Intégrales dépendant d’un paramètre

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 09. Passage à la limite sous l’intégrale (convergence dominée, intégration terme à terme), continuité et dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre, exemples d’applications.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R} et \mathbb{K} le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Passage à la limite sous l’intégrale

1.1 Convergence uniforme et intégrale

Théorème 1.1 — (Passage à la limite sous l’intégrale)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues de I dans \mathbb{K}. On suppose que la suite (f_n) converge uniformément sur I vers une fonction f : I \to \mathbb{K}. Alors : \int_I f(t)\, dt = \lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(t)\, dt

Exemple 1.1

Soit f_n(t) = t^n sur [0, 1]. La suite (f_n) converge simplement vers : f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq t < 1 \\ 1 & \text{si } t = 1 \end{cases}

Cette convergence n’est pas uniforme. Cependant : \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 t^n\, dt = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 = \int_0^1 f(t)\, dt

1.2 Théorème de convergence dominée

Théorème 1.2 — (Théorème de convergence dominée)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues par morceaux sur I convergeant simplement vers f. On suppose qu’il existe une fonction \varphi : I \to \mathbb{R}^+ continue par morceaux et intégrable sur I telle que : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in I, \quad |f_n(x)| \leq \varphi(x)

Alors :

  1. f est continue par morceaux sur I.
  2. f est intégrable sur I.
  3. \int_I f_n(x)\, dx \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_I f(x)\, dx.

Ce théorème est admis. La preuve est hors programme.

Ce théorème est tellement pratique qu’on s’en sert souvent même si I est un segment : l’hypothèse de domination est souvent plus simple à vérifier que la convergence uniforme de la suite de fonctions (f_n).

Exemple 1.2

Étudions la suite de terme général I_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{x^2+1}\, dx.

Posons pour n \geq 1, f_n(x) = \frac{e^{-nx}}{x^2+1}.

  • Pour tout n \in \mathbb{N}, la fonction f_n est continue sur I = [0, +\infty[.
  • Pour x \in I fixé, f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{x^2+1}.
  • Pour tout n \geq 1 et tout x \in I, |f_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{x^2+1} \leq \frac{1}{x^2+1}.
  • La fonction \varphi(x) = \frac{1}{x^2+1} est continue et intégrable sur [0, +\infty[.

Par le théorème de convergence dominée : I_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+1} = \left[\arctan x\right]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2}

1.3 Intégration terme à terme d’une série de fonctions

Théorème 1.3 — (Intégration terme à terme sur un intervalle)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur I telle que :

  1. La série \sum f_n converge simplement sur I vers une fonction f, continue par morceaux sur I.
  2. La série \sum \left(\int_I |f_n|\right) converge.

Alors f est intégrable sur I et : \int_I f = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n

L’hypothèse de convergence de la série \sum \left(\int_I |f_n|\right) est plus importante que l’hypothèse de continuité par morceaux de f ; cette dernière étant imposée par les limitations du programme.

Dans la pratique, on commence par effectuer un calcul formel, où l’on permute les signes \sum et \int, que l’on justifie ensuite.

2 Continuité et dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre

2.1 Fonction définie par une intégrale

Définition 2.1 — (Fonction définie par une intégrale)

Soit f : (x,t) \mapsto f(x,t) une fonction de deux variables, x et t. On considère x comme un paramètre et t \in [a,b] comme une variable d’intégration. Cela nous permet de définir : F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt

2.2 Continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre

Théorème 2.1 — (Continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [a,b] un intervalle fermé borné. Soit f une fonction continue sur I \times J à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Alors la fonction F définie pour tout x \in I par : F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt est continue sur I.

Exemple 2.1

Soit F(x) = \int_0^\pi \sin(x+t) \cdot e^{xt^2}\, dt, définie pour x \in I = \mathbb{R}.

La fonction (x,t) \mapsto f(x,t) = \sin(x+t) \cdot e^{xt^2} est continue sur \mathbb{R} \times [0, \pi]. D’après le théorème, F est continue sur \mathbb{R}.

Théorème 2.2 — (Extension au cas de la domination)

Soient A une partie d’un espace vectoriel de dimension finie, I un intervalle de \mathbb{R} et f : (x,t) \mapsto f(x,t) une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur A \times I. On suppose que :

  1. f est continue par rapport à x, continue par morceaux par rapport à t.
  2. Pour tout x \in A, la fonction t \mapsto f(x,t) est intégrable sur I.
  3. Il existe une fonction positive \varphi, continue par morceaux et intégrable sur I, telle que pour tout (x,t) \in A \times I : |f(x,t)| \leq \varphi(t) (hypothèse de domination)

Alors la fonction g définie sur A par g(x) = \int_I f(x,t)\, dt est continue sur A.

L’hypothèse de domination est plus importante que l’hypothèse de continuité par morceaux ; cette dernière étant imposée par les limitations du programme.

Extension au cas où l’hypothèse de domination est vérifiée au voisinage d’un point a de A.

Si A est un intervalle de \mathbb{R}, extension au cas où l’hypothèse de domination est vérifiée sur tout segment contenu dans A.

2.3 Dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre

Théorème 2.3 — (Dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [a,b] un intervalle fermé borné. On suppose que :

  1. (x,t) \mapsto f(x,t) est une fonction continue sur I \times J (à valeurs dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  2. La dérivée partielle (x,t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) existe et est continue sur I \times J.

Alors la fonction F définie pour tout x \in I par F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 sur I et : \boxed{F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\, dt}

On peut retenir l’abréviation mnémotechnique d’interversion dérivée/intégrale : \frac{d}{dx}\int_a^b = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}

Exemple 2.2

Étudions F(x) = \int_0^1 \frac{dt}{x^2 + t^2} pour x \in ]0, +\infty[.

Posons f(x,t) = \frac{1}{x^2 + t^2}. Alors :

  • f est continue sur ]0, +\infty[ \times [0,1].
  • \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = \frac{-2x}{(x^2+t^2)^2} est aussi continue.

Donc, par le théorème, F est continue, dérivable et : F'(x) = \int_0^1 \frac{-2x}{(x^2+t^2)^2}\, dt

2.4 Intégrales à bornes variables

Théorème 2.4 — (Intégrales à bornes variables)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Soient I un intervalle de \mathbb{R} et u, v : I \to [a,b] deux fonctions de classe \mathcal{C}^1. Alors la fonction G définie sur l’intervalle I par : G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 et : G'(x) = v'(x) f(v(x)) - u'(x) f(u(x))

Exemple 2.3

Calculons la dérivée de G(x) = \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln t} pour x > 1.

Pour appliquer le théorème, on remarque que f(t) = \frac{1}{\ln t} est continue sur ]1, +\infty[, et u(x) = x, v(x) = x^2 sont de classe \mathcal{C}^1 sur ]1, +\infty[.

G'(x) = 2x \cdot \frac{1}{\ln(x^2)} - 1 \cdot \frac{1}{\ln x} = 2x \cdot \frac{1}{2\ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x - 1}{\ln x}

3 Intégrales impropres dépendant d’un paramètre

3.1 Fonction définie par une intégrale impropre

Définition 3.1

Soit f : (x,t) \mapsto f(x,t) une fonction définie sur I \times [0, +\infty[, où I est un intervalle de \mathbb{R}. Supposons que l’intégrale de l’application partielle t \mapsto f(x,t) soit convergente sur [0, +\infty[. On souhaite étudier la fonction qui à x \in I associe : F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt

Comme une intégrale convergente est définie comme une limite d’intégrales sur des intervalles bornés, posons : F_A(x) = \int_0^A f(x,t)\, dt, \quad \text{d'où} \quad F(x) = \lim_{A \to +\infty} F_A(x)

Les résultats des sections précédentes donnent des conditions sous lesquelles F_A(x) est continue et dérivable pour A fixé. Pour passer à la limite quand A tend vers l’infini, nous allons ajouter une hypothèse dite de convergence dominée.

3.2 Convergence dominée

Définition 3.2 — (Convergence dominée)

Soit (f_A)_{A > 0} une famille de fonctions définies sur I convergeant simplement vers F. On dit que la convergence est dominée s’il existe une fonction \varphi : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ telle que :

  1. \varphi est continue par morceaux et \int_0^{+\infty} \varphi(t)\, dt converge.
  2. Pour tout A > 0 et tout x \in I : |f(x,t)| \leq \varphi(t) pour tout t \geq 0.

Théorème 3.1 — (Continuité d’une intégrale impropre dépendant d’un paramètre)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [0, +\infty[. On suppose que :

  1. (x,t) \mapsto f(x,t) est une fonction continue sur I \times J (à valeurs dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  2. L’hypothèse de convergence dominée est vérifiée.

Alors la fonction F, définie pour tout x \in I par F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt, est continue sur I.

Théorème 3.2 — (Dérivabilité d’une intégrale impropre dépendant d’un paramètre)

Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [0, +\infty[. On suppose que :

  1. (x,t) \mapsto f(x,t) est une fonction continue sur I \times J (à valeurs dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  2. La dérivée partielle (x,t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) existe, est continue sur I \times J et vérifie l’hypothèse de convergence dominée.

Alors la fonction F, définie pour tout x \in I par F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt, est de classe \mathcal{C}^1 sur I et : F'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\, dt

3.3 Théorème de Fubini

Théorème 3.3 — (Théorème de Fubini)

Soient I = [\alpha, \beta] un intervalle fermé borné et J = [0, +\infty[. Soit f une fonction continue sur I \times J, à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) et qui vérifie l’hypothèse de convergence dominée. Alors la fonction F est intégrable sur I et : \int_\alpha^\beta F(x)\, dx = \int_\alpha^\beta \left(\int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt\right) dx = \int_0^{+\infty} \left(\int_\alpha^\beta f(x,t)\, dx\right) dt

4 Exemples d’applications

4.1 Intégrales eulériennes

Exemple 4.1 — (Fonction Gamma d’Euler)

Pour x > 0, on considère l’intégrale généralisée : \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt

Étude de la convergence. L’intégrale présente deux points singuliers : 0 et +\infty. On la décompose en \int_0^1 + \int_1^{+\infty}.

  • Au voisinage de +\infty : Pour tout x \in \mathbb{R}, par croissance comparée, t^{x-1} e^{-t} = o(t^{-2}) quand t \to +\infty. L’intégrale de Riemann \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2} converge, donc \int_1^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt converge absolument si et seulement si x \in \mathbb{R}.

  • Au voisinage de 0^+ : t^{x-1} e^{-t} \sim t^{x-1} quand t \to 0^+. L’intégrale \int_0^1 t^\alpha\, dt converge si et seulement si \alpha > -1. Ici \alpha = x - 1, donc convergence si et seulement si x > 0.

Conclusion : \Gamma(x) est bien définie pour tout x > 0.

Relation fonctionnelle. Soit x > 0. Pour 0 < \varepsilon < A < +\infty : \int_\varepsilon^A t^x e^{-t}\, dt = \left[-t^x e^{-t}\right]_\varepsilon^A + x \int_\varepsilon^A t^{x-1} e^{-t}\, dt

En faisant tendre \varepsilon \to 0^+ et A \to +\infty (les termes aux bornes s’annulent par croissance comparée), on obtient : \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)

Valeurs particulières. \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-t}\, dt = 1. Par récurrence immédiate, on a : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \Gamma(n+1) = n!

La fonction \Gamma prolonge donc la factorielle aux réels strictement positifs.

4.2 Transformée de Laplace

Définition 4.1 — (Transformée de Laplace)

Soit f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} une fonction continue. La transformée de Laplace de f est la fonction \mathcal{L}(f) définie par : \mathcal{L}(f)(s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st}\, dt pour tout s \in \mathbb{R} tel que l’intégrale converge.

  1. Dans ce cours, nous supposerons que s est un paramètre réel. (Alors qu’en toute généralité s \in \mathbb{C}.)
  2. Nous supposerons les fonctions continues. (Alors qu’en électronique les fonctions sautent souvent d’une valeur à une autre.)
  3. Lorsque l’on écrit F(s), cela signifiera par convention que l’intégrale converge.

Exemple 4.2

Calculons \mathcal{L}(f)(s) pour f(t) = e^{at} avec a \in \mathbb{R}.

\mathcal{L}(f)(s) = \int_0^{+\infty} e^{at} e^{-st}\, dt = \int_0^{+\infty} e^{(a-s)t}\, dt

Cette intégrale converge si et seulement si a - s < 0, c’est-à-dire s > a. Dans ce cas : \mathcal{L}(f)(s) = \left[\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^{+\infty} = \frac{1}{s-a}

4.3 Transformée de Fourier

Définition 4.2 — (Transformée de Fourier)

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue dont l’intégrale est absolument convergente. La transformée de Fourier de f est la fonction \widehat{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{C} définie par : \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\xi t}\, dt

  1. Contrairement à la transformée de Laplace, la transformée de Fourier est souvent à valeurs dans \mathbb{C}, même si l’ensemble de départ est \mathbb{R}.
  2. L’intégrale impropre a deux points incertains -\infty et +\infty. Par définition, une intégrale \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\, dt converge si et seulement si l’intégrale \int_{-\infty}^0 g(t)\, dt converge et l’intégrale \int_0^{+\infty} g(t)\, dt converge aussi.

Proposition 4.1 — (Existence de la transformée de Fourier)

Supposons que f soit continue et que l’intégrale de f soit absolument convergente, c’est-à-dire : \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|\, dt \quad \text{converge} Alors :

  1. Pour tout \xi \in \mathbb{R}, l’intégrale \widehat{f}(\xi) existe.
  2. La fonction \xi \mapsto \widehat{f}(\xi) est continue sur \mathbb{R}.

5 Exercices

Exercice 5.1

Soit f(x,t) = \frac{\ln t}{x^2 + t^2} définie pour x \in [0,1] et t \in [1, +\infty[. Montrer que F(x) = \int_1^{+\infty} f(x,t)\, dt est une fonction continue, dérivable, de dérivée continue. Calculer F'(x).

Exercice 5.2

Soit f(x,t) = t^x e^{-t} définie sur [1,10] \times [1, +\infty[. Montrer que F(x) = \int_1^{+\infty} f(x,t)\, dt est une fonction continue et dérivable.

Exercice 5.3

Soit F(x) = \int_0^1 \frac{dt}{x + \sqrt{t}}. Montrer que F est définie en x = 0. À l’aide d’un changement de variable sur t, montrer que la fonction F est continue sur [0, +\infty[. Calculer la limite de F en 0. Que peut-on dire pour la dérivée ?

Exercice 5.4

Soit F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt}\, dt pour x > 0. Calculer F(x) et F'(x).

Exercice 5.5 — (Transformée de Laplace)

Soit f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} continue et dont l’intégrale \int_0^{+\infty} |f(t)|\, dt converge. Montrer que \mathcal{L}(f) est définie et continue sur \mathbb{R}.

Exercice 5.6 — (Fonction Gamma)

Montrer que la fonction \Gamma est de classe \mathcal{C}^\infty sur ]0, +\infty[ et que : \Gamma^{(n)}(x) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^n t^{x-1} e^{-t}\, dt

Exercice 5.7

Soit F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(xt)}{t}\, dt pour x > 0. Montrer que F est continue sur ]0, +\infty[. Calculer F(x) pour x > 0 (on admettra que F(x) = \frac{\pi}{2}).

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