Fonctions de la variable réelle, dérivation

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

21 août 2026

TSI 1re année — Chapitre 07. Dérivabilité, théorème de Rolle, accroissements finis, dérivées d’ordre supérieur, classes \mathcal{C}^k, suites récurrentes.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière TSI1.

Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Motivation

Nous souhaitons calculer \sqrt{1{,}01} ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme 1{,}01 est proche de 1 et que \sqrt{1}=1 on se doute bien que \sqrt{1{,}01} sera proche de 1. Peut-on être plus précis ?

Si l’on appelle f la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}, alors la fonction f est une fonction continue en x_0=1. La continuité nous affirme que pour x suffisamment proche de x_0, f(x) est proche de f(x_0). Cela revient à dire que pour x au voisinage de x_0 on approche f(x) par la constante f(x_0).

Nous pouvons faire mieux qu’approcher notre fonction par une droite horizontale ! Essayons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de x_0 ? Elle doit passer par le point (x_0,f(x_0)) et doit « coller » le plus possible au graphe : c’est la tangente au graphe en x_0.

Une équation de la tangente est : y = (x-x_0) f'(x_0) + f(x_0) où f'(x_0) désigne le nombre dérivé de f en x_0.

On sait que pour f(x)=\sqrt x, on a f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}. Une équation de la tangente en x_0=1 est donc y=(x-1)\frac12+1. Et donc pour x proche de 1 on a f(x) \approx (x-1)\frac12+1.

Qu’est-ce que cela donne pour notre calcul de \sqrt{1{,}01} ? On pose x=1{,}01 donc f(x) \approx 1+\frac12(x-1) = 1 + \frac{0{,}01}{2}=1{,}005. Et c’est effectivement une très bonne approximation de \sqrt{1{,}01}=1{,}00498\ldots

En posant h=x-1 on peut reformuler notre approximation en : \sqrt{1+h} \approx 1+\frac12h qui est valable pour h proche de 0.

Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu’est la dérivée d’une fonction et établir les formules des dérivées des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l’erreur des approximations, il nous faudra travailler beaucoup plus afin d’obtenir le théorème des accroissements finis.

2 Dérivée

2.1 Dérivée en un point

Définition 2.1

Soit I un intervalle ouvert de \mathbb{R} et f : I \to \mathbb{K} une fonction. Soit x_0 \in I. On dit que f est si le taux d’accroissement \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} a une limite finie lorsque x tend vers x_0.

La limite s’appelle alors le nombre dérivé de f en x_0 et est noté f'(x_0). Ainsi : f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Définition 2.2

f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x_0 \in I. La fonction x \mapsto f'(x) est la fonction dérivée de f, elle se note f' ou \frac{df}{dx}.

Exemple 2.1

La fonction définie par f(x)=x^2 est dérivable en tout point x_0 \in \mathbb{R}. En effet : \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=x+x_0 \xrightarrow[x \to x_0]{} 2x_0. On a même montré que le nombre dérivé de f en x_0 est 2x_0, autrement dit : f'(x)=2x.

Exemple 2.2

Montrons que la dérivée de f(x)=\sin x est f'(x)=\cos x.

Nous allons utiliser les deux assertions suivantes : \frac{\sin x}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} 1 \qquad \text{et} \qquad \sin p-\sin q = 2\sin \frac{p-q}{2}\cdot\cos\frac{p+q}{2}.

Remarquons déjà que la première assertion prouve \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sin x}{x} \to 1 et donc f est dérivable en x_0=0 et f'(0)=1.

Pour x_0 quelconque on écrit : \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0} = \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}} \cdot \cos \frac{x+x_0}{2}.

Lorsque x\to x_0 alors d’une part \cos \frac{x+x_0}{2}\to \cos x_0 et d’autre part en posant u=\frac{x-x_0}{2} alors u\to 0 et on a \frac {\sin u}u \to 1. Ainsi \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to \cos x_0 et donc f'(x)=\cos x.

2.2 Tangente

La droite qui passe par les points distincts (x_0,f(x_0)) et (x,f(x)) a pour coefficient directeur \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. À la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est f'(x_0).

Une équation de la tangente au point (x_0,f(x_0)) est donc :

\boxed{y = (x-x_0) f'(x_0) + f(x_0)}

Interprétation cinématique : si f représente la position d’un point mobile en fonction du temps, alors f'(x_0) représente la vitesse instantanée à l’instant x_0.

2.3 Autres écritures de la dérivée

Proposition 2.1

Voici deux autres formulations de la dérivabilité de f en x_0.

  1. f est dérivable en x_0 si et seulement si \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} existe et est finie.

  2. f est dérivable en x_0 si et seulement s’il existe \ell \in \mathbb{R} (qui sera f'(x_0)) et une fonction \epsilon : I \to \mathbb{R} telle que \epsilon(x) \xrightarrow[x\to x_0]{} 0 avec : f(x)=f(x_0)+(x-x_0) \ell + (x-x_0) \epsilon(x).

Proposition 2.2

Soit I un intervalle ouvert, x_0 \in I et soit f : I \to \mathbb{R} une fonction.

  • Si f est dérivable en x_0 alors f est continue en x_0.
  • Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.

Remarque. La réciproque est fausse : par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0. En effet, le taux d’accroissement de f(x)=|x| en x_0=0 vérifie : \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{|x|}{x}=\begin{cases} +1 & \text{ si } x>0 \\ -1 & \text{ si } x < 0 \end{cases} Il y a bien une limite à droite (qui vaut +1), une limite à gauche (qui vaut -1) mais elles ne sont pas égales : il n’y a pas de limite en 0. Ainsi f n’est pas dérivable en x=0.

Remarque. f est dérivable en x_0 si et seulement si elle est dérivable en x_0 à gauche et à droite et on a : f_g'(x_0)=f_d'(x_0).

2.4 Somme, produit, quotient

Proposition 2.3

Soient f,g : I \to \mathbb{R} deux fonctions dérivables sur I. Alors pour tout x \in I :

  • (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
  • (\lambda f)'(x) = \lambda f'(x) où \lambda est un réel fixé
  • (f \times g)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
  • \displaystyle\left(\frac{1}{f}\right)'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2} (si f(x)\neq 0)
  • \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} (si g(x)\neq 0)

2.5 Dérivée de fonctions usuelles

Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître. Le tableau de droite est celui des compositions, u représente une fonction x\mapsto u(x).

Fonction Dérivée
x^n nx^{n-1} (n \in \mathbb{Z})
\frac 1x -\frac{1}{x^2}
\sqrt{x} \frac12 \frac1{\sqrt{x}}
x^\alpha \alpha x^{\alpha-1} (\alpha\in\mathbb{R})
e^x e^x
\ln x \frac 1x
\cos x -\sin x
\sin x \cos x
\tan x 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
Fonction Dérivée
u^n nu'u^{n-1} (n \in \mathbb{Z})
\frac 1u -\frac{u'}{u^2}
\sqrt{u} \frac12 \frac{u'}{\sqrt{u}}
u^\alpha \alpha u' u^{\alpha-1} (\alpha\in\mathbb{R})
e^u u'e^u
\ln u \frac {u'}{u}
\cos u -u'\sin u
\sin u u'\cos u
\tan u u'(1+\tan^2 u) = \frac{u'}{\cos^2 u}

Remarque. Si vous devez dériver une fonction avec un exposant dépendant de x il faut absolument repasser à la forme exponentielle. Par exemple si f(x)= 2^x alors on réécrit d’abord f(x)=e^{x\ln 2} pour pouvoir calculer f'(x)=\ln 2 \cdot e^{x\ln 2} = \ln 2 \cdot 2^x.

2.6 Composition

Proposition 2.4

Si f est dérivable en x et g est dérivable en f(x) alors g\circ f est dérivable en x de dérivée :

\boxed{\big( g \circ f \big)'(x) = g'\big( f(x) \big) \cdot f'(x)}

Exemple 2.3

Calculons la dérivée de \ln(1+x^2). Nous avons g(x)=\ln(x) avec g'(x) = \frac 1x ; et f(x)=1+x^2 avec f'(x) = 2x. Alors la dérivée de \ln(1+x^2)=g\circ f(x) est : \big( g \circ f \big)'(x) = g'\big( f(x) \big) \cdot f'(x) = g'\big( 1+x^2 \big) \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}.

Soit I un intervalle ouvert. Soit f : I \to J dérivable et bijective dont on note f^{-1} : J \to I la bijection réciproque. Si f' ne s’annule pas sur I alors f^{-1} est dérivable et on a pour tout x \in J :

\boxed{\displaystyle \big(f^{-1}\big)'(x)= \frac{1}{f'\big( f^{-1}(x) \big)}}

Exemple 2.4

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la fonction définie par f(x)=x+\exp(x). Étudions f en détail.

  1. f est dérivable car f est la somme de deux fonctions dérivables. En particulier f est continue.
  2. f est strictement croissante car f est la somme de deux fonctions strictement croissantes.
  3. f est une bijection car \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty et \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.
  4. f'(x) = 1 + \exp(x) ne s’annule jamais (pour tout x\in \mathbb{R}).

Notons g = f^{-1} la bijection réciproque de f. Même si on ne sait pas a priori exprimer g, on peut malgré tout connaître des informations sur cette fonction : par le corollaire ci-dessus g est dérivable et l’on calcule g' en dérivant l’égalité f\big( g(x) \big) = x. Ce qui donne f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x) = 1 et donc ici : g'(x) = \frac{1}{f'\big( g(x) \big)} = \frac{1}{1+\exp\big( g(x) \big)}.

Pour cette fonction f particulière on peut préciser davantage : comme f\big( g(x)\big) = x alors g(x)+\exp\big( g(x) \big)=x donc \exp\big( g(x) \big)=x-g(x). Cela conduit à : g'(x) = \frac{1}{1+x -g(x)}.

2.7 Dérivées successives

Définition 2.3

Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction dérivable et soit f' sa dérivée. Si la fonction f' : I \to \mathbb{R} est aussi dérivable on note f''=(f')' la dérivée seconde de f. Plus généralement on note : f^{(0)} = f, \quad f^{(1)} = f', \quad f^{(2)} = f'' \quad \text{ et } \quad f^{(n+1)} = \big(f^{(n)}\big)'

Si la dérivée n-ième f^{(n)} existe on dit que f est n fois dérivable. Si, de plus, f^{(n)} est continue sur I, on dit que f est de classe \mathcal{C}^n sur I. On note \mathcal{C}^n(I,\mathbb{K}) l’ensemble des fonctions de classe \mathcal{C}^n sur I à valeurs dans \mathbb{K}.

Alors \mathcal{C}^0(I,\mathbb{K}) est l’ensemble des fonctions continues sur I.

Si f est une fonction de classe \mathcal{C}^n sur I pour tout n\in \mathbb{N}, on dit qu’elle est de classe \mathcal{C}^{\infty}.

Remarque. On remarque :

  1. \mathcal{C}^{n+1}(I,\mathbb{K})\subset \mathcal{C}^n(I,\mathbb{K})
  2. \mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{K})=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{C}^n(I,\mathbb{K})

Théorème 2.1 — (Formule de Leibniz)

Soient f et g deux fonctions n fois dérivables. Alors :

\big( f \cdot g \big)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \ f^{(n-k)} \cdot g^{(k)}

Exemple 2.5

Calculons les dérivées n-ème de \exp(x) \cdot (x^2+1) pour tout n \ge 0.

Notons f(x)=\exp(x) alors f'(x)=\exp(x), f''(x)=\exp(x),…, f^{(k)}(x)=\exp(x). Notons g(x)=x^2+1 alors g'(x)=2x, g''(x)=2 et pour k\ge 3, g^{(k)}(x)=0.

Appliquons la formule de Leibniz : \big( f \cdot g \big)^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) \cdot g(x) + \binom{n}{1}\ f^{(n-1)}(x)\cdot g^{(1)}(x) + \binom{n}{2}\ f^{(n-2)}(x)\cdot g^{(2)}(x)

On remplace f^{(k)}(x)=\exp(x) et on sait que g^{(3)}(x)=0, g^{(4)}(x)=0,… Donc cette somme ne contient que les trois premiers termes : \big( f \cdot g \big)^{(n)}(x) = \exp(x) \cdot (x^2+1) + \binom{n}{1}\ \exp(x) \cdot 2x + \binom{n}{2}\ \exp(x) \cdot 2

Que l’on peut aussi écrire : \big( f \cdot g \big)^{(n)}(x) = \exp(x) \cdot \Big(x^2 + 2nx + n(n-1)+1 \Big).

Remarque. Les propositions sur les opérations sur les fonctions dérivables et la composition sont encore valables pour les fonctions de classe \mathcal{C}^n.

Théorème 2.2 — (Théorème de prolongement par classe \boldsymbol{\mathcal{C}^n})

Soit n\in \mathbb{N}^*, et soit f: I\longrightarrow \mathbb{K} une fonction telle que :

  1. f est de classe \mathcal{C}^n sur I\smallsetminus\{x_0\}
  2. Pour tout k\in\llbracket 0,n\rrbracket, f^{(k)}(x) admet une limite finie en x_0

Alors f admet un prolongement de classe \mathcal{C}^n sur I. Autrement dit, f est prolongeable par continuité et son prolongement est de classe \mathcal{C}^n sur I.

3 Extremum local, théorème de Rolle

3.1 Extremum local

Définition 3.1

Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle I.

  • On dit que x_0 est un point critique de f si f'(x_0)=0.
  • On dit que f admet un maximum local en x_0 (resp. un minimum local en x_0) s’il existe un intervalle ouvert J contenant x_0 tel que pour tout x\in I \cap J : f(x) \le f(x_0) (resp. f(x) \ge f(x_0)).
  • On dit que f admet un extremum local en x_0 si f admet un maximum local ou un minimum local en ce point.

Théorème 3.1

Soit I un intervalle ouvert et f : I \to \mathbb{R} une fonction dérivable. Si f admet un maximum local (ou un minimum local) en x_0 alors f'(x_0)=0.

Remarque. La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, définie par f(x)= x^3 vérifie f'(0)=0 mais x_0=0 n’est ni maximum local ni un minimum local.

3.2 Théorème de Rolle

Théorème 3.2 — (Théorème de Rolle)

Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} telle que :

  • f est continue sur [a,b],
  • f est dérivable sur ]a,b[,
  • f(a)=f(b).

Alors il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c)=0.

Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f où la tangente est horizontale.

Preuve. Tout d’abord, si f est constante sur [a,b] alors n’importe quel c\in]a,b[ convient.

Sinon il existe x_0 \in [a,b] tel que f(x_0) \neq f(a). Supposons par exemple f(x_0) > f(a). Alors f est continue sur l’intervalle fermé et borné [a,b], donc elle admet un maximum en un point c\in[a,b]. Mais f(c) \ge f(x_0) > f(a) donc c \neq a. De même comme f(a)=f(b) alors c \neq b. Ainsi c\in ]a,b[.

En c, f est donc dérivable et admet un maximum (local) donc f'(c)=0.

Exemple 3.1

Soit P(X) = (X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n) un polynôme ayant n racines réelles différentes : \alpha_1< \alpha_2 < \cdots < \alpha_n.

Montrons que P' a n-1 racines distinctes. On considère P comme une fonction polynomiale x \mapsto P(x). P est une fonction continue et dérivable sur \mathbb{R}. Comme P(\alpha_1)=0=P(\alpha_2) alors par le théorème de Rolle il existe c_1 \in ]\alpha_1,\alpha_2[ tel que P'(c_1)=0. Plus généralement, pour 1 \le k \le n-1, comme P(\alpha_k)=0=P(\alpha_{k+1}) alors le théorème de Rolle implique l’existence de c_k \in ]\alpha_k,\alpha_{k+1}[ tel que P'(c_k)=0. Nous avons bien trouvé n-1 racines de P' : c_1< c_2 < \cdots < c_{n-1}.

4 Théorème des accroissements finis

Théorème 4.1 — (Théorème des accroissements finis)

Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Il existe c\in]a,b[ tel que :

\boxed{f(b)-f(a)= f'(c) \; (b-a)}

Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f où la tangente est parallèle à la droite (AB) où A=(a,f(a)) et B=(b,f(b)).

Remarque. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont pas valables pour des fonctions à valeurs dans \mathbb{C} comme le montre l’exemple de la fonction d’expression f(x)=e^{ix} sur le segment [0,2\pi].

Théorème 4.2 — (de la limite de la dérivée)

Soit f: I\longrightarrow \mathbb{K} une fonction continue, et dérivable sur I\smallsetminus\{x_0\}, et soit l un élément de \overline{\mathbb{R}} si \mathbb{K}=\mathbb{R} et sinon, l est un élément de \mathbb{C}. Alors : f'(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} l\implies \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} l

Si l\in \mathbb{K}, alors, d’après le théorème de la limite de la dérivée, f est dérivable en x_0 et f' est continue en x_0.

4.1 Fonction croissante et dérivée

Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

  1. \forall x \in ]a,b[ \quad f'(x) \ge 0 \iff f est croissante ;
  2. \forall x \in ]a,b[ \quad f'(x) \le 0 \iff f est décroissante ;
  3. \forall x \in ]a,b[ \quad f'(x) = 0 \iff f est constante ;
  4. \forall x \in ]a,b[ \quad f'(x) > 0 \implies f est strictement croissante ;
  5. \forall x \in ]a,b[ \quad f'(x) < 0 \implies f est strictement décroissante.

Remarque. La réciproque au point (4) (et aussi au (5)) est fausse. Par exemple la fonction x \mapsto x^3 est strictement croissante et pourtant sa dérivée s’annule en 0.

4.2 Inégalité des accroissements finis

Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. S’il existe une constante M telle que pour tout x \in I, \big|f'(x)\big| \le M alors :

\boxed{\forall x,y \in I \qquad \big| f(x)-f(y) \big| \le M |x-y|}

Remarque. L’inégalité des accroissements finis est encore valable pour les fonctions à valeurs dans \mathbb{C} même si le théorème des accroissements ne peut pas leur être appliqué. Elle peut être établie en utilisant l’intégration.

Exemple 4.1

Soit f(x)=\sin(x). Comme f'(x)=\cos x alors |f'(x)| \le 1 pour tout x\in \mathbb{R}. L’inégalité des accroissements finis s’écrit alors : \text{pour tout } x,y \in \mathbb{R} \qquad |\sin x - \sin y | \le |x-y|.

En particulier si l’on fixe y=0 alors on obtient |\sin x| \le |x| ce qui est particulièrement intéressant pour x proche de 0.

Exemple 4.2

Soit f(x)=\sqrt{x}. Appliquer le théorème des accroissements finis sur l’intervalle [100,101]. En déduire l’encadrement 10+\frac{1}{22} \le \sqrt{101} \le 10 + \frac{1}{20}.

4.3 Règle de l’Hospital

Soient f,g : I \to \mathbb{R} deux fonctions dérivables et soit x_0\in I. On suppose que :

  • f(x_0)=g(x_0)=0,
  • \forall x \in I\setminus\{x_0\} \quad g'(x)\neq 0.

Si \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \ell \quad (\in \mathbb{R}) alors \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \ell.

5 Suites récurrentes

L’étude des suites récurrentes est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on mettra en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée.

Définition 5.1

Un intervalle J est stable par une fonction f si f(J) \subset J. Un réel \alpha est un point fixe de f si f(\alpha)=\alpha.

Définition 5.2 — (Suite définie par récurrence)

Une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est définie par récurrence si elle est définie par : \begin{cases} u_0 \in \mathbb{R} \\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases} où f est une fonction définie sur un intervalle I stable.

Proposition 5.1

Si (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers \alpha et si f est continue en \alpha alors \alpha est un point fixe de f, c’est-à-dire f(\alpha)=\alpha.

Remarque. Pour l’étude de la monotonie de (u_n), on soulignera l’intérêt, d’une part, de l’étude du signe de x \mapsto f(x)-x, et, d’autre part, de l’utilisation de la croissance éventuelle de f.

Si f est croissante sur I stable, alors (u_n) est monotone. Si f est décroissante, (u_{2n}) et (u_{2n+1}) sont monotones de sens opposés.

Définition 5.3 — (Fonction contractante)

Une fonction f : I \to I est dite contractante s’il existe k \in [0,1[ tel que pour tout x,y \in I : |f(x)-f(y)| \le k|x-y|

Proposition 5.2 — (Algorithme de recherche du point fixe)

Si f : I \to I est contractante de rapport k \in [0,1[, alors f admet un unique point fixe \alpha \in I et la suite (u_n) définie par u_0 \in I et u_{n+1}=f(u_n) converge vers \alpha. De plus : |u_n - \alpha| \le \frac{k^n}{1-k}|u_1-u_0|

La convergence est géométrique de raison k.

Proposition 5.3 — (Méthode de Newton)

Soit g une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et \alpha \in I une racine simple de g (c’est-à-dire g(\alpha)=0 et g'(\alpha)\neq 0). On considère la fonction : f(x) = x - \frac{g(x)}{g'(x)}

Alors f(\alpha)=\alpha et f'(\alpha)=0. Si u_0 est suffisamment proche de \alpha, la suite définie par u_{n+1}=f(u_n) converge vers \alpha avec une convergence quadratique : |u_{n+1}-\alpha| \le C|u_n-\alpha|^2

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Chapitre 07 : Fonctions de la variable réelle, dérivation