Compléments de calcul algébrique

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

21 août 2026

TSI (1re année) — Chapitre 03. Sommes et produits finis, factorielles, coefficients binomiaux, binôme de Newton, systèmes linéaires en petite dimension, pivot de Gauss.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.

1 Sommes et produits finis

1.1 Propriétés des sommes finies

Proposition 1.1

Soit (u_k)_{k\in \mathbb{N}} et (v_k)_{k\in \mathbb{N}} deux suites de nombres complexes, (p,q)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q et \lambda \in \mathbb{C}. Alors on a :

  1. \sum_{k=p}^q(u_k+v_k)=\sum_{k=p}^q u_k+\sum_{k=p}^q v_k
  2. \sum_{k=p}^q\lambda u_k =\lambda \sum_{k=p}^qu_k
NoteChangement d’indice

Soit (u_k)_{k\in \mathbb{N}} une suite de nombres complexes. On peut procéder à un changement d’indice pour deux types de raison.

  1. Si l’on veut changer l’indice dans les termes à sommer. Par exemple, \sum_{k=p}^qu_{k+1}=\sum_{l=p+1}^{q+1}u_l en posant l = k + 1 dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre p + 1 et q + 1. Ou encore, \sum_{k=0}^nu_{n-k}=\sum_{l=0}^nu_l en posant l = n - k dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre 0 et n.

  2. Si l’on veut changer les bornes de la somme. Par exemple, \sum_{k=2}^{n+2}u_k=\sum_{l=0}^nu_{l+2} en posant l = k-2 de telle sorte que les bornes soient 0 et n et en changeant les indices des termes de la somme en remarquant que k = l + 2.

Exemple 1.1 — (Calcul de la somme \boldsymbol{S_1=\sum_{k=1}^nk})

\begin{aligned} S_1=2S_1-S_1&=2\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^nk =2\sum_{k=1}^nk-\sum_{l=1}^n(n+1-l)\ \ \ (\text{changement d'indice : } l=n+1-k)\\ &= 2\sum_{k=1}^nk-\sum_{l=1}^n(n+1)+\sum_{l=1}^nl = 3S_1-n(n+1) \end{aligned}

D’où : \boxed{S_1=\dfrac{n(n+1)}{2}}

Exemple 1.2

Calculons la somme S=\sum_{k=0}^n\cos^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right) en effectuant le changement d’indice l=n-k :

\begin{aligned} S&=\sum_{l=0}^n\cos^2\left(\frac{(n-l)\pi}{2n}\right)\\ &=\sum_{l=0}^n\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{l\pi}{2n}\right)\\ &= \sum_{l=0}^n\sin^2\left(\frac{l\pi}{2n}\right) \end{aligned}

Donc 2S=\sum_{k=0}^n\cos^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right)+\sum_{k=0}^n\sin^2\left(\frac{k\pi}{2n}\right)=n+1, d’où S=\dfrac{n+1}{2}.

1.2 Sommes télescopiques

Définition 1.1

On appelle somme télescopique toute somme de la forme : \sum_{k=p}^q(u_{k+1}-u_k)=u_{q+1}-u_p avec (u_k)_{k\in \mathbb{N}} une suite de nombres complexes et (p,q)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q.

Exemple 1.3

Calculons la somme \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} avec n\in \mathbb{N}^* :

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ &= -\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\right)\\ &= -\left(\frac{1}{n+1}-1\right) \ \ \ \ \left(u_k=\frac{1}{k}\right)\\ &= 1-\frac{1}{n+1} \end{aligned}

Exemple 1.4

Calculons la somme \sum_{k=1}^nk\cdot 2^k avec n\in \mathbb{N}^* :

Si on pose u_k=k\cdot 2^k alors u_{k+1}-u_k=k\cdot 2^k+2^{k+1}, donc :

(n+1)2^{n+1}-2=u_{n+1}-u_1=\sum_{k=1}^n(u_{k+1}-u_k)=\sum_{k=1}^nk\cdot 2^k+\sum_{k=1}^n2^{k+1}

Donc :

\begin{aligned} \sum_{k=1}^nk\cdot 2^k&=(n+1)2^{n+1}-2-\sum_{k=1}^n2^{k+1}\\ &=(n+1)2^{n+1}-2-4\sum_{k=0}^{n-1}2^k\\ &=(n+1)2^{n+1}-2-4\times \frac{1-2^n}{1-2}\\ &=(n+1)2^{n+1}-2-4(2^n-1)\\ &=(n-1)2^{n+1}+2 \end{aligned}

Exemple 1.5

Calculons la somme \sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} :

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\cdot\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\\ &= \sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+1)}}\\ &= \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\ &= -\left(\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{\sqrt{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{k}}\right)\right)\\ &= -\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}-1\right)\\ &= 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{aligned}

1.3 Factorisation de a^n-b^n

NoteFactorisation de a^n-b^n

Soit (a,b)\in \mathbb{C}^2 et n\in \mathbb{N}^*. Il s’agit de prouver que : \boxed{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}}

On a (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(a^{k+1}b^{n-1-k}-a^kb^{n-k}\right). Si on pose u_k=a^kb^{n-k} alors u_{k+1}=a^{k+1}b^{n-1-k}. Il s’agit donc d’une somme télescopique et donc :

(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}=u_n-u_0=a^n-b^n

D’où le résultat.

1.4 Sommes usuelles

Exercice 1.1 — (Calcul des sommes \boldsymbol{S_j=\sum_{k=1}^nk^j (j=1,2,3)})

On sait que \boxed{S_1=\frac{n(n+1)}{2}}.

  1. Écrire n^3-0^3 sous forme de somme télescopique
  2. À l’aide de cette somme télescopique calculer la somme S_2=\sum_{k=1}^nk^2
  3. Utiliser la même méthode pour calculer la somme S_3=\sum_{k=1}^nk^3

Solution.

  1. Écrivons n^3-0^3 sous forme de somme télescopique : n^3-0^3=\sum_{k=1}^n(k^3-(k-1)^3)

  2. Calculons la somme S_2=\sum_{k=1}^nk^2 :

n^3=\sum_{k=1}^n(k^3-(k-1)^3)=\sum_{k=1}^n(3k^2-3k+1)=3\sum_{k=1}^nk^2-3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1

Donc :

\begin{aligned} 3\sum_{k=1}^nk^2&=n^3+3\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1=n^3+3\frac{n(n+1)}{2}-n\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \end{aligned}

D’où : \boxed{S_2=\sum_{k=1}^nk^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}

  1. Adoptons la même méthode pour calculer la somme S_3=\sum_{k=1}^nk^3 :

n^4=\sum_{k=1}^n(k^4-(k-1)^4)=4\sum_{k=1}^nk^3-6\sum_{k=1}^nk^2+4\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1

Donc :

\begin{aligned} 4\sum_{k=1}^nk^3&=n^4+6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\frac{n(n+1)}{2}+n\\ &=n(n+1)(n^2+n) \end{aligned}

D’où : \boxed{S_3=\sum_{k=1}^nk^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}

1.5 Somme géométrique

Proposition 1.2

Soit q\in \mathbb{C}. Alors on a : \sum_{k=0}^nq^k=\begin{cases}n+1,\text{ si } q=1\\\frac{1-q^{n+1}}{1-q},\text{ sinon}\end{cases}

2 Produits finis

2.1 Propriétés des produits finis

Proposition 2.1

Soit (u_k)_{k\in \mathbb{N}} et (v_k)_{k\in \mathbb{N}} deux suites de nombres complexes, (p,q)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q, \lambda \in \mathbb{C} et \alpha \in \mathbb{R}. Alors on a :

  1. \prod_{k=p}^q(u_k\times v_k)=\prod_{k=p}^q u_k\times \prod_{k=p}^q v_k

  2. \prod_{k=p}^q u_k^{\alpha} = \left(\prod_{k=p}^qu_k\right)^{\alpha}

    avec les u_k sont des réels strictement positifs et \alpha un réel quelconque ou les u_k sont des nombres complexes quelconques et \alpha un entier naturel

  3. \prod_{k=p}^q \lambda u_k = \lambda^{q-p+1}\prod_{k=p}^qu_k

2.2 Produits télescopiques

Définition 2.1

On appelle produit télescopique tout produit de la forme : \prod_{k=p}^q\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{u_{q+1}}{u_p} avec (u_k)_{k\in \mathbb{N}} une suite de nombres complexes non nuls et (p,q)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q.

Exemple 2.1

Calculons le produit \prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right) avec n\in \mathbb{N}^* :

\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)=\prod_{k=1}^n\frac{k+1}{k}=\frac{n+1}{1}=n+1 \ \ \ \ \left(u_k=k\right)

Exemple 2.2

Calculons le produit \prod_{k=0}^n\frac{2k-1}{2k+1} avec n\in \mathbb{N} :

\prod_{k=0}^n\frac{2k-1}{2k+1}=\left(\prod_{k=0}^n\frac{2k+1}{2k-1}\right)^{-1}=\left(\frac{2n+1}{-1}\right)^{-1}=\frac{-1}{2n+1} \ \ \ \ \left(u_k=2k-1\right)

Exemple 2.3

Calculons le produit \prod_{k=0}^n\left(1-\tan^2\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)\right) :

\begin{aligned} \prod_{k=0}^n\left(1-\tan^2\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)\right)&=\prod_{k=0}^n\frac{1-\tan^2\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)}{2\tan\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)}\times 2\tan\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)\\ &= \prod_{k=0}^n\frac{2\tan\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)}{\tan\left(\frac{2^{k+1}\pi}{2^n+1}\right)}\\ &= 2^{n+1}\left(\prod_{k=0}^n\frac{\tan\left(\frac{2^{k+1}\pi}{2^n+1}\right)}{\tan\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)}\right)^{-1}\\ &=2^{n+1}\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2^n+1}\right)}{\tan\left(\frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1}\right)} \end{aligned}

où u_k=\tan\left(\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right).

3 Sommes doubles — Produit de deux sommes finies

Proposition 3.1

Soit (u_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2} et (v_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^2} deux suites doubles de nombres complexes, (p,q),(r,s)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q et r\leq s, et \lambda \in \mathbb{C}. Alors on a :

  1. \sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}}u_{ij}=\sum_{i=p}^q\sum_{j=r}^su_{ij}=\sum_{j=r}^s\sum_{i=p}^qu_{ij}
  2. \sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}}(u_{ij}+v_{ij})=\sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}} u_{ij}+\sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}} v_{ij}
  3. \sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}}\lambda u_{ij} =\lambda \sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}} u_{ij}

Remarque. On ne peut pas intervertir les sommes (c’est-à-dire la propriété 1)) si les indices i et j sont liés par une relation. Par exemple, on ne peut pas intervertir dans la somme double suivante : \sum_{1\leq i\leq j\leq n}u_{ij}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nu_{ij}\ \ \ \left(\neq \sum_{j=i}^n\sum_{i=1}^nu_{ij} \text{ écriture fausse}\right)

Exemple 3.1

Calculons la somme double \sum_{\stackrel{0\leq i\leq n}{1\leq j\leq 2n}}j2^i :

\sum_{\stackrel{0\leq i\leq n}{1\leq j\leq 2n}}j2^i=\sum_{j=1}^{2n}j\sum_{i=0}^n2^i=\sum_{j=1}^{2n}j\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=(2^{n+1}-1)\frac{2n(2n+1)}{2}= n(2n+1)(2^{n+1}-1)

Exemple 3.2

Calculons la somme \sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j| avec n\in \mathbb{N}^* :

\begin{aligned} \sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|&=\sum_{1\leq i<j\leq n}(j-i)+\sum_{1\leq i>j\leq n}(i-j)\\ &= 2\sum_{j=2}^n\sum_{i=1}^{j-1}(j-i)\\ &= 2\sum_{j=2}^nj(j-1)-2\sum_{j=2}^n\frac{j(j-1)}{2}\\ &= \sum_{j=2}^nj(j-1)\\ &= \sum_{j=2}^nj^2-\sum_{j=2}^nj\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1-\frac{n(n+1)}{2}+1\\ &= \frac{n(n-1)(n+1)}{3} \end{aligned}

Proposition 3.2 — (Produit de deux sommes finies)

Soit (u_k)_{k\in \mathbb{N}} et (v_k)_{k\in \mathbb{N}} deux suites de nombres complexes, (p,q),(r,s)\in \mathbb{N}^2 tel que p\leq q et r\leq s. Alors on a :

  1. \sum_{\stackrel{p\leq i\leq q}{r\leq j\leq s}}u_iv_j=\left(\sum_{i=p}^qu_i\right)\left(\sum_{j=r}^sv_j\right)
  2. Cas particulier : \left(\sum_{i=p}^qu_i\right)^2=\sum_{p\leq i,j\leq q}u_iu_j=\sum_{i=p}^qu_i^2+2\sum_{p\leq i<j\leq q}u_iu_j

Exemple 3.3

Calculons la somme \sum_{1\leq i,j\leq n}(i+j)^2 avec n\in \mathbb{N}^* :

\begin{aligned} \sum_{1\leq i,j\leq n}(i+j)^2&=\sum_{1\leq i,j\leq n}(i^2+2ij+j^2)\\ &= 2\left(\sum_{1\leq i,j\leq n}i^2+\sum_{1\leq i,j\leq n}ij\right)\\ &= 2\left(n\sum_{i=1}^ni^2+\left(\sum_{i=1}^ni\right)^2\right)\\ &=2\left(\frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}+\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\right)\\ &=\frac{n^2(n+1)(7n+5)}{6} \end{aligned}

4 Factorielles et coefficients binomiaux

Définition 4.1

Soit n\in\mathbb{N}. On définit n factorielle par : n!=1\times 2\times \cdots \times n =\prod_{k=1}^nk avec la convention 0!=1.

Soit (n,p)\in \mathbb{N}^2 tel que 0\leq p\leq n. On définit le coefficient binomial par : \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} avec la convention \binom{n}{p}=0 pour p<0 et p>n.

Proposition 4.1

  1. \binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}
  2. \binom{n}{p}=\frac{p+1}{n+1}\binom{n+1}{p+1}
  3. Relation de Pascal : \binom{n+1}{p}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p-1} (pour 1\leq p\leq n)

Proposition 4.2 — (Formule du binôme de Newton)

Soit (a,b)\in \mathbb{C}^2 et n\in \mathbb{N}. Alors on a : (a+b)^n=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^pb^{n-p}

Preuve. Démonstration par récurrence sur n.

Initialisation : Pour n=0, (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0. Vrai.

Hérédité : Supposons la formule vraie au rang n. Alors :

\begin{aligned} (a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^pb^{n-p}\\ &=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^{p+1}b^{n-p}+\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^pb^{n-p+1}\\ &=\sum_{p=1}^{n+1}\binom{n}{p-1}a^{p}b^{n+1-p}+\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^pb^{n+1-p}\\ &=a^{n+1}+\sum_{p=1}^{n}\left[\binom{n}{p-1}+\binom{n}{p}\right]a^pb^{n+1-p}+b^{n+1}\\ &=a^{n+1}+\sum_{p=1}^{n}\binom{n+1}{p}a^pb^{n+1-p}+b^{n+1}\\ &=\sum_{p=0}^{n+1}\binom{n+1}{p}a^pb^{n+1-p} \end{aligned}

D’où le résultat par récurrence.

Exemple 4.1

Le triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux :

n\backslash p 0 1 2 3 4 5
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1

5 Systèmes linéaires en petite dimension

5.1 Définitions

Définition 5.1

Un système linéaire de n équations à p inconnues, à coefficients dans \mathbb{K} (\mathbb{R} ou \mathbb{C}), est un système de la forme :

\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1p}x_p=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2p}x_p=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{np}x_p=b_n\end{cases}

où les a_{ij} sont les coefficients et les b_i le second membre.

  • Si tous les b_i sont nuls, le système est dit homogène.
  • Une solution du système est un p-uplet (x_1,\ldots,x_p)\in\mathbb{K}^p vérifiant toutes les équations.

Remarque.

  • Dans \mathbb{R}^2 : un système de 2 équations à 2 inconnues représente l’intersection de deux droites.
  • Dans \mathbb{R}^3 : un système de 3 équations à 3 inconnues représente l’intersection de trois plans.

5.2 Opérations élémentaires sur les lignes

Définition 5.2

Les opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire sont :

  1. Échange : L_i \leftrightarrow L_j (échanger deux lignes)
  2. Dilatation : L_i \leftarrow \alpha L_i avec \alpha\neq 0 (multiplier une ligne par un scalaire non nul)
  3. Transvection : L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j avec i\neq j (ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne)

Proposition 5.1

Les opérations élémentaires sur les lignes transforment un système linéaire en un système équivalent, c’est-à-dire ayant le même ensemble de solutions.

5.3 Algorithme du pivot de Gauss

NoteAlgorithme du pivot de Gauss

En utilisant les opérations élémentaires sur les lignes (échanges et transvections), on peut transformer tout système linéaire en un système échelonné (triangulaire supérieur), donc plus facile à résoudre par remontée.

L’algorithme procède ainsi :

  1. Choisir un pivot (coefficient non nul) dans la première colonne.
  2. Utiliser des transvections pour annuler tous les coefficients sous le pivot.
  3. Passer à la colonne suivante et répéter.
  4. Une fois le système échelonné, résoudre par remontée.

Exemple 5.1

Résolvons le système : \begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}

L_2\leftarrow L_2-2L_1 et L_3\leftarrow L_3-L_1 : \begin{cases}x+y+z=6\\-3y-z=-9\\y-2z=-4\end{cases}

L_3\leftarrow L_3+\frac{1}{3}L_2 : \begin{cases}x+y+z=6\\-3y-z=-9\\-\frac{7}{3}z=-7\end{cases}

Par remontée : z=3, puis y=4, puis x=-1.

Solution : (x,y,z)=(-1,4,3).

Remarque. En TSI1, on se limite aux systèmes de taille n,p\leq 3. Pour des systèmes de taille supérieure, on utilise l’outil informatique. On met en évidence sur un exemple l’instabilité numérique de la méthode due aux erreurs d’arrondis.

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Chapitre 03 : Compléments de calcul algébrique