Nombres réels et suites numériques
Chapitre 05
TSI 1re année — Chapitre 05. Borne supérieure et inférieure, inégalités, limites, convergence, suites adjacentes, suites extraites, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d’ordre 2.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Nombres réels
1.1 Propriétés fondamentales
Les nombres réels sont supposés connus ; on rappelle leurs propriétés fondamentales sans adopter un point de vue axiomatique.
Définition 1.1 — (Corps totalement ordonné)
\mathbb{R} est un corps commutatif totalement ordonné. On peut utiliser les quantificateurs pour formuler certaines propriétés des réels (notamment celles relatives à l’ordre) et obtenir leurs négations.
Exemple 1.1 — (Exemples de majoration et de minoration)
Exemples de majoration et de minoration de sommes, de produits et de quotients. Utilisation de factorisations et de tableaux de signes. Résolution d’inéquations.
Définition 1.2 — (Valeur absolue)
Soit x \in \mathbb{R}. La valeur absolue de x est définie par : |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}
Proposition 1.1 — (Inégalités triangulaires)
Soient x, y \in \mathbb{R}. Alors : \big||x| - |y|\big| \leq |x+y| \leq |x| + |y| Interprétation sur la droite réelle : |x-a| \leq \varepsilon signifie que x appartient à l’intervalle [a-\varepsilon, a+\varepsilon].
Proposition 1.2 — (Propriété d’Archimède)
\forall y \in \mathbb{R},\ \forall x > 0,\ \exists n \in \mathbb{N},\ nx > y En particulier, \forall y \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ n > y.
Définition 1.3 — (Partie entière)
Pour tout x \in \mathbb{R}, il existe un unique entier p \in \mathbb{Z} tel que p \leq x < p+1. Cet entier est appelé partie entière de x et noté \lfloor x \rfloor. Les approximations décimales à la précision 10^{-n} par défaut et par excès en découlent directement.
1.2 Majorant, minorant, borne supérieure et inférieure
Définition 1.4
Soit A une partie non vide de \mathbb{R}.
- A est majorée s’il existe M \in \mathbb{R} tel que \forall x \in A,\ x \leq M.
- A est minorée s’il existe m \in \mathbb{R} tel que \forall x \in A,\ m \leq x.
- Le plus grand élément (maximum) de A, s’il existe, est noté \max A.
- Le plus petit élément (minimum) de A, s’il existe, est noté \min A.
Une partie X de \mathbb{R} est un intervalle si, et seulement si, pour tous a, b \in X tels que a \leq b, on a [a,b] \subset X. Un segment est un intervalle admettant un plus petit et un plus grand élément.
Définition 1.5 — (Borne supérieure et inférieure)
Soit X une partie non vide de \mathbb{R}.
- La borne supérieure de X, notée \sup X, est le plus petit des majorants de X (si elle existe).
- La borne inférieure de X, notée \inf X, est le plus grand des minorants de X (si elle existe).
Théorème 1.1 — (Axiome de la borne supérieure)
Toute partie non vide majorée (resp. minorée) de \mathbb{R} admet une borne supérieure (resp. inférieure).
Ce résultat est admis.
Proposition 1.3 — (Caractérisation de la borne supérieure)
Soit X une partie non vide majorée de \mathbb{R} et \alpha \in \mathbb{R}. Alors : \sup X = \alpha \iff \begin{cases} \forall x \in X,\ x \leq \alpha \\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists x_\varepsilon \in X,\ \alpha - \varepsilon < x_\varepsilon \end{cases}
Exercice 1.1
Soit X une partie non vide majorée de \mathbb{R}. Montrer que si X admet un plus grand élément, alors \max X = \sup X.
2 Suites numériques
2.1 Mode de définition d’une suite
Définition 2.1
Une suite numérique (réelle ou complexe) est une famille (u_n)_{n \in \mathbb{N}} d’éléments de \mathbb{K} indexée par \mathbb{N}. Il s’agit d’une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{K}. Le terme u_n est appelé terme général de la suite.
On distingue trois modes de définition : - Explicite : u_n = f(n) pour une fonction f donnée. - Implicite : u_n est défini par une propriété. - Par récurrence : u_0 donné et u_{n+1} = f(u_n).
L’étude des suites récurrentes générales sera abordée après celle de la dérivation.
2.2 Opérations sur les suites
Proposition 2.1
On définit les opérations suivantes sur les suites : - Combinaison linéaire : (\alpha u + \beta v)_n = \alpha u_n + \beta v_n - Produit : (u \cdot v)_n = u_n \cdot v_n - Quotient : \left(\frac{u}{v}\right)_n = \frac{u_n}{v_n} (si v_n \neq 0)
2.3 Suite majorée, minorée, bornée, monotone
Définition 2.2
Soit (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle.
- (u_n) est majorée s’il existe M \in \mathbb{R} tel que \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq M.
- (u_n) est minorée s’il existe m \in \mathbb{R} tel que \forall n \in \mathbb{N},\ m \leq u_n.
- (u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire si la suite (|u_n|)_{n \in \mathbb{N}} est majorée.
- (u_n) est stationnaire s’il existe N \in \mathbb{N} tel que \forall n \geq N,\ u_n = u_N.
- (u_n) est croissante (resp. décroissante) si \forall n,\ u_n \leq u_{n+1} (resp. u_{n+1} \leq u_n).
- (u_n) est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si \forall n,\ u_n < u_{n+1} (resp. u_{n+1} < u_n).
- (u_n) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
2.4 Limite finie ou infinie d’une suite
Définition 2.3
Soit (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite à valeurs dans \mathbb{K} et \ell \in \mathbb{K}. On dit que (u_n) converge vers \ell, et on note \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell ou u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell, si : \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon On dit aussi que u_n tend vers \ell lorsque n tend vers +\infty.
On dit que (u_n) diverge vers +\infty (resp. vers -\infty) si : \forall M \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n \geq M \quad (\text{resp. } u_n \leq M)
Théorème 2.1 — (Unicité de la limite)
La limite d’une suite (finie ou infinie), si elle existe, est unique.
Proposition 2.2
Toute suite convergente est bornée.
Remarque. La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite de terme général u_n = (-1)^n.
2.5 Opérations sur les limites
Théorème 2.2 — (Opérations sur les limites)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles admettant des limites respectives \ell et \ell'.
- Si \ell et \ell' sont finies, alors pour tous \alpha, \beta \in \mathbb{R} : (\alpha u_n + \beta v_n) \to \alpha \ell + \beta \ell' et u_n v_n \to \ell \ell'. Si \ell \neq 0, alors \frac{1}{u_n} \to \frac{1}{\ell}.
- Si \ell = \pm\infty et \ell' \in \overline{\mathbb{R}} \setminus \{0\}, alors u_n v_n \to \pm\infty (règle des signes).
- Si \ell = \pm\infty, alors \frac{1}{u_n} \to 0.
Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle : le produit est de limite nulle.
Exemples de formes indéterminées : +\infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}.
Proposition 2.3 — (Stabilité des inégalités larges par passage à la limite)
Si u_n \leq v_n pour tout n assez grand et si (u_n) et (v_n) convergent vers \ell et \ell' respectivement, alors \ell \leq \ell'.
En particulier, si (u_n) converge vers \ell > 0, alors u_n > 0 à partir d’un certain rang. Plus précisément : u_n \in \left]\frac{\ell}{2}, \frac{3\ell}{2}\right[ pour n assez grand.
Théorème 2.3 — (Théorème de convergence par encadrement)
Soient (u_n), (v_n), (w_n) trois suites réelles telles que : 1. u_n \to \ell et w_n \to \ell ; 2. \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n \leq v_n \leq w_n.
Alors (v_n) converge vers \ell.
Théorème 2.4 — (Théorèmes de divergence par minoration ou majoration)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que : 1. (v_n) diverge vers +\infty (resp. vers -\infty) ; 2. \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ v_n \leq u_n (resp. u_n \leq v_n).
Alors (u_n) diverge vers +\infty (resp. vers -\infty).
Utilisation : une majoration de la forme |u_n - \ell| \leq v_n, où (v_n) converge vers 0, implique que (u_n) converge vers \ell.
Théorème 2.5 — (Théorème de la limite monotone)
Soit (u_n) une suite réelle croissante (resp. décroissante).
- Si (u_n) est majorée (resp. minorée), alors elle converge et : u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \sup\{u_n / n \in \mathbb{N}\} \quad \left(\text{resp. } \inf\{u_n / n \in \mathbb{N}\}\right)
- Si (u_n) est non majorée (resp. non minorée), alors elle diverge vers +\infty (resp. vers -\infty).
2.6 Théorème des suites adjacentes
Définition 2.4 — (Suites adjacentes)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si : 1. L’une est croissante et l’autre décroissante ; 2. v_n - u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0.
Théorème 2.6
Si (u_n) et (v_n) sont adjacentes (avec (u_n) croissante et (v_n) décroissante), alors : 1. (u_n) et (v_n) convergent vers la même limite \ell \in \mathbb{R} ; 2. \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq \ell \leq v_n.
L’intérêt algorithmique de cette notion réside dans la résolution approchée par dichotomie d’une équation du type f(x) = 0.
2.7 Suites extraites
Définition 2.5
Soit (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite. On appelle suite extraite (ou sous-suite) toute suite (v_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par v_n = u_{\varphi(n)} où \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} est strictement croissante.
Proposition 2.4
Si (u_n) possède une limite, toutes ses suites extraites possèdent la même limite.
En particulier, si (u_{2n}) et (u_{2n+1}) tendent vers \ell, alors (u_n) tend vers \ell.
Utilisation pour montrer la divergence : si deux suites extraites ont des limites différentes, la suite est divergente.
2.8 Suites arithmétiques et géométriques
Définition 2.6
On dit que (u_n) est une suite arithmétique de terme initial u_0 \in \mathbb{K} et de raison r \in \mathbb{K} si : \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n + r On dit que (u_n) est une suite géométrique de terme initial u_0 \in \mathbb{K} et de raison q \in \mathbb{K} si : \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = q u_n
Proposition 2.5
Si (u_n) est arithmétique de terme initial u_0 et de raison r, alors : \forall n \in \mathbb{N},\ u_n = u_0 + nr Si (u_n) est géométrique de terme initial u_0 et de raison q, alors : \forall n \in \mathbb{N},\ u_n = q^n u_0
Proposition 2.6 — (Sommes usuelles)
Pour n \in \mathbb{N}^* et q \in \mathbb{R} : \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \sum_{k=0}^n q^k = \begin{cases} n+1 & \text{si } q = 1 \\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si } q \neq 1 \end{cases}
2.9 Suites arithmético-géométriques
Définition 2.7
Pour les suites (u_n) vérifiant une relation de récurrence du type u_{n+1} = a u_n + b, où a \in \mathbb{C} \setminus \{1\} et b \in \mathbb{C}, on recherche une solution constante puis on détermine les solutions en se ramenant au cas d’une suite géométrique.
2.10 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Définition 2.8
Pour les suites (u_n) vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène d’ordre 2 du type u_{n+2} = \alpha u_{n+1} + \beta u_n, où (\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2, on recherche une solution de la forme (\lambda^n) puis on détermine les solutions en considérant la suite (u_{n+1} - \lambda u_n) pour se ramener au cas d’une suite géométrique. L’équation r^2 - \alpha r - \beta = 0 est appelée équation caractéristique.
Si \alpha et \beta sont réels, on décrit les solutions réelles.