : par exemple les équations du premier degré ax+b=0, celles du second degré ax^2+bx+c=0.

Mais pour la plupart des équations, il n’est pas possible de donner une formule pour la ou les solutions. En fait il n’est même pas évident de déterminer seulement le nombre de solutions, ni même s’il en existe.

Considérons par exemple l’équation extrêmement simple :

x + \exp x = 0

Il n’y a pas de formule explicite (utilisant des sommes, des produits, des fonctions usuelles) pour trouver la solution x.

Dans ce chapitre nous allons voir que grâce à l’étude de la fonction f(x)=x + \exp x, il est possible d’obtenir beaucoup d’informations sur l’ensemble des solutions de l’équation x+\exp x=0, et même de l’équation plus générale x+\exp x= y (où y \in \mathbb{R} est fixé).

Nous serons capables de prouver que pour chaque y \in \mathbb{R} l’équation x+\exp x = y admet une solution x, que cette solution est unique, et nous saurons dire comment varie x en fonction de y.

Le point clé de cette résolution est l’étude de la fonction f et en particulier de sa continuité. Même s’il n’est pas possible de trouver l’expression exacte de la solution x en fonction de y, nous allons mettre en place les outils théoriques qui permettent d’en trouver une solution approchée.

2 Notions de fonction

2.1 Définitions

Définition 2.1

Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une correspondance f:D\to \mathbb{R} où chaque élément du domaine D\subset \mathbb{R} est associé au plus à un élément de \mathbb{R}. Soit U\subset \mathbb{R} un domaine tel que f: U\to \mathbb{R} soit une application c’est-à-dire tel chaque élément de U est associé à un unique élément de \mathbb{R}. En général, U est un intervalle ou une réunion d’intervalles. On appelle U le domaine de définition de la fonction f.

De même, on définit une fonction f: D\to \mathbb{C} d’une variable réelle à valeurs complexes.

On désigne par \mathcal{F}(D,\mathbb{K}) l’ensemble des fonctions de D à valeurs dans \mathbb{K}.

Exemple 2.1

La fonction inverse :

f : \ ]-\infty,0[ \,\cup \, ]0,+\infty[ \ \longrightarrow \ \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \dfrac{1}{x}

En général, le graphe d’une fonction f:U\to \mathbb{K} est la partie \Gamma_f de \mathbb{R}\times \mathbb{K} définie par \Gamma_f=\big\{(x,f(x)) \ \vert \ x\in U\big\}.

Lorsque \mathbb{K}=\mathbb{R}, on peut le représenter sur le plan.

2.2 Opérations sur les fonctions

Soient f:U\to \mathbb{K} et g:U\to \mathbb{K} deux fonctions définies sur une même partie U de \mathbb{R}. On peut alors définir les fonctions suivantes :

  • la somme de f et g est la fonction f+g:U\to \mathbb{K} définie par (f+g)(x) = f(x) + g(x) pour tout x\in U ;
  • le produit de f et g est la fonction f\times g:U\to \mathbb{K} définie par (f\times g)(x) = f(x) \times g(x) pour tout x\in U ;
  • la multiplication par un scalaire \lambda\in\mathbb{K} de f est la fonction \lambda\cdot f:U\to \mathbb{K} définie par (\lambda\cdot f)(x) =\lambda\cdot f(x) pour tout x\in U.
  • Si \mathbb{K}=\mathbb{R}, on définit les fonctions \max(f,g) et \min(f,g) par :

\forall x\in U,\quad \max(f,g)(x)=\max(f(x),g(x)) \quad \text{et} \quad \min(f,g)(x)=\min(f(x),g(x))

  • Si f(U)\subset V\subset \mathbb{R} alors on définit la composée h\circ f, avec h:V\to \mathbb{K} est une fonction, par :

\forall x\in U,\quad \left(h\circ f\right)(x)=h\left(f(x)\right)

2.3 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition 2.2

Soient f:U\to \mathbb{R} et g:U\to \mathbb{R} deux fonctions. Alors :

  • f\geq g si \forall x \in U,\ f(x)\geq g(x) ;
  • f\geq 0 si \forall x \in U,\ f(x)\geq 0 ;
  • f> 0 si \forall x \in U,\ f(x)> 0 ;
  • f est dite constante sur U si \exists a\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ f(x)=a ;
  • f est dite nulle sur U si \forall x\in U,\ f(x)=0.

Définition 2.3

Soit f:U\to \mathbb{R} une fonction. On dit que :

  • f est majorée sur U si \exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ f(x)\leq M ;
  • f est minorée sur U si \exists m\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ f(x)\geq m ;
  • f est bornée sur U si f est à la fois majorée et minorée sur U, c’est-à-dire si \exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ |f(x)|\leq M.

Cette dernière définition existe même pour une fonction f:U\to \mathbb{C} à valeurs complexes.

Exemple 2.2

  • Les fonctions x\in \mathbb{R}\longmapsto e^{ix} et x\in \mathbb{R}\longmapsto \frac{1}{1-ix} sont bornées. De même, pour les fonctions x\in \mathbb{R}\longmapsto \cos x, x\in \mathbb{R}\longmapsto\sin x et x\in \mathbb{R}^+\longmapsto \frac{1}{1+x} ;
  • La fonction x \in ]0,+\infty[\longmapsto \frac{1}{x} est minorée et non majorée ;
  • La fonction x \in ]0,+\infty[\longmapsto 1-\frac{1}{x} est non minorée et majorée.

2.4 Fonctions croissantes, décroissantes

Définition 2.4

Soit f:U\to \mathbb{R} une fonction. On dit que :

  • f est croissante sur U si \forall x,y\in U,\ x\leq y \Longrightarrow f(x)\leq f(y) ;
  • f est strictement croissante sur U si \forall x,y\in U,\ x< y \Longrightarrow f(x)< f(y) ;
  • f est décroissante sur U si \forall x,y\in U,\ x\leq y \Longrightarrow f(x)\geq f(y) ;
  • f est strictement décroissante sur U si \forall x,y\in U,\ x< y \Longrightarrow f(x)> f(y) ;
  • f est monotone (resp. strictement monotone) sur U si f est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur U.

Exemple 2.3

  • La fonction racine carrée x\mapsto \sqrt x définie sur [0,+\infty[ est strictement croissante.
  • Les fonctions exponentielle \exp: \mathbb{R}\to\mathbb{R} et logarithme \ln :]0,+\infty[\to\mathbb{R} sont strictement croissantes.
  • La fonction valeur absolue x\mapsto |x| n’est ni croissante, ni décroissante. Par contre, la fonction x\mapsto |x| restreinte à [0,+\infty[ est strictement croissante.

Exercice 2.1

Étudier la monotonie de la composée h=g\circ f selon la monotonie de f et de g.

Exercice 2.2

Soit f une application croissante de [0, 1] dans lui même.

  1. On suppose qu’il existe x\in [0,1] et k\in \mathbb{N}^* tels que f^k(x)=x. Montrer que x est un point fixe de f (i.e. f(x)=x).
  2. Montrer que f admet un point fixe.

Indication : on pourra construire deux suites (a_n)_n et (b_n)_n d’éléments de [0,1] telles que :

(a_n)_n \text{ et } (b_n)_n \text{ adjacentes}, \qquad a_n\leq f(a_n)\leq f(b_n)\leq b_n

et montrer que leur limite commune est le point fixe de f.

2.5 Parité et périodicité

Définition 2.5

Soit I un intervalle de \mathbb{R} symétrique par rapport à 0 (c’est-à-dire de la forme ]-a,a[ ou [-a,a] ou \mathbb{R}). Soit f:I\to \mathbb{R} une fonction définie sur cet intervalle. On dit que :

  • f est paire si \forall x\in I,\ f(-x)=f(x),
  • f est impaire si \forall x\in I,\ f(-x)=-f(x).

Interprétation graphique :

  • f est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • f est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple 2.4

  • La fonction définie sur \mathbb{R} par x\mapsto x^{2n} (n\in\mathbb{N}) est paire.
  • La fonction définie sur \mathbb{R} par x\mapsto x^{2n+1} (n\in\mathbb{N}) est impaire.
  • La fonction \cos :\mathbb{R}\to\mathbb{R} est paire. La fonction \sin :\mathbb{R}\to\mathbb{R} est impaire.

Définition 2.6

Soit f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction et T un nombre réel, T>0. La fonction f est dite périodique de période T si \forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T)=f(x).

Interprétation graphique : f est périodique de période T si et seulement si son graphe est invariant par la translation de vecteur T\vec{i}, où \vec{i} est le premier vecteur de coordonnées.

Exemple 2.5

Les fonctions sinus et cosinus sont 2\pi-périodiques. La fonction tangente est \pi-périodique.

Exercice 2.3

  1. Soit U=]-\infty,0[ et f : U \to \mathbb{R} définie par f(x)= 1/x. f est-elle monotone ? Et sur U=]0,+\infty[ ? Et sur U = ]-\infty,0[\,\cup \, ]0,+\infty[ ?
  2. Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme ? du produit ? et de la composée ? Et pour deux fonctions impaires ? Et si l’une est paire et l’autre impaire ?
  3. On note \{x\}=x-E(x) la partie fractionnaire de x. Tracer le graphe de la fonction x\mapsto\{x\} et montrer qu’elle est périodique.
  4. Soit f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} la fonction définie par f(x)=\frac{x}{1+x^2}. Montrer que |f| est majorée par \frac{1}{2}, étudier les variations de f (sans utiliser de dérivée) et tracer son graphe.
  5. On considère la fonction g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=\sin\big(\pi f(x)\big), où f est définie à la question précédente. Déduire de l’étude de f les variations, la parité, la périodicité de g et tracer son graphe.

2.6 Fonction lipschitzienne

Soit f:U\to \mathbb{K} une fonction.

Définition 2.7

On dit que f est lipschitzienne s’il existe k\geq 0 tel que :

\forall x,y\in U,\ |f(y)-f(x)|\leq k|y-x|

On dit aussi que f est k-lipschitzienne.

Exemple 2.6

  • La fonction f_1: x\in \mathbb{R}\longmapsto x^2 n’est pas lipschitzienne.
  • La fonction f_2: x\in \mathbb{R}\longmapsto |x| est 1-lipschitzienne.
  • La fonction f_3: x\in [-1,1]\longmapsto x^2 est 2-lipschitzienne.
  • La fonction f_4: x\in \mathbb{R}\longmapsto \sin x est 1-lipschitzienne.

Exercice 2.4

Soient f:U\to \mathbb{R} et g:V\to \mathbb{R} deux fonctions lipschitziennes et \lambda \in \mathbb{R}.

  1. Montrer que les fonctions f+g et \lambda f sont lipschitziennes avec U=V ;
  2. Si on suppose que f(U)\subset V, montrer que g\circ f est lipschitzienne.

3 Limites

3.1 Définitions

3.1.1 Notion de voisinage

Soit f:I\to\mathbb{K} une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. Soit x_0\in\overline{\mathbb{R}} un point de I ou une extrémité de I.

Définition 3.1

  1. Si x_0 est fini (i.e. x_0\in \mathbb{R}), on appelle voisinage de x_0 tout intervalle ]x_0-\delta,x_0+\delta[ avec \delta>0 ou \delta =+\infty ;
  2. Si x_0=+\infty, on appelle voisinage de x_0 tout intervalle ]A,+\infty[ avec A\in \mathbb{R}\cup \{-\infty\} ;
  3. Si x_0=-\infty, on appelle voisinage de x_0 tout intervalle ]-\infty,A[ avec A\in \mathbb{R}\cup \{+\infty\}.

Définition 3.2 — (Voisinage d’un élément de \boldsymbol{\mathbb{C}})

Soit \ell\in \mathbb{C}. Un voisinage de \ell est un disque ouvert D(\ell,\varepsilon) de centre \ell et de rayon \varepsilon>0 :

D(\ell,\varepsilon)=\left\{z\in \mathbb{C}/\ |z-\ell|<\varepsilon \right\}

On note \mathcal{V}(a) l’ensemble des voisinages d’un élément a de \mathbb{C} ou de \overline{\mathbb{R}}.

Exercice 3.1

Soit x_0\in \overline{\mathbb{R}}. Montrer que la réunion et l’intersection (finie) de voisinages de x_0 est aussi un voisinage de x_0.

Exercice 3.2

Soit x_0\in\mathbb{R}.

  1. Montrer que si x_0 est un élément de I qui n’est pas une extrémité de I alors il existe \delta>0 tel que ]x_0-\delta,x_0+\delta[\subset I ;
  2. Montrer que si x_0 est la borne supérieure de I alors il existe \delta>0 tel que ]x_0-\delta,x_0[\subset I ;
  3. Même question si x_0 est la borne inférieure de I.

Définition 3.3

On dit qu’une propriété portant sur f est vraie au voisinage de x_0 si elle est vraie sur l’intersection de I avec un voisinage de x_0.

Exemple 3.1

  • La fonction f_1 :x\in ]1,+\infty[\longmapsto \frac{1}{x-1} n’est pas bornée au voisinage de 1 et bornée au voisinage de +\infty ;
  • La fonction f_2 :x\in ]0,+\infty[\longmapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right) n’est pas monotone au voisinage de 0 et décroissante au voisinage de +\infty ;
  • La fonction f_3 :x\in \mathbb{R}\longmapsto x^2 est lipschitzienne au voisinage de 0 ;
  • La fonction f_4 :x\in \mathbb{R}\longmapsto E(x) est constante au voisinage de tout point a\in \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Z}.

3.1.2 Limite en un point

Soit f:I\to\mathbb{K} une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. Soit x_0\in\mathbb{R} un point de I ou une extrémité de I.

Définition 3.4

Soit \ell\in\mathbb{K}. On dit que f a pour limite \ell en x_0 si

\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\in I \quad \vert x-x_0\vert <\delta \Longrightarrow \vert f(x)-\ell\vert <\epsilon

On dit aussi que f(x) tend vers \ell lorsque x tend vers x_0. On note alors \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell ou bien \displaystyle\lim_{x_0} f=\ell.

Remarque.

  • L’inégalité \vert x-x_0\vert <\delta équivaut à x \in ]x_0 - \delta, x_0+\delta[. L’inégalité \vert f(x)-\ell\vert <\epsilon équivaut à f(x) \in ]\ell - \epsilon, \ell+\epsilon[.
  • On peut remplacer certaines inégalités strictes par des inégalités larges dans la définition :

\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\in I \quad \vert x-x_0\vert \leq \delta \Longrightarrow \vert f(x)-\ell\vert \leq \epsilon

  • Dans la définition de la limite, le quantificateur \forall x\in I n’est là que pour être sûr que l’on puisse parler de f(x). Il est souvent omis et l’existence de la limite s’écrit alors juste :

\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \vert x-x_0\vert <\delta \Longrightarrow \vert f(x)-\ell\vert <\epsilon

  • N’oubliez pas que l’ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le \forall \epsilon avec le \exists \delta : le \delta dépend en général du \epsilon. Pour marquer cette dépendance on peut écrire : \forall \epsilon>0 \quad \exists \delta(\epsilon) >0 \ldots

Exemple 3.2

  • \displaystyle\lim_{x\to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0} pour tout x_0\geq 0,
  • la fonction partie entière E n’a pas de limite aux points x_0\in\mathbb{Z}.

Soit f:U\to \mathbb{R} une fonction définie sur un ensemble de la forme U=]a,x_0[\cup ]x_0,b[.

Définition 3.5

  • On dit que f a pour limite +\infty en x_0 si

\forall A>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\in I \quad \vert x-x_0\vert <\delta \Longrightarrow f(x)>A

On note alors \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty.

  • On dit que f a pour limite -\infty en x_0 si

\forall A>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\in I \quad \vert x-x_0\vert <\delta \Longrightarrow f(x)<-A

On note alors \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty.

3.1.3 Limite en l’infini

Soit f:I\to \mathbb{K} une fonction définie sur un intervalle de la forme I=]a,+\infty[.

Définition 3.6

  • Soit \ell\in\mathbb{K}. On dit que f a pour limite \ell en +\infty si

\forall \epsilon>0 \quad \exists B>0 \quad \forall x\in I \quad x>B \Longrightarrow \vert f(x)-\ell\vert <\epsilon

On note alors \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell ou \displaystyle\lim_{+\infty} f=\ell.

  • Lorsque \mathbb{K}=\mathbb{R}, on dit que f a pour limite +\infty en +\infty si

\forall A>0 \quad \exists B>0 \quad \forall x\in I \quad x>B \Longrightarrow f(x)>A

On note alors \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.

On définirait de la même manière la limite en -\infty pour des fonctions définies sur les intervalles du type ]-\infty,a[.

Exemple 3.3

On a les limites classiques suivantes pour tout n \geq 1 :

  • \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^n = +\infty et \displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{ si } n \text{ est pair}\\ -\infty & \text{ si } n \text{ est impair} \end{cases}
  • \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{1}{x^n}\right) = 0 et \displaystyle\lim_{x\to -\infty} \left(\frac{1}{x^n}\right) =0.

Exemple 3.4

Soit P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 avec a_n>0 et Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0 avec b_m>0.

\lim_{x\to+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} +\infty & \text{ si } n > m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{ si } n = m \\ 0 & \text{ si } n < m \end{cases}

Remarque. On peut résumer tous les cas possibles de la définition de la limite \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell en écrivant :

\left(\forall V_\ell\in \mathcal{V}(\ell)\right)\left(\exists V_{x_0}\in \mathcal{V}(x_0)\right) \left(\forall x\in I\right)\ x\in V_{x_0}\Longrightarrow f(x)\in V_\ell

Ou encore :

\left(\forall V_\ell\in \mathcal{V}(\ell)\right)\left(\exists V_{x_0}\in \mathcal{V}(x_0)\right)\ f\left(I\cap V_{x_0}\right)\subset V_\ell

3.1.4 Limite à gauche et à droite

Soit f une fonction définie sur un ensemble de la forme ]a,x_0[\cup ]x_0,b[.

Définition 3.7

  • On appelle limite à droite en x_0 de f la limite de la fonction f_{\big\vert ]x_0,b[} en x_0 et on la note \displaystyle\lim_{x_0^+} f.
  • On définit de même la limite à gauche en x_0 de f : la limite de la fonction f_{\big\vert ]a,x_0[} en x_0 et on la note \displaystyle\lim_{x_0^-} f.
  • On note aussi \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x) pour la limite à droite et \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\x<x_0}}f(x) pour la limite à gauche.

Remarque. Dire que f:I\to\mathbb{K} admet une limite \ell\in\mathbb{K} à droite en x_0 signifie donc :

\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad x_0<x <x_0+\delta \Longrightarrow \vert f(x)-\ell\vert <\epsilon

Si la fonction f a une limite en x_0, alors ses limites à gauche et à droite en x_0 coïncident et valent \displaystyle\lim_{x_0} f.

Réciproquement, si f a une limite à gauche et une limite à droite en x_0 et si ces limites valent f(x_0) (si f est bien définie en x_0) alors f admet une limite en x_0.

En résumé, f admet une limite en x_0 si et seulement si f admet une limite en x_0 à gauche et à droite et \displaystyle\lim_{x_0^-} f=\displaystyle\lim_{x_0^+} f.

Exemple 3.5

Considérons la fonction partie entière au point x=2 :

  • comme pour tout x\in]2,3[ on a E(x)=2, on a \displaystyle\lim_{2^+} E = 2,
  • comme pour tout x\in[1,2[ on a E(x)=1, on a \displaystyle\lim_{2^-} E = 1.

Ces deux limites étant différentes, on en déduit que E n’a pas de limite en 2.

Exercice 3.3

Donner une définition générale de la notion de limite sans distinguer les différents voisinages de x_0 et \ell.

Exercice 3.4

Montrer en utilisant la définition de la limite les limites suivantes :

\lim_{x\rightarrow -1}x^2=1 \quad ; \quad \lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x\neq 1}}\frac{1}{|1-x|}=+\infty \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0 \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{1-e^{x}}=-\infty

3.2 Propriétés

Proposition 3.1

La limite d’une fonction, si elle existe, est unique.

Proposition 3.2

Soit f : I\longrightarrow \mathbb{K} une fonction et x_0 un point ou une extrémité (éventuellement infinie) de I. Si f possède une limite finie en x_0, alors f est bornée au voisinage de x_0.

Proposition 3.3 — (Stabilité des inégalités larges par passage à la limite)

Soit f : I\longrightarrow \mathbb{R} une fonction et x_0 un point ou une extrémité (éventuellement infinie) de I. Soit \ell tel que \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\ell\in\overline{\mathbb{R}}.

S’il existe un voisinage V_{x_0} de x_0 tel que :

\forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\leq k \quad (\text{respectivement } f(x)\geq k)

alors \ell\leq k (respectivement \ell\geq k).

Proposition 3.4 — (Réciproque)

Si \ell<k (respectivement \ell>k) alors il existe un voisinage V_{x_0} de x_0 tel que :

\forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)<k \quad (\text{respectivement } f(x)>k)

Exercice 3.5

Soit f : I\longrightarrow \mathbb{K} une fonction telle que \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\ell avec \ell\neq 0. Montrer qu’il existe un voisinage V_{x_0} de x_0 tel que :

\forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\neq 0

Théorème 3.1 — (Opérations sur les limites)

Soient deux fonctions f et g à valeurs dans \mathbb{K}. On suppose que x_0 est un réel, ou que x_0=\pm\infty, et que \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\ell et \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}g(x)=\ell'.

  1. Si \ell et \ell' sont deux éléments de \mathbb{K} alors :
    • Pour tous \alpha, \beta\in \mathbb{K}, la fonction \alpha f+\beta g admet une limite en x_0 et on a : \alpha f+\beta g \underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \alpha \ell+\beta \ell'
    • La fonction f\cdot g admet une limite quand x tend vers x_0 et on a : f\cdot g \underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \ell\cdot\ell'
    • Si \ell\neq 0 alors la fonction \frac{1}{f} est bien définie au voisinage de x_0, admet une limite quand x tend vers x_0 et on a : \frac{1}{f}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{\ell}
  2. Si \mathbb{K}=\mathbb{R}, on a de plus :
    • Si \ell=\pm\infty et \ell'\in \overline{\mathbb{R}}\smallsetminus\{0\} alors : f\cdot g \underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \pm\infty
    • Si \ell=\pm\infty alors la fonction \frac{1}{f} est bien définie au voisinage de x_0 et admet une limite quand x tend vers x_0 et on a : \frac{1}{f}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} 0

Proposition 3.5 — (Caractérisation séquentielle de la limite)

Soit f : I\longrightarrow \mathbb{K} une fonction et x_0 un point ou une extrémité de I. Soit \ell tel que \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\ell.

\ell=\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x) \Longleftrightarrow \forall(u_n)_n\subset I,\ \left(\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}u_n=x_0\Longrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}f(u_n)=\ell\right)

Exemple 3.6

Si on considère la fonction f: x\in \mathbb{R}\longmapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right), le point x_0=0 et la suite u_n=\frac{1}{(2n+1)\frac{\pi}{2}} alors :

\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}u_n=0 \quad \text{et} \quad \forall n\in \mathbb{N},\ f(u_n)=(-1)^n

La suite (-1)^n n’admet pas de limite, donc f n’admet pas de limite en 0.

Proposition 3.6 — (Composition de limites)

Soient deux fonctions f:I\to \mathbb{R} et g:J\to \mathbb{K} telles que f(I)\subset J. On suppose que x_0 est un réel, ou que x_0=\pm\infty, et que \underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\ell\in\overline{\mathbb{R}} et \underset{y\rightarrow \ell}{\lim}g(y)=\ell'.

Si \displaystyle\lim_{x_0} f=\ell et \displaystyle\lim_\ell g=\ell', alors \displaystyle\lim_{x_0} g\circ f=\ell'.

Exemple 3.7

Soit x \mapsto u(x) une fonction et x_0 \in \mathbb{R} tel que u(x) \to 2 lorsque x \to x_0. Posons f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{u(x)^2}+\ln u(x)}. Si elle existe, quelle est la limite de f en x_0 ?

  • Tout d’abord comme u(x) \to 2 alors u(x)^2 \to 4 donc \frac{1}{u(x)^2} \to \frac{1}{4} (lorsque x\to x_0).
  • De même comme u(x) \to 2 alors, dans un voisinage de x_0, u(x)>0 donc \ln u(x) est bien définie dans ce voisinage et de plus \ln u(x) \to \ln 2 (lorsque x \to x_0).
  • Cela entraîne que 1+\frac{1}{u(x)^2}+\ln u(x) \to 1+\frac{1}{4} + \ln 2 lorsque x \to x_0. En particulier 1+\frac{1}{u(x)^2}+\ln u(x)\geq 0 dans un voisinage de x_0, donc f(x) est bien définie dans un voisinage de x_0.
  • Et par composition avec la racine carrée alors f(x) a bien une limite en x_0 et \lim_{x\to x_0} f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{4} + \ln 2}.

Proposition 3.7 — (Théorème des gendarmes)

Soient f,g,h:I\to \mathbb{R} trois fonctions, x_0 un point ou une extrémité (éventuellement infinie) de I et \ell\in \mathbb{R}.

  1. f(x),h(x)\underset{x\rightarrow x_0}{\longrightarrow} \ell
  2. \exists V_{x_0}\in\mathcal{V}(x_0),\ \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\leq g(x)\leq h(x)

Alors la fonction g admet \ell comme limite quand x tend vers x_0.

Proposition 3.8 — (Caractérisation de la limite d’une fonction complexe par les parties réelles et imaginaires)

Soit f : I\longrightarrow \mathbb{C} une fonction, x_0 un point ou une extrémité (éventuellement infinie) de I et \ell\in \mathbb{C}.

\underset{x_0}{\lim}f =\ell \Longleftrightarrow \begin{cases} \underset{x_0}{\lim}\mathcal{R}e(f)=\mathcal{R}e(\ell)\\ \underset{x_0}{\lim}\mathcal{I}m(f)=\mathcal{I}m(\ell) \end{cases}

Proposition 3.9 — (Détermination de la limite par majoration ou minoration)

Soient f,g:I\to \mathbb{R} deux fonctions et x_0 un point ou une extrémité (éventuellement infinie) de I.

  1. g(x)\underset{x\rightarrow x_0}{\longrightarrow} +\infty (respectivement -\infty)
  2. \exists V_{x_0}\in \mathcal{V}(x_0),\ \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ g(x)\leq f(x) (respectivement f(x)\leq g(x))

Alors f(x)\underset{x\rightarrow x_0}{\longrightarrow} +\infty (respectivement -\infty)

Exercice 3.6

Soit \alpha>0. Montrer les limites de référence suivantes :

\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{\alpha}e^{-x}=0 \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=0 \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\alpha}\ln x=0

Exercice 3.7

Montrer les limites suivantes :

\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-\ln x)=+\infty \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)=0 \quad ;\\ \quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}=1 \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow +\infty}xe^{-\sqrt{x}}=0 \quad ; \quad \lim_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\right)=0

4 Continuité

4.1 Définition

Soit I un intervalle de \mathbb{R} et f:I\to\mathbb{K} une fonction définie sur I.

Définition 4.1

  • On dit que f est continue en un point x_0\in I si et seulement si f admet une limite en x_0 et \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). Autrement dit, si et seulement si :

\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x\in I \quad \vert x-x_0\vert <\delta \Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert <\epsilon

  • On dit que f est continue en x_0 à droite (respectivement à gauche) si la limite \underset{x\rightarrow x_0^+}{\lim}f(x) (respectivement \underset{x\rightarrow x_0^-}{\lim}f(x)) existe et f(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0^+}{\lim}f(x) (respectivement f(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0^-}{\lim}f(x)).

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe « sans lever le crayon », c’est-à-dire si sa courbe représentative n’admet pas de saut.

Remarque. f est continue en x_0 si et seulement si elle est continue en x_0 à droite et à gauche.

Exemple 4.1

Les fonctions suivantes sont continues :

  • une fonction constante en tout point x_0 de \mathbb{R},
  • la fonction racine carrée x\mapsto\sqrt{x} en tout point x_0 de [0,+\infty[,
  • les fonctions \sin et \cos en tout point x_0 de \mathbb{R},
  • la fonction valeur absolue x\mapsto\vert x\vert en tout point x_0 de \mathbb{R},
  • la fonction \exp en tout point x_0 de \mathbb{R},
  • la fonction \ln en tout point x_0 de ]0,+\infty[.

Par contre, la fonction partie entière E n’est pas continue aux points x_0\in\mathbb{Z}, puisqu’elle n’admet pas de limite en ces points. Mais f est continue à droite en chaque point x_0\in\mathbb{Z}. Pour x_0\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}, elle est continue en x_0.

Exercice 4.1

Montrer, dans chaque cas, que la fonction f est continue au point x_0 :

  1. f: x\in \mathbb{R}\longmapsto \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{si } x\neq 0\\ 0, & \text{sinon} \end{cases} ; x_0=0 ;
  2. f: x\in \mathbb{R}\longmapsto \begin{cases} xE\left(\frac{1}{x}\right), & \text{si } x\neq 0\\ 1, & \text{sinon} \end{cases} ; x_0=0 ;
  3. f: x\in \mathbb{R}\longmapsto \begin{cases} x^2, & \text{si } x\geq 0\\ -x^2, & \text{sinon} \end{cases} ; x_0=0 ;

4.2 Propriétés

La continuité assure par exemple que si la fonction ne s’annule pas en un point (qui est une propriété ponctuelle) alors elle ne s’annule pas autour de ce point (propriété locale). Voici l’énoncé :

Lemme 4.1

Soit f:I\to\mathbb{K} une fonction définie sur un intervalle I et x_0 un point de I. Si f est continue en x_0 et si f(x_0)\neq 0, alors il existe \delta>0 tel que :

\forall x\in ]x_0-\delta,x_0+\delta [ \quad f(x)\neq 0

La continuité se comporte bien avec les opérations élémentaires. Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates des propositions analogues sur les limites.

Théorème 4.1 — (Opération sur les fonctions continues en un point)

  1. Soient f,g:I\to \mathbb{K} deux fonctions définies sur I et continues en x_0.
    • Pour tout \alpha, \beta \in \mathbb{K}, la fonction \alpha f+\beta g est continue en x_0 ;
    • La fonction f\cdot g est continue en x_0 ;
    • Si f(x_0)\neq 0 alors la fonction \frac{g}{f} est définie au voisinage de x_0 et continue en x_0.
  2. Si f:I\to \mathbb{R} est une fonction définie sur I et continue en x_0 et g:J\to \mathbb{K} une fonction telle que f(I)\subset J et g continue en y_0=f(x_0), alors la fonction composée g\circ f est continue en x_0.

4.3 Continuité globale

Définition 4.2 — (Continuité globale)

On dit que f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point de I.

Exemple 4.2

  • Les fonctions constantes sont continues sur \mathbb{R} ;
  • Une fonction lipschitzienne est continue ;
  • Les fonctions \exp,\ \ln,\ \sin,\ \cos,\ \tan,\ x\longmapsto \sqrt{x},\ x\longmapsto x,\ x\longmapsto |x|,\ x\longmapsto e^{ix} sont continues sur leur domaine de définition ;
  • La fonction \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} est discontinue en tout point de \mathbb{R}.
  • La fonction x\longmapsto x\cdot\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x) est discontinue en tout point de \mathbb{R} sauf en x_0=0.

Théorème 4.2 — (Opération sur les fonctions continues sur un intervalle)

  1. Soient f,g:I\to \mathbb{K} deux fonctions définies et continues sur I.
    • Pour tout \alpha, \beta \in \mathbb{K}, la fonction \alpha f+\beta g est continue sur I ;
    • La fonction f\cdot g est continue sur I ;
    • Si f ne s’annule pas sur I alors la fonction \frac{g}{f} est définie et continue sur I.
  2. Si f:I\to \mathbb{R} est une fonction définie et continue sur I et g:J\to \mathbb{K} une fonction telle que f(I)\subset J et g continue sur J, alors la fonction composée g\circ f est continue sur I.

Exemple 4.3

  • les fonctions puissance x\mapsto x^n sur \mathbb{R} (comme produit x \times x \times \cdots),
  • les polynômes sur \mathbb{R} (somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes),
  • les fractions rationnelles x\mapsto \frac{P(x)}{Q(x)} sur tout intervalle où le polynôme Q(x) ne s’annule pas,
  • Plus généralement, les fonctions polynômiales, les fractions rationnelles, les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions trigonométriques, les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions hyperboliques etc… sont continues sur leur domaine de définition,
  • La fonction x\in \mathbb{R}\longmapsto \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x-1} est continue sur \mathbb{R}^*\smallsetminus\{1\} car elle est composée et fraction de fonctions continues.

4.4 Caractérisation séquentielle de la continuité

Proposition 4.1

Soit f:I\to\mathbb{K} une fonction et x_0 un point de I. Alors :

f est continue en x_0 si et seulement si pour toute suite (u_n) qui converge vers x_0, la suite (f(u_n)) converge vers f(x_0).

Remarque. On retiendra surtout l’implication : si f est continue sur I et si (u_n) est une suite convergente de limite \ell, alors (f(u_n)) converge vers f(\ell). On l’utilisera intensivement pour l’étude des suites récurrentes u_{n+1}= f(u_n) : si f est continue et u_n\to \ell, alors f(\ell)=\ell.

Exercice 4.2

Formuler des caractérisations séquentielles similaires pour la continuité à gauche et à droite au point x_0.

Exercice 4.3

Soit f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que f(ax)=f(x) pour tout x\in \mathbb{R}, où a est fixé différent de 1 et -1.

  1. On suppose, dans cette question, que |a|<1.
    • Montrer que pour tout n\in \mathbb{N}, f(a^nx)=f(x) ;
    • En déduire que f est constante.
  2. Faire de même lorsque |a|>1.

Exercice 4.4

Soient f,g : I\longrightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues. Montrer que les fonctions |f|,\ \min(f,g) et \max(f,g) sont continues sur I.

4.5 Prolongement par continuité

Définition 4.3

Soit I un intervalle, x_0 un point de I et f:I\setminus\{x_0\}\to\mathbb{R} une application.

  • On dit que f est prolongeable par continuité en x_0 si f admet une limite finie en x_0. Notons alors \ell=\displaystyle\lim_{x_0} f.
  • On définit alors la fonction \tilde f:I\to\mathbb{R} en posant pour tout x\in I :

\tilde f(x) = \begin{cases} f(x) &\text{ si } x\neq x_0\\ \ell &\text{ si } x=x_0. \end{cases}

Alors \tilde f est continue en x_0 et on l’appelle le prolongement par continuité de f en x_0.

Dans la pratique, on continuera souvent à noter f à la place de \tilde f.

Exemple 4.4

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right). Voyons si f admet un prolongement par continuité en 0 ?

Comme pour tout x\in\mathbb{R}^* on a \vert f(x)\vert\leq \vert x\vert, on en déduit que f tend vers 0 en 0. Elle est donc prolongeable par continuité en 0 et son prolongement est la fonction \tilde f définie sur \mathbb{R} tout entier par :

\tilde f(x) = \begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) &\text{ si } x\neq 0\\ 0 &\text{ si } x=0. \end{cases}

Exercice 4.5

Montrer, dans chaque cas, que f est prolongeable par continuité au point x_0=0.

  1. f : ]0,+\infty[\longmapsto x\ln x ;
  2. f : \mathbb{R}^*\longmapsto \frac{\sin x}{x} ;
  3. Soit y\in \mathbb{R}^+. f : ]0,\pi/2]\longmapsto \left(\sin x\right)^y.

Exercice 4.6

  1. Déterminer le domaine de définition et de continuité des fonctions suivantes : f(x) = 1/\sin x, g(x) = 1/\sqrt{x+\frac{1}{2}}, h(x) = \ln(x^2+x-1).
  2. Trouver les couples (a,b)\in\mathbb{R}^2 tels que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = ax+b si x< 0 et f(x) = \exp(x) si x\geq 0 soit continue sur \mathbb{R}. Et si on avait f(x) = \frac{a}{x-1}+b pour x<0 ?
  3. Soit f une fonction continue telle que f(x_0)=1. Montrer qu’il existe \delta>0 tel que : pour tout x\in ]x_0 - \delta, x_0+\delta[ \quad f(x) > \frac{1}{2}.
  4. Étudier la continuité de f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par : f(x) = \sin(x)\cos\left(\frac{1}{x}\right) si x\neq 0 et f(0)=0. Et pour g(x)=xE(x) ?
  5. La fonction définie par f(x)=\frac{x^3+8}{|x+2|} admet-elle un prolongement par continuité en -2 ?
  6. Soit la suite définie par u_0>0 et u_{n+1}=\sqrt{u_n}. Montrer que (u_n) admet une limite \ell \in \mathbb{R} lorsque n\to+\infty. À l’aide de la fonction f(x)=\sqrt{x} calculer cette limite.

5 Continuité sur un intervalle

5.1 Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 5.1 — (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction continue sur un segment.

Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe c\in[a,b] tel que f(c)=y.

Preuve. Montrons le théorème dans le cas où f(a)<f(b). On considère alors un réel y tel que f(a)\leq y\leq f(b) et on veut montrer qu’il a un antécédent par f.

On introduit l’ensemble suivant :

A=\Big\{ x\in [a,b] \ \vert \ f(x)\leq y \Big\}

Tout d’abord l’ensemble A est non vide (car a\in A) et il est majoré (car il est contenu dans [a,b]) : il admet donc une borne supérieure, que l’on note c=\sup A. Montrons que f(c)=y.

Montrons tout d’abord que f(c)\leq y. Comme c=\sup A, il existe une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} contenue dans A telle que (u_n) converge vers c. D’une part, pour tout n\in\mathbb{N}, comme u_n\in A, on a f(u_n)\leq y. D’autre part, comme f est continue en c, la suite \left(f(u_n)\right) converge vers f(c). On en déduit donc, par passage à la limite, que f(c)\leq y.

Montrons à présent que f(c)\geq y. Remarquons tout d’abord que si c=b, alors on a fini, puisque f(b)\geq y. Sinon, pour tout x\in]c,b], comme x\notin A, on a f(x)>y. Or, étant donné que f est continue en c, f admet une limite à droite en c, qui vaut f(c) et on obtient f(c)\geq y.

5.2 Applications du théorème des valeurs intermédiaires

Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires.

Corollaire 5.1

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction continue sur un segment.

Si f(a)\cdot f(b)\leq 0, alors il existe c\in [a,b] tel que f(c)=0.

Preuve. Il s’agit d’une application directe du théorème des valeurs intermédiaires avec y=0. L’hypothèse f(a)\cdot f(b)\leq 0 signifiant que f(a) et f(b) sont de signes contraires.

Remarque. Le théorème des valeurs intermédiaires et le corollaire ci-dessus sont équivalents.

Remarque. Voir en annexe la méthode de dichotomie pour la recherche des zéros des fonctions.

Exemple 5.1

Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.

En effet, un tel polynôme s’écrit P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 avec n un entier impair. On peut supposer que le coefficient a_n est strictement positif. Alors on a \displaystyle\lim_{-\infty} P = -\infty et \displaystyle\lim_{+\infty} P = +\infty. En particulier, il existe deux réels a et b tels que f(a)<0 et f(b)>0 et on conclut grâce au corollaire précédent.

Exercice 5.1

Soient f,g : [a,b]\longrightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues. On suppose que f(a)\leq g(a) et f(b)\geq g(b). Montrer qu’il existe x\in [a,b] tel que f(x)=g(x).

Exercice 5.2

Soit f une fonction continue sur [0,1] dans lui même. Montrer que f admet un point fixe.

Corollaire 5.2

Soit f:I\to\mathbb{R} une fonction continue sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle.

Preuve. Soient y_1,y_2\in f(I), y_1\leq y_2. Montrons que si y\in[y_1,y_2], alors y\in f(I). Par hypothèse, il existe x_1,x_2\in I tels que y_1 =f(x_1), y_2 =f(x_2) et donc y est compris entre f(x_1) et f(x_2). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue, il existe donc x\in I tel que y=f(x), et ainsi y\in f(I).

Exercice 5.3

Soit f:I\longrightarrow \mathbb{R} continue. On suppose que f n’est ni majorée, ni minorée. Montrer que f est surjective.

5.3 Fonctions continues sur un segment

Théorème 5.2 — (Théorème de Weierstrass)

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction continue sur un segment. Alors il existe deux réels m et M tels que f([a,b])=[m,M]. Autrement dit, l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Comme on sait déjà par le théorème des valeurs intermédiaires que f([a,b]) est un intervalle, le théorème précédent signifie exactement que :

Si f est continue sur [a,b] alors f est bornée sur [a,b], et elle atteint ses bornes.

Donc m est le minimum de la fonction sur l’intervalle [a,b] alors que M est le maximum. Alors on peut formuler ce théorème de la façon suivante :

Si f est continue sur [a,b] alors il existe c,d\in [a,b] tels que : \forall x\in [a,b],\quad f(c)\leq f(x)\leq f(d)

Preuve. Montrons d’abord que f est bornée.

  • Pour r \in \mathbb{R}, on note A_r = \{ x \in [a,b] \mid f(x) \geq r\}. Fixons r tel que A_r \neq \varnothing, comme A_r \subset [a,b], le nombre s = \sup A_r existe. Soit x_n \to s avec x_n \in A_r. Par définition f(x_n) \geq r donc, f étant continue, à la limite f(s) \geq r et ainsi s \in A_r.

  • Supposons par l’absurde que f ne soit pas bornée. Alors pour tout n \geq 0, A_n est non vide. Notons s_n = \sup A_n. Comme f(x) \geq n+1 implique f(x) \geq n alors A_{n+1} \subset A_n, ce qui entraîne s_{n+1} \leq s_n. Bilan : (s_n) est une suite décroissante, minorée par a donc converge vers \ell \in [a,b]. Encore une fois f est continue donc s_n \to \ell, implique f(s_n) \to f(\ell). Mais f(s_n) \geq n donc \lim f(s_n) = +\infty. Cela contredit \lim f(s_n) = f(\ell) < +\infty. Conclusion : f est majorée.

  • Un raisonnement tout à fait similaire prouve que f est aussi minorée, donc bornée. Par ailleurs on sait déjà que f(I) est un intervalle (c’est le théorème des valeurs intermédiaires), donc maintenant f(I) est un intervalle borné. Il reste à montrer qu’il est du type [m,M] (et pas ]m,M[ par exemple).

Montrons maintenant que f(I) est un intervalle fermé. Sachant déjà que f(I) est un intervalle borné, notons m et M ses extrémités : m = \inf f(I) et M = \sup f(I). Supposons par l’absurde que M \notin f(I). Alors pour t \in [a,b], M > f(t). La fonction g : t \mapsto \frac{1}{M-f(t)} est donc bien définie. La fonction g est continue sur I donc d’après le premier point de cette preuve (appliqué à g) elle est bornée, disons par un réel K. Mais il existe y_n \to M, y_n \in f(I). Donc il existe x_n \in [a,b] tel que y_n = f(x_n) \to M et alors g(x_n) = \frac{1}{M-f(x_n)} \to +\infty. Cela contredit que g soit une fonction bornée par K. Bilan : M \in f(I). De même on a m \in f(I). Conclusion finale : f(I) = [m,M].

Exercice 5.4

  1. Soient P(x)=x^5-3x-2 et f(x)=x2^x-1 deux fonctions définies sur \mathbb{R}. Montrer que l’équation P(x)=0 a au moins une racine dans [1,2] ; l’équation f(x)=0 a au moins une racine dans [0,1] ; l’équation P(x)=f(x) a au moins une racine dans ]0,2[.
  2. Montrer qu’il existe x>0 tel que 2^x+3^x=7^x.
  3. Dessiner le graphe d’une fonction continue f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tel que f(\mathbb{R}) = [0,1]. Puis f(\mathbb{R})=]0,1[ ; f(\mathbb{R}) = [0,1[ ; f(\mathbb{R})= ]-\infty,1], f(\mathbb{R})= ]-\infty,1[.
  4. Soient f,g : [0,1] \to \mathbb{R} deux fonctions continues. Quelles sont, parmi les fonctions suivantes, celles dont on peut affirmer qu’elles sont bornées : f+g, f\times g, f/g ?
  5. Soient f et g deux fonctions continues sur [0,1] telles que \forall x\in [0,1],\ f(x)<g(x). Montrer qu’il existe m>0 tel que \forall x\in [0,1],\ f(x)+m<g(x). Ce résultat est-il vrai si on remplace [0,1] par \mathbb{R} ?

Exercice 5.5

Soit f : [a,b]\longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que :

\forall x\in [a,b],\ f(x)<0

Montrer que \underset{x\in [a,b]}{\sup}f(x)<0.

Exercice 5.6

Soit f : \mathbb{R}^+\longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue admettant une limite finie en +\infty. Montrer que f est bornée.

Exercice 5.7

Montrer que si f: [a,b]\longrightarrow \mathbb{C} est une fonction continue, alors |f| est bornée et atteint ses bornes sur [a,b].

6 Fonctions monotones et bijections

6.1 Rappels : injection, surjection, bijection

Dans cette section nous rappelons le matériel nécessaire concernant les applications bijectives.

Définition 6.1

Soit f:E\to F une application, où E et F sont des parties de \mathbb{R}.

  • f est injective si et seulement si \forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x') \Longrightarrow x=x' ;
  • f est surjective si et seulement si \forall y\in F,\ \exists x\in E,\ y=f(x) ;
  • f est bijective si et seulement si f est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si \forall y\in F,\ \exists! x\in E,\ y=f(x).

Proposition 6.1

Si f : E \to F est une fonction bijective alors il existe une unique application g : F \to E telle que g\circ f = \mathrm{Id}_E et f\circ g = \mathrm{Id}_F. La fonction g est la bijection réciproque de f et se note f^{-1}.

Remarque.

  • On rappelle que l’identité, \mathrm{Id}_E : E \to E est simplement définie par x \mapsto x.
  • g \circ f = \mathrm{Id}_E se reformule ainsi : \forall x \in E,\ g\big(f(x)\big) = x.
  • Alors que f \circ g = \mathrm{Id}_F s’écrit : \forall y \in F,\ f\big(g(y)\big) = y.
  • Dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f^{-1} sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

6.2 Théorème de la limite monotone

De façon analogue aux suites, on énonce le théorème très important suivant :

Théorème 6.1 — (Théorème de la limite monotone)

Soient f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) et (a,b)\in \mathbb{R}^2 tel que a<b. On suppose que f est croissante et définie sur ]a,b[. Alors :

    • Si f est majorée sur ]a,b[ alors f admet une limite en b à gauche et on a :

\underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x)=\underset{x\in ]a,b[}{\sup} f(x)

  • Si f n’est pas majorée sur ]a,b[ alors f tend vers +\infty quand x tend vers b à gauche i.e. :

\underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x)=+\infty

    • Si f est minorée sur ]a,b[ alors f admet une limite en a à droite et on a :

\underset{x\rightarrow a^+}{\lim}f(x)=\underset{x\in ]a,b[}{\inf} f(x)

  • Si f n’est pas minorée sur ]a,b[ alors f tend vers -\infty quand x tend vers a à droite i.e. :

\underset{x\rightarrow a^+}{\lim}f(x)=-\infty

Remarque. Ce résultat est encore valable si a=-\infty et b=+\infty.

Preuve. On donne ci-dessous la démonstration dans le cas où f est majorée et pour la limite \underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x).

Comme f est majorée sur ]a,b[ alors l’ensemble \{f(x)/\ x\in ]a,b[\} admet une borne supérieure \ell\in\mathbb{R}. Montrons alors que \underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x)=\ell :

Soit \varepsilon >0, d’après la caractérisation de la borne supérieure, il existe un x_0\in ]a,b[ tel que : \ell -\varepsilon <f(x_0). Et puisque f est croissante et \ell est un majorant de f sur ]a,b[ alors :

\forall x\in ]x_0,b[,\ \ell-\varepsilon <f(x_0)\leq f(x)\leq \ell <\ell +\varepsilon

D’où :

\forall x\in ]x_0,b[,\ |f(x)-\ell|<\varepsilon

Ce qui prouve que f admet une limite en b à gauche et que \underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x)=\ell=\sup f.

Exercice 6.1

Formuler un résultat similaire pour une fonction vérifiant les hypothèses du théorème précédent sauf qu’elle est décroissante.

Corollaire 6.1

Soit f:I\to\mathbb{R} une fonction définie sur I. Si f est une fonction croissante alors les limites \lim_{a^+}f et \lim_{a^-}f, en tout point a\in I (qui n’est pas une extrémité), existent et finies et on a :

\lim_{a^-}f\leq f(a)\leq \lim_{a^+}f

Exercice 6.2

Soit f : \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} une application croissante. Montrer que la fonction f^+: x\in \mathbb{R}\longmapsto \lim_{x^+}f est croissante.

6.3 Fonctions monotones et bijections

Voici un théorème très utilisé dans la pratique pour montrer qu’une fonction est bijective.

Théorème 6.2 — (Théorème de la bijection monotone)

Soit f:I\to \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. Si f est continue et strictement monotone sur I, alors

  1. f établit une bijection de l’intervalle I dans l’intervalle image J=f(I),
  2. la fonction réciproque f^{-1}:J\to I est continue et strictement monotone sur J et elle a le même sens de variation que f.

En pratique, si on veut appliquer ce théorème à une fonction continue f:I\to \mathbb{R}, on découpe l’intervalle I en sous-intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone.

Exemple 6.1

Considérons la fonction carrée définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2. La fonction f n’est pas strictement monotone sur \mathbb{R} : elle n’est pas même pas injective car un nombre et son opposé ont même carré. Cependant, en restreignant son ensemble de définition à ]-\infty,0] d’une part et à [0,+\infty[ d’autre part, on définit deux fonctions strictement monotones :

f_1 : ]-\infty,0] \longrightarrow [0,+\infty[, \quad x \longmapsto x^2

et

f_2 : [0,+\infty[ \longrightarrow [0,+\infty[, \quad x \longmapsto x^2

On remarque que f(]-\infty,0]) = f([0,+\infty[) = [0,+\infty[. D’après le théorème précédent, les fonctions f_1 et f_2 sont des bijections. Déterminons leurs fonctions réciproques f_1^{-1} :[0,+\infty[ \to]-\infty,0] et f_2^{-1} :[0,+\infty[ \to [0,+\infty[.

Soient deux réels x et y tels que y\geq 0. Alors

y=f(x) \Longleftrightarrow y=x^2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{y} \quad \text{ ou } \quad x=-\sqrt{y}

c’est-à-dire y admet (au plus) deux antécédents, l’un dans [0,+\infty[ et l’autre dans ]-\infty,0]. Et donc f_1^{-1}(y)=-\sqrt{y} et f_2^{-1}(y)=\sqrt{y}. On vérifie bien que chacune des deux fonctions f_1 et f_2 a le même sens de variation que sa réciproque.

On remarque que la courbe totale en pointillé (à la fois la partie bleue et la verte), qui est l’image du graphe de f par la symétrie par rapport à la première bissectrice, ne peut pas être le graphe d’une fonction : c’est une autre manière de voir que f n’est pas bijective.

Généralisons en partie l’exemple précédent.

Exemple 6.2

Soit n\geq 1. Soit f : [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ définie par f(x)=x^n. Alors f est continue et strictement croissante. Comme \lim_{+\infty} f = +\infty alors f est une bijection. Sa bijection réciproque f^{-1} est notée : x \mapsto x^{\frac{1}{n}} (ou aussi x \mapsto \sqrt[n]{x}) : c’est la fonction racine n-ième. Elle est continue et strictement croissante.

6.4 Démonstration

On établit d’abord un lemme utile à la démonstration du théorème de la bijection monotone.

Lemme 6.1

Soit f:I\to \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}. Si f est strictement monotone sur I, alors f est injective sur I.

Preuve. Soient x,x' \in I tels que f(x)=f(x'). Montrons que x=x'. Si on avait x<x', alors on aurait nécessairement f(x)<f(x') ou f(x)>f(x'), suivant que f est strictement croissante, ou strictement décroissante. Comme c’est impossible, on en déduit que x\geq x'. En échangeant les rôles de x et de x', on montre de même que x\leq x'. On en conclut que x=x' et donc que f est injective.

Preuve.

  1. D’après le lemme précédent, f est injective sur I. En restreignant son ensemble d’arrivée à son image J=f(I), on obtient que f établit une bijection de I dans J. Comme f est continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, l’ensemble J est un intervalle.

  2. Supposons pour fixer les idées que f est strictement croissante.

    • Montrons que f^{-1} est strictement croissante sur J. Soient y,y'\in J tels que y<y'. Notons x=f^{-1}(y)\in I et x'=f^{-1}(y')\in I. Alors y=f(x), y'=f(x') et donc

y<y'\Longrightarrow f(x)<f(x')\Longrightarrow x<x' \quad \text{ (car $f$ est strictement croissante)}\Longrightarrow f^{-1}(y)<f^{-1}(y')

c’est-à-dire f^{-1} est strictement croissante sur J.

  • Montrons que f^{-1} est continue sur J. On se limite au cas où I est de la forme ]a,b[, les autres cas se montrent de la même manière. Soit y_0\in J. On note x_0=f^{-1}(y_0)\in I. Soit \epsilon>0. On peut toujours supposer que [x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]\subset I. On cherche un réel \delta>0 tel que pour tout y\in J on ait

y_0-\delta<y<y_0+\delta \Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon<f^{-1}(y)<f^{-1}(y_0)+\epsilon

c’est-à-dire tel que pour tout x\in I on ait

y_0-\delta<f(x)<y_0+\delta \Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon<x<f^{-1}(y_0)+\epsilon

Or, comme f est strictement croissante, on a pour tout x\in I

f(x_0-\epsilon)<f(x)<f(x_0+\epsilon) \Longrightarrow x_0-\epsilon<x<x_0+\epsilon\Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon<x<f^{-1}(y_0)+\epsilon

Comme f(x_0-\epsilon)<y_0<f(x_0+\epsilon), on peut choisir le réel \delta>0 tel que

f(x_0-\epsilon)<y_0-\delta \quad \text{ et } \quad f(x_0+\epsilon) > y_0+\delta

et on a bien alors pour tout x\in I

y_0-\delta<f(x)<y_0+\delta \Longrightarrow f(x_0-\epsilon)<f(x)<f(x_0+\epsilon)\Longrightarrow f^{-1}(y_0)-\epsilon<x<f^{-1}(y_0)+\epsilon

La fonction f^{-1} est donc continue sur J.

Exercice 6.3

  1. Montrer que chacune des hypothèses « continue » et « strictement monotone » est nécessaire dans l’énoncé du théorème de la bijection.
  2. Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x)=x^3+x. Montrer que f est bijective, tracer le graphe de f et de f^{-1}.
  3. Soit n \geq 1. Montrer que f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n définit une bijection de l’intervalle [0,1] vers un intervalle à préciser.
  4. Existe-t-il une fonction continue : f: [0,1[ \to ]0,1[ qui soit bijective ? f: [0,1[ \to ]0,1[ qui soit injective ? f: ]0,1[ \to [0,1] qui soit surjective ?
  5. Montrer que l’application f:x\in \mathbb{R}\longmapsto \frac{2x}{1+x^2} réalise une bijection d’un intervalle I dans lui même.
  6. Pour y \in \mathbb{R} on considère l’équation x + \exp x =y. Montrer qu’il existe une unique solution x. Comment varie y en fonction de x ? Comment varie x en fonction de y ?

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Chapitre 06 : Fonctions de la variable réelle, limites et continuité