Géométrie élémentaire du plan et de l’espace
Chapitre 04
TSI 1re année — Chapitre 04. Repères, coordonnées cartésiennes et polaires, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, droites, plans, cercles, sphères, transformations affines.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.
À l’issue de la classe terminale, les élèves connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien (de dimension 3) en tant qu’ensembles de points. Ils connaissent en particulier la façon d’associer à deux points A et B le vecteur \overrightarrow{AB} ainsi que les propriétés opératoires usuelles des vecteurs. Il s’agit ici de constater que l’ensemble des vecteurs du plan (resp. de l’espace) est muni d’une structure de plan vectoriel (resp. d’espace vectoriel de dimension 3) en l’identifiant à \mathbb{R}^2 (resp. à \mathbb{R}^3) par la donnée d’une base orthonormale.
Dans le plan et l’espace, les notions suivantes sont supposées connues : calcul vectoriel, distance euclidienne, orthogonalité, repère orthonormal, angles.
La géométrie joue un rôle essentiel en mathématiques et dans les disciplines scientifiques et technologiques ; elle est au cœur des compétences de modélisation et de représentation. Cette section est traitée en liaison avec les autres disciplines.
1 Cas du plan
Les notions d’orientation du plan et celle de base orthonormale directe sont admises.
1.1 Repères et coordonnées dans le plan
Définition 1.1
Soit O un point du plan et (\vec{e}_1, \vec{e}_2) une famille libre de vecteurs du plan. Le couple (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2) est appelé repère du plan. Tout point M du plan s’écrit de manière unique : \overrightarrow{OM} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 Le couple (x, y) est appelé coordonnées cartésiennes de M dans ce repère.
Définition 1.2
Un repère (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2) est dit : - orthogonal si \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 0 ; - orthonormé (ou orthonormal) si de plus \|\vec{e}_1\| = \|\vec{e}_2\| = 1 ; - orthonormé direct si de plus la base (\vec{e}_1, \vec{e}_2) est directe (c’est-à-dire que \vec{e}_2 est obtenu en faisant tourner \vec{e}_1 d’un angle +\frac{\pi}{2}).
Remarque. Le changement de repère est une technique fondamentale. Si (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2) et (O'; \vec{e}'_1, \vec{e}'_2) sont deux repères du plan, alors les coordonnées d’un point M dans les deux repères sont liées par une relation linéaire.
1.2 Coordonnées polaires
Définition 1.3
Soit (\vec{e}_1, \vec{e}_2) la base canonique de \mathbb{R}^2 et \theta \in \mathbb{R}. Le repère polaire (\vec{u}(\theta), \vec{v}(\theta)) du plan euclidien \mathbb{R}^2 est défini par : \vec{u}(\theta) = (\cos\theta)\vec{e}_1 + (\sin\theta)\vec{e}_2 \quad ; \quad \vec{v}(\theta) = -(\sin\theta)\vec{e}_1 + (\cos\theta)\vec{e}_2
Définition 1.4
Soit M un point du plan muni d’un repère orthonormé direct (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2). Les coordonnées polaires de M sont le couple (\rho, \theta) où : - \rho = OM = \|\overrightarrow{OM}\| \geq 0 est la distance de M à O ; - \theta est une mesure de l’angle (\vec{e}_1, \overrightarrow{OM}).
Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes est donné par : \boxed{\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}}
Réciproquement, si (x, y) \neq (0, 0) : \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \quad ; \quad \cos\theta = \frac{x}{\rho} \quad ; \quad \sin\theta = \frac{y}{\rho}
Exemple 1.1
Le point M de coordonnées polaires \left(2, \frac{\pi}{3}\right) a pour coordonnées cartésiennes : x = 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \quad ; \quad y = 2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} Donc M a pour coordonnées cartésiennes (1, \sqrt{3}).
Exercice 1.1
Déterminer les coordonnées polaires du point M(1, -\sqrt{3}).
Solution. On a \rho = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2. De plus, \cos\theta = \frac{1}{2} et \sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}, donc \theta = -\frac{\pi}{3}\ [2\pi]. Les coordonnées polaires de M sont \left(2, -\frac{\pi}{3}\right).
1.3 Systèmes de points pondérés et barycentres
Définition 1.5
Soient A_1, A_2, \ldots, A_n des points du plan et \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n des réels tels que \sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0. Le couple \{(A_i, \alpha_i)\}_{1 \leq i \leq n} est appelé système de points pondérés. Le point G défini par : \overrightarrow{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n \alpha_i} \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{OA_i} (où O est un point quelconque du plan) est appelé barycentre du système. Ce point est indépendant du choix de O.
Remarque.
- Si tous les coefficients sont égaux (\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n), le barycentre est appelé isobarycentre.
- L’isobarycentre de deux points est leur milieu.
- L’isobarycentre de trois points est le centre de gravité du triangle.
Proposition 1.1
Les coordonnées du barycentre G dans un repère du plan sont : \boxed{x_G = \frac{\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i}{\sum_{i=1}^n \alpha_i} \quad ; \quad y_G = \frac{\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i}{\sum_{i=1}^n \alpha_i}}
Exemple 1.2
L’isobarycentre de deux points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) est le milieu M de [AB] : x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}
1.4 Produit scalaire dans le plan
Définition 1.6 — (Définition géométrique)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de \vec{u} et \vec{v} est défini par : \vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{cases} \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) & \text{si } \vec{u} \neq \vec{0} \text{ et } \vec{v} \neq \vec{0} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
Remarque. Le produit scalaire peut être interprété en termes de projection orthogonale : si \vec{u} \neq \vec{0}, alors \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \overline{OH} où H est le projeté orthogonal de l’extrémité de \vec{v} sur la droite dirigée par \vec{u}.
Proposition 1.2 — (Propriétés du produit scalaire)
Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes : 1. Symétrie : \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} 2. Bilinéarité : pour tous \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout \lambda \in \mathbb{R} : (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} \quad ; \quad (\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v}) 3. Positivité : \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0 avec égalité ssi \vec{u} = \vec{0}
Proposition 1.3 — (Expression dans une base orthonormée directe)
Dans une base orthonormée directe (\vec{e}_1, \vec{e}_2), si \vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 et \vec{v} = x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2, alors : \boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'}
Définition 1.7
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dits orthogonaux si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. On note \vec{u} \perp \vec{v}.
Exemple 1.3
Les vecteurs \vec{u} = 3\vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 et \vec{v} = -4\vec{e}_1 + 6\vec{e}_2 sont orthogonaux car : \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 2 \times 6 = -12 + 12 = 0
Exercice 1.2
Déterminer une mesure de l’angle non orienté entre les vecteurs \vec{u} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 et \vec{v} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2.
Solution. On a \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 0. Donc les vecteurs sont orthogonaux et l’angle entre eux est \frac{\pi}{2}.
1.5 Déterminant de deux vecteurs dans le plan
Définition 1.8 — (Déterminant dans une b.o.n.d.)
Dans une base orthonormée directe (\vec{e}_1, \vec{e}_2), le déterminant de deux vecteurs \vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 et \vec{v} = x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2 est défini par : [\vec{u}, \vec{v}] = \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y
Proposition 1.4 — (Propriétés du déterminant)
Le déterminant vérifie les propriétés suivantes : 1. Bilinéarité : [\vec{u} + \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{u}, \vec{w}] + [\vec{v}, \vec{w}] et [\lambda \vec{u}, \vec{v}] = \lambda [\vec{u}, \vec{v}] 2. Antisymétrie : [\vec{u}, \vec{v}] = -[\vec{v}, \vec{u}] 3. [\vec{u}, \vec{v}] = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) si \vec{u} et \vec{v} sont non nuls ; sinon [\vec{u}, \vec{v}] = 0
Proposition 1.5 — (Caractérisation de la colinéarité)
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si et seulement si : [\vec{u}, \vec{v}] = 0
Remarque. La valeur absolue |[\vec{u}, \vec{v}]| représente l’aire géométrique du parallélogramme construit sur \vec{u} et \vec{v}. Le déterminant [\vec{u}, \vec{v}] lui-même est l’aire algébrique (orientée) de ce parallélogramme.
Exemple 1.4
Soient \vec{u} = 2\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2 et \vec{v} = -1\vec{e}_1 + 4\vec{e}_2. Alors : [\vec{u}, \vec{v}] = 2 \times 4 - (-1) \times 3 = 8 + 3 = 11 L’aire du parallélogramme construit sur \vec{u} et \vec{v} est 11.
1.6 Droites du plan
Définition 1.9
Une droite \mathcal{D} du plan est définie par : - un point A et un vecteur directeur \vec{u} \neq \vec{0} : \mathcal{D} = \{M \mid \overrightarrow{AM} = t\vec{u},\ t \in \mathbb{R}\} ; - ou par une équation cartésienne : ax + by + c = 0 avec (a, b) \neq (0, 0).
Proposition 1.6
Soit \mathcal{D} la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0. Alors : - un vecteur directeur de \mathcal{D} est \vec{u} = -b\vec{e}_1 + a\vec{e}_2 ; - un vecteur normal à \mathcal{D} est \vec{n} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2.
Proposition 1.7 — (Intersection de deux droites)
Soient \mathcal{D}_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 et \mathcal{D}_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 deux droites du plan. - Si a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0, les droites sont sécantes en un unique point. - Si a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 et les équations ne sont pas proportionnelles, les droites sont parallèles. - Si les équations sont proportionnelles, les droites sont confondues.
Exemple 1.5
Les droites \mathcal{D}_1 : 2x + y - 1 = 0 et \mathcal{D}_2 : x - 3y + 2 = 0 sont sécantes car 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -7 \neq 0. Leur point d’intersection est la solution du système : \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 3y = -2 \end{cases} On trouve x = \frac{1}{7} et y = \frac{5}{7}.
Proposition 1.8 — (Projeté orthogonal et distance)
Soit \mathcal{D} : ax + by + c = 0 une droite du plan et M(x_0, y_0) un point. - Le projeté orthogonal de M sur \mathcal{D} est le point H de \mathcal{D} tel que \overrightarrow{MH} \perp \mathcal{D}. - La distance de M à \mathcal{D} est : \boxed{d(M, \mathcal{D}) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}
Exemple 1.6
La distance du point M(1, 2) à la droite \mathcal{D} : 3x + 4y - 5 = 0 est : d(M, \mathcal{D}) = \frac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 5|}{5} = \frac{6}{5}
1.7 Cercles du plan
Définition 1.10
Le cercle \mathscr{C} de centre \Omega(a, b) et de rayon r > 0 est l’ensemble des points M(x, y) tels que : \boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}
Proposition 1.9 — (Équation générale d’un cercle)
Une équation de la forme x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0 représente un cercle si et seulement si \alpha^2 + \beta^2 - 4\gamma > 0. Dans ce cas, le centre est \Omega\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}\right) et le rayon est r = \frac{1}{2}\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - 4\gamma}.
Exemple 1.7
L’équation x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 représente un cercle. On a : \alpha = -4,\ \beta = 6,\ \gamma = -12 Centre : \Omega\left(\frac{4}{2}, -\frac{6}{2}\right) = (2, -3). Rayon : r = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 36 + 48} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5.
Proposition 1.10 — (Représentation paramétrique d’un cercle)
Le cercle de centre \Omega(a, b) et de rayon r admet pour représentation paramétrique : \begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases} \quad \theta \in [0, 2\pi[
Exercice 1.3
Donner l’équation du cercle de centre \Omega(1, -2) passant par le point A(4, 2).
Solution. Le rayon est r = \Omega A = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. L’équation du cercle est : (x-1)^2 + (y+2)^2 = 25, soit x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0.
1.8 Transformations affines du plan
Définition 1.11 — (Translation)
Soit \vec{u} un vecteur du plan. La translation de vecteur \vec{u} est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que \overrightarrow{MM'} = \vec{u}. En coordonnées : si M(x, y) alors M'(x + u_1, y + u_2) où \vec{u} = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2.
Définition 1.12 — (Rotation)
Soit \Omega un point du plan et \theta \in \mathbb{R}. La rotation de centre \Omega et d’angle \theta est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que : \Omega M' = \Omega M \quad \text{et} \quad (\widehat{\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}}) = \theta
Définition 1.13 — (Homothétie)
Soit \Omega un point du plan et \lambda \in \mathbb{R}^*. L’homothétie de centre \Omega et de rapport \lambda est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que : \overrightarrow{\Omega M'} = \lambda \overrightarrow{\Omega M}
Définition 1.14 — (Réflexion)
Soit \mathcal{D} une droite du plan. La réflexion d’axe \mathcal{D} est la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que \mathcal{D} soit la médiatrice de [MM'].
Remarque. Les élèves doivent connaître divers modes de représentation de ces transformations : modes géométrique et analytique. Ces transformations sont des transformations affines, c’est-à-dire qu’elles conservent l’alignement et le barycentre.
2 Cas de l’espace
La notion d’orientation de l’espace et celle de base orthonormale directe sont admises.
2.1 Repères et coordonnées dans l’espace
Définition 2.1
Soit O un point de l’espace et (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) une famille libre de vecteurs de l’espace. Le triplet (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) est appelé repère de l’espace. Tout point M s’écrit de manière unique : \overrightarrow{OM} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3 Le triplet (x, y, z) est appelé coordonnées cartésiennes de M.
Définition 2.2
Un repère (O; \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) est dit : - orthogonal si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux ; - orthonormé si de plus \|\vec{e}_1\| = \|\vec{e}_2\| = \|\vec{e}_3\| = 1 ; - orthonormé direct si de plus la base est directe.
Remarque. On peut introduire le vocabulaire relatif à l’algèbre linéaire : famille libre, famille liée, vecteurs linéairement indépendants, vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires.
2.2 Produit scalaire dans l’espace
Définition 2.3 — (Définition géométrique)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire est défini par : \vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{cases} \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) & \text{si } \vec{u} \neq \vec{0} \text{ et } \vec{v} \neq \vec{0} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
Proposition 2.1 — (Propriétés)
Le produit scalaire dans l’espace vérifie les mêmes propriétés que dans le plan : symétrie, bilinéarité, positivité.
Proposition 2.2 — (Expression dans une base orthonormée)
Dans une base orthonormée (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3), si \vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3 et \vec{v} = x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2 + z'\vec{e}_3, alors : \boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'}
2.3 Produit vectoriel dans l’espace
Définition 2.4 — (Définition géométrique)
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel de \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u} \wedge \vec{v} ou \vec{u} \times \vec{v}, est défini par : - si \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires : \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} ; - sinon : \vec{u} \wedge \vec{v} est le vecteur de norme \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})|, orthogonal à la fois à \vec{u} et \vec{v}, et tel que la base (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v}) soit directe.
Proposition 2.3 — (Propriétés du produit vectoriel)
- Bilinéarité : (\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w} et (\lambda \vec{u}) \wedge \vec{v} = \lambda (\vec{u} \wedge \vec{v})
- Antisymétrie : \vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}
- \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} si et seulement si \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires
Proposition 2.4 — (Expression dans une b.o.n.d.)
Dans une base orthonormée directe (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3), si \vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3 et \vec{v} = x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2 + z'\vec{e}_3, alors : \boxed{\vec{u} \wedge \vec{v} = (yz' - z'y)\vec{e}_1 + (zx' - xz')\vec{e}_2 + (xy' - yx')\vec{e}_3}
Exemple 2.1
Soient \vec{u} = \vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 + 3\vec{e}_3 et \vec{v} = 4\vec{e}_1 + 5\vec{e}_2 + 6\vec{e}_3. Alors : \vec{u} \wedge \vec{v} = (2 \times 6 - 3 \times 5)\vec{e}_1 + (3 \times 4 - 1 \times 6)\vec{e}_2 + (1 \times 5 - 2 \times 4)\vec{e}_3 = -3\vec{e}_1 + 6\vec{e}_2 - 3\vec{e}_3
Exercice 2.1
Montrer que les vecteurs \vec{u} = 2\vec{e}_1 - \vec{e}_2 + \vec{e}_3 et \vec{v} = -4\vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 - 2\vec{e}_3 sont colinéaires.
Solution. On constate que \vec{v} = -2\vec{u}, donc \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires. On peut aussi vérifier que \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} : \vec{u} \wedge \vec{v} = ((-1)(-2) - (1)(2))\vec{e}_1 + ((1)(-4) - (2)(-2))\vec{e}_2 + ((2)(2) - (-1)(-4))\vec{e}_3 = 0\vec{e}_1 + 0\vec{e}_2 + 0\vec{e}_3 = \vec{0}
2.4 Produit mixte dans l’espace
Définition 2.5
Soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs de l’espace. Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par : [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}
Remarque. La valeur absolue |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| représente le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w}.
Proposition 2.5 — (Propriétés du produit mixte)
- Trilinéarité : le produit mixte est linéaire par rapport à chacune de ses trois variables.
- Antisymétrie : [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = -[\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}] = -[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}]
- [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 si et seulement si \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires.
Proposition 2.6 — (Expression dans une b.o.n.d.)
Dans une base orthonormée directe (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3), si \vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3, \vec{v} = x'\vec{e}_1 + y'\vec{e}_2 + z'\vec{e}_3 et \vec{w} = x''\vec{e}_1 + y''\vec{e}_2 + z''\vec{e}_3, alors : [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix}
Exemple 2.2
Les vecteurs \vec{u} = \vec{e}_1, \vec{v} = \vec{e}_2 et \vec{w} = \vec{e}_3 sont coplanaires si et seulement si : [\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3] = 1 \neq 0 Donc ils ne sont pas coplanaires (ce qui est cohérent avec le fait qu’ils forment une base).
Exercice 2.2
Montrer que les vecteurs \vec{u} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2, \vec{v} = \vec{e}_2 + \vec{e}_3 et \vec{w} = \vec{e}_1 + \vec{e}_3 ne sont pas coplanaires.
Solution. On calcule le produit mixte : [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 0 + 1(1 - 0) = 1 + 1 = 2 \neq 0 Donc les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
2.5 Plans de l’espace
Définition 2.6
Un plan \mathcal{P} de l’espace peut être défini par : - un point A et deux vecteurs non colinéaires \vec{u} et \vec{v} : \mathcal{P} = \{M \mid \overrightarrow{AM} = t\vec{u} + s\vec{v},\ (t, s) \in \mathbb{R}^2\} (représentation paramétrique) ; - un point A et un vecteur normal \vec{n} \neq \vec{0} : \mathcal{P} = \{M \mid \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\} ; - trois points non alignés.
Proposition 2.7 — (Équation cartésienne d’un plan)
Un plan de vecteur normal \vec{n} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3 passant par A(x_A, y_A, z_A) a pour équation cartésienne : \boxed{a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0} soit ax + by + cz + d = 0 avec d = -(ax_A + by_A + cz_A).
Exemple 2.3
Le plan passant par A(1, 2, 3) et de vecteur normal \vec{n} = 2\vec{e}_1 - \vec{e}_2 + 3\vec{e}_3 a pour équation : 2(x - 1) - (y - 2) + 3(z - 3) = 0 \iff 2x - y + 3z - 9 = 0
Proposition 2.8 — (Projeté orthogonal et distance à un plan)
Soit \mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0 un plan de l’espace et M(x_0, y_0, z_0) un point. - Le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P} est le point H de \mathcal{P} tel que \overrightarrow{MH} \perp \mathcal{P}. - La distance de M à \mathcal{P} est : \boxed{d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}
Exemple 2.4
La distance du point M(1, 0, 2) au plan \mathcal{P} : x + 2y - z + 3 = 0 est : d(M, \mathcal{P}) = \frac{|1 + 0 - 2 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
2.6 Droites de l’espace
Définition 2.7
Une droite \mathcal{D} de l’espace peut être définie par : - un point A et un vecteur directeur \vec{u} \neq \vec{0} : \mathcal{D} = \{M \mid \overrightarrow{AM} = t\vec{u},\ t \in \mathbb{R}\} ; - deux points distincts A et B ; - l’intersection de deux plans non parallèles.
Proposition 2.9 — (Représentation paramétrique d’une droite)
La droite passant par A(x_A, y_A, z_A) et dirigée par \vec{u} = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2 + u_3 \vec{e}_3 a pour représentation paramétrique : \begin{cases} x = x_A + t u_1 \\ y = y_A + t u_2 \\ z = z_A + t u_3 \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}
Proposition 2.10 — (Intersection de deux plans)
Soient \mathcal{P}_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 et \mathcal{P}_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 deux plans non parallèles. Leur intersection est une droite \mathcal{D}. Un vecteur directeur de \mathcal{D} est \vec{u} = \vec{n}_1 \wedge \vec{n}_2 où \vec{n}_1 et \vec{n}_2 sont des vecteurs normaux respectifs à \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2.
Exemple 2.5
Soient \mathcal{P}_1 : x + y + z = 1 et \mathcal{P}_2 : x - y + z = 0. Les vecteurs normaux sont \vec{n}_1 = (1, 1, 1) et \vec{n}_2 = (1, -1, 1). Un vecteur directeur de la droite d’intersection est : \vec{u} = \vec{n}_1 \wedge \vec{n}_2 = (1 \times 1 - 1 \times (-1), 1 \times 1 - 1 \times 1, 1 \times (-1) - 1 \times 1) = (2, 0, -2)
Proposition 2.11 — (Distance d’un point à une droite)
Soit \mathcal{D} une droite de l’espace passant par A et dirigée par \vec{u}. La distance d’un point M à \mathcal{D} est : \boxed{d(M, \mathcal{D}) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}}
Exemple 2.6
La distance du point M(1, 2, 3) à la droite \mathcal{D} passant par A(0, 0, 0) et dirigée par \vec{u} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 est : \overrightarrow{AM} = \vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 + 3\vec{e}_3 \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = (2 - 3)\vec{e}_1 + (3 - 1)\vec{e}_2 + (1 - 2)\vec{e}_3 = -\vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 - \vec{e}_3 d(M, \mathcal{D}) = \frac{\sqrt{1 + 4 + 1}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}
2.7 Sphères
Définition 2.8
La sphère \mathscr{S} de centre \Omega(a, b, c) et de rayon r > 0 est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que : \boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2}
Proposition 2.12 — (Équation générale d’une sphère)
Une équation de la forme x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 représente une sphère si et seulement si \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 4\delta > 0. Dans ce cas, le centre est \Omega\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, -\frac{\gamma}{2}\right) et le rayon est r = \frac{1}{2}\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 4\delta}.
Exemple 2.7
L’équation x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 représente une sphère. On a : \alpha = -2,\ \beta = 4,\ \gamma = -6,\ \delta = 5 Centre : \Omega(1, -2, 3). Rayon : r = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 36 - 20} = \frac{1}{2}\sqrt{34}.
Proposition 2.13 — (Intersection d’une sphère et d’un plan)
L’intersection d’une sphère et d’un plan est : - vide si la distance du centre de la sphère au plan est strictement supérieure au rayon ; - un point (plan tangent) si cette distance est égale au rayon ; - un cercle si cette distance est strictement inférieure au rayon.
Exemple 2.8
La sphère \mathscr{S} : x^2 + y^2 + z^2 = 4 (centre O, rayon 2) et le plan \mathcal{P} : z = 1 ont une intersection qui est un cercle. En effet, la distance de O à \mathcal{P} est 1 < 2. L’intersection est le cercle de centre (0, 0, 1) et de rayon \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.
Exercice 2.3
Donner l’équation de la sphère de centre \Omega(1, -1, 2) passant par le point A(3, 0, 4).
Solution. Le rayon est r = \Omega A = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-1))^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3. L’équation de la sphère est : (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 9, soit x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 4z - 3 = 0.