Probabilités
Chapitre 10
PSI (2e année) — Chapitre 10. Ensembles dénombrables et familles sommables, espaces probabilisés, variables aléatoires et lois (discrètes et à densité), espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités et théorèmes limites.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.
Dans tout ce chapitre, (\Omega, \mathcal{T}, P) désigne un espace probabilisé.
1 Ensembles dénombrables et familles sommables
1.1 Ensembles dénombrables
Définition 1.1 — (Ensemble dénombrable)
Un ensemble E est dit dénombrable s’il existe une bijection de \mathbb{N} sur E. Un ensemble est dit au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable.
Exemple 1.1
- \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} sont dénombrables.
- \mathbb{R} n’est pas dénombrable.
- Toute partie infinie de \mathbb{N} est dénombrable.
- Le produit \mathbb{N} \times \mathbb{N} est dénombrable.
1.2 Familles sommables
Définition 1.2 — (Famille sommable)
Soit (u_i)_{i \in I} une famille de nombres réels positifs indexée par un ensemble I au plus dénombrable. On dit que la famille (u_i)_{i \in I} est sommable si : \sup_{J \subset I, \; J \text{ fini}} \sum_{i \in J} u_i < +\infty
Dans ce cas, on pose : \sum_{i \in I} u_i = \sup_{J \subset I, \; J \text{ fini}} \sum_{i \in J} u_i
Proposition 1.1 — (Caractérisation des familles sommables)
Soit (u_i)_{i \in I} une famille de réels positifs indexée par un ensemble dénombrable I. Alors (u_i)_{i \in I} est sommable si et seulement si pour toute bijection \varphi : \mathbb{N} \to I, la série \sum_{n=0}^{+\infty} u_{\varphi(n)} converge, et dans ce cas : \sum_{i \in I} u_i = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{\varphi(n)}
2 Espaces probabilisés
2.1 Tribu et espace probabilisable
Définition 2.1 — (Expérience aléatoire)
La théorie des probabilités permet l’étude de phénomènes ayant un aspect hasardeux, ou aléatoire. On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L’ensemble des issues (ou résultats observables) est appelé univers et noté \Omega.
Définition 2.2 — (Événement, tribu)
Un événement est une partie de \Omega. Une tribu (ou \sigma-algèbre) \mathcal{T} sur \Omega est une partie de \mathcal{P}(\Omega) vérifiant :
- \Omega \in \mathcal{T}
- Si A \in \mathcal{T}, alors \overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathcal{T}
- Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’éléments de \mathcal{T} : \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \in \mathcal{T}
Le couple (\Omega, \mathcal{T}) est appelé espace probabilisable.
2.2 Probabilité et espace probabilisé
Définition 2.3 — (Probabilité)
Une probabilité sur l’espace probabilisable (\Omega, \mathcal{T}) est une application P : \mathcal{T} \to [0,1] vérifiant :
- P(\Omega) = 1
- Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’événements deux à deux incompatibles : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)
Le triplet (\Omega, \mathcal{T}, P) est appelé espace probabilisé.
Proposition 2.1 — (Propriétés des probabilités)
Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Alors :
- P(\varnothing) = 0
- P(\overline{A}) = 1 - P(A)
- Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) (croissance)
- P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
- Inégalité de Boole : P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \sum_{k=1}^n P(A_k)
2.3 Probabilités conditionnelles
Définition 2.4 — (Probabilité conditionnelle)
Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé et B un événement avec P(B) > 0. La probabilité de A sachant B est : P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
Théorème 2.1 — (Formule des probabilités composées)
Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} une famille d’événements telle que P\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} A_k\right) \neq 0. Alors : P\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)
Théorème 2.2 — (Formule des probabilités totales)
Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement. Alors : P(B) = \sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)
Théorème 2.3 — (Formule de Bayes)
Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement avec P(B) > 0. Alors pour tout j \in I : P(A_j \mid B) = \frac{P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)}
2.4 Indépendance
Définition 2.5 — (Indépendance de deux événements)
Deux événements A et B sont indépendants si : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Définition 2.6 — (Indépendance mutuelle)
Une famille (A_i)_{i \in I} d’événements est mutuellement indépendante si pour toute partie finie J \subset I : P\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod_{i \in J} P(A_i)
L’indépendance deux à deux n’implique pas l’indépendance mutuelle si n > 2.
Proposition 2.2
Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont indépendants, \overline{A} et B sont indépendants, \overline{A} et \overline{B} sont indépendants.
3 Variables aléatoires réelles
3.1 Variables aléatoires discrètes
Définition 3.1 — (Variable aléatoire discrète)
Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle discrète est une application X : \Omega \to \mathbb{R} telle que X(\Omega) est au plus dénombrable et pour tout x \in X(\Omega), \{X = x\} = X^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{T}.
Définition 3.2 — (Loi de probabilité)
La loi de probabilité de X est la probabilité P_X sur (X(\Omega), \mathcal{P}(X(\Omega))) définie par : P_X(A) = P(X \in A) = P(X^{-1}(A))
La loi de X est entièrement déterminée par la donnée des P(X = x) pour x \in X(\Omega).
Définition 3.3 — (Fonction de répartition)
La fonction de répartition de X est la fonction F_X : \mathbb{R} \to [0,1] définie par : F_X(x) = P(X \leq x) = P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq x\})
Proposition 3.1 — (Propriétés de la fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. Alors :
- F_X est croissante.
- F_X est continue à droite.
- \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 et \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.
3.2 Variables aléatoires à densité
Définition 3.4 — (Variable aléatoire à densité)
Une variable aléatoire réelle X est dite à densité s’il existe une fonction f_X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ continue par morceaux telle que :
- f_X \geq 0 sur \mathbb{R}.
- \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\, dt = 1.
- Pour tout intervalle [a,b] : P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(t)\, dt
La fonction f_X est appelée la densité de X.
Proposition 3.2 — (Fonction de répartition d’une variable à densité)
Si X est une variable aléatoire à densité f_X, alors la fonction de répartition F_X est continue sur \mathbb{R} et : F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\, dt
En tout point x où f_X est continue, F_X est dérivable et F_X'(x) = f_X(x).
3.3 Lois usuelles discrètes
Proposition 3.3 — (Lois usuelles discrètes)
| Loi | Espérance | Variance |
|---|---|---|
| \mathcal{B}(p) (Bernoulli) | p | p(1-p) |
| \mathcal{B}(n, p) (Binomiale) | np | np(1-p) |
| \mathcal{G}(p) (Géométrique) | \frac{1}{p} | \frac{1-p}{p^2} |
| \mathcal{P}(\lambda) (Poisson) | \lambda | \lambda |
| \mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket) (Uniforme discrète) | \frac{n+1}{2} | \frac{n^2 - 1}{12} |
Définition 3.5 — (Loi de Bernoulli)
Soit p \in [0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(p), si : P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p = q
Définition 3.6 — (Loi binomiale)
Soient n \in \mathbb{N}^* et p \in [0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p), si : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}
Définition 3.7 — (Loi géométrique)
Soit p \in ]0, 1]. Une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p, notée X \hookrightarrow \mathcal{G}(p), si : P(X = k) = p(1-p)^{k-1}, \quad k \in \mathbb{N}^*
Définition 3.8 — (Loi de Poisson)
Soit \lambda > 0. Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre \lambda, notée X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), si : P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k \in \mathbb{N}
3.4 Lois usuelles à densité
Proposition 3.4 — (Lois usuelles à densité)
| Loi | Espérance | Variance |
|---|---|---|
| \mathcal{U}([a, b]) (Uniforme) | \frac{a+b}{2} | \frac{(b-a)^2}{12} |
| \mathcal{E}(\lambda) (Exponentielle) | \frac{1}{\lambda} | \frac{1}{\lambda^2} |
| \mathcal{N}(m, \sigma^2) (Normale) | m | \sigma^2 |
Définition 3.9 — (Loi uniforme)
Soient a < b deux réels. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a,b], notée X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]), si sa densité est : f_X(t) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } t \in [a,b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
Définition 3.10 — (Loi exponentielle)
Soit \lambda > 0. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, notée X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda), si sa densité est : f_X(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}
La fonction de répartition est : F_X(t) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}
Proposition 3.5 — (Propriété de mémoire)
La loi exponentielle vérifie la propriété de mémoire : \forall s, t \geq 0, \quad P(X \geq s + t \mid X \geq s) = P(X \geq t)
Définition 3.11 — (Loi normale)
Soient m \in \mathbb{R} et \sigma > 0. Une variable aléatoire X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres m et \sigma^2, notée X \hookrightarrow \mathcal{N}(m, \sigma^2), si sa densité est : f_X(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}}
La loi \mathcal{N}(0, 1) est appelée la loi normale centrée réduite.
Proposition 3.6 — (Propriétés de la loi normale)
Si X \hookrightarrow \mathcal{N}(m, \sigma^2), alors :
- E(X) = m et V(X) = \sigma^2.
- La densité est symétrique par rapport à t = m.
- Si a, b \in \mathbb{R}, alors aX + b \hookrightarrow \mathcal{N}(am + b, a^2\sigma^2).
- Si X_1 \hookrightarrow \mathcal{N}(m_1, \sigma_1^2) et X_2 \hookrightarrow \mathcal{N}(m_2, \sigma_2^2) sont indépendantes, alors X_1 + X_2 \hookrightarrow \mathcal{N}(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).
4 Espérance et moments
4.1 Espérance
Définition 4.1 — (Espérance d’une variable aléatoire discrète)
Soit X une variable aléatoire discrète. On dit que X admet une espérance si la famille (x \cdot P(X = x))_{x \in X(\Omega)} est sommable. On définit alors : E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X = x)
Définition 4.2 — (Espérance d’une variable aléatoire à densité)
Soit X une variable aléatoire à densité f_X. On dit que X admet une espérance si la fonction t \mapsto t \cdot f_X(t) est intégrable sur \mathbb{R}. On définit alors : E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t \cdot f_X(t)\, dt
Proposition 4.1 — (Formule de transfert)
Soit X une variable aléatoire (discrète ou à densité) et f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Alors f(X) admet une espérance si et seulement si la famille (f(x) \cdot P(X = x))_{x \in X(\Omega)} (cas discret) ou la fonction t \mapsto f(t) \cdot f_X(t) (cas continu) est sommable (resp. intégrable), et :
- Cas discret : E(f(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} f(x) \cdot P(X = x)
- Cas continu : E(f(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot f_X(t)\, dt
Proposition 4.2 — (Propriétés de l’espérance)
Soient X et Y deux variables aléatoires admettant une espérance et a, b \in \mathbb{R}.
- Linéarité : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
- Positivité : Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0
- Croissance : Si X \leq Y, alors E(X) \leq E(Y)
4.2 Moments
Définition 4.3 — (Moments)
Soit k \in \mathbb{N}^*. Le moment d’ordre k de X est, sous réserve d’existence : E(X^k) = \sum_{x \in X(\Omega)} x^k \cdot P(X = x) \quad \text{(cas discret)} E(X^k) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^k \cdot f_X(t)\, dt \quad \text{(cas continu)}
4.3 Variance et écart-type
Définition 4.4 — (Variance et écart-type)
Si X admet un moment d’ordre 2, la variance de X est : V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2
L’écart-type de X est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
Proposition 4.3 — (Propriétés de la variance)
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2.
- V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
- Pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^2 : V(aX + b) = a^2 V(X)
- V(X) \geq 0
- V(X) = 0 si et seulement si X est constante (presque sûrement).
Définition 4.5 — (Variable centrée réduite)
Si \sigma(X) > 0, la variable X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} est centrée réduite : E(X^*) = 0 et V(X^*) = 1.
4.4 Covariance
Définition 4.6 — (Covariance)
Si X et Y admettent un moment d’ordre 2, la covariance de X et Y est : \mathrm{cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)
Proposition 4.4 — (Variance d’une somme)
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{cov}(X, Y)
Si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y).
5 Fonctions génératrices
5.1 Définition
Définition 5.1 — (Fonction génératrice)
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}. La fonction génératrice de X est la fonction G_X : [-1, 1] \to \mathbb{R} définie par : G_X(s) = E(s^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X = k) s^k
5.2 Propriétés
Proposition 5.1 — (Propriétés de la fonction génératrice)
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}.
- G_X(1) = 1.
- X admet une espérance si et seulement si G_X est dérivable en 1, et dans ce cas : E(X) = G_X'(1)
- X admet un moment d’ordre 2 si et seulement si G_X est deux fois dérivable en 1, et dans ce cas : V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2
Proposition 5.2 — (Fonction génératrice d’une somme)
Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes à valeurs dans \mathbb{N} indépendantes, alors : G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s)
Exemple 5.1 — (Fonctions génératrices usuelles)
- Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(p) : G_X(s) = q + ps
- Si X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) : G_X(s) = (q + ps)^n
- Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) : G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}
- Si X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 0, n \rrbracket) : G_X(s) = \frac{1 + s + \cdots + s^n}{n+1}
Preuve. Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), alors P(X = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} et : G_X(s) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} s^n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\lambda s)^n}{n!} = e^{-\lambda} e^{\lambda s} = e^{\lambda(s-1)}
6 Inégalités
6.1 Inégalité de Markov
Proposition 6.1 — (Inégalité de Markov)
Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant une espérance. Alors pour tout a > 0 : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}
6.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème 6.1 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance et une variance. Alors pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
Preuve. On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive (X - E(X))^2 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}
6.3 Inégalité de Jensen
Théorème 6.2 — (Inégalité de Jensen)
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction convexe sur \mathbb{R}, et Y = f(X) admettant une espérance. Alors : f(E(X)) \leq E(f(X))
7 Notions de convergence et théorèmes limites
7.1 Convergence en probabilité
Définition 7.1 — (Convergence en probabilité)
Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On dit que (X_n) converge en probabilité vers X si : \forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0
7.2 Convergence en loi
Définition 7.2 — (Convergence en loi)
Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On dit que (X_n) converge en loi vers X si : \forall t \in \mathbb{R} \setminus D_X, \quad \lim_{n \to +\infty} F_{X_n}(t) = F_X(t) où D_X désigne l’ensemble des points de discontinuité de F_X.
Proposition 7.1
La convergence en probabilité implique la convergence en loi. La réciproque est fausse.
7.3 Loi faible des grands nombres
Théorème 7.1 — (Loi faible des grands nombres)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1). Alors la suite : \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k converge en probabilité vers la variable constante \mu : \forall \varepsilon > 0, \quad P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0
Preuve. Par indépendance et même loi : E(\overline{X}_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(X_k) = \mu V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n V(X_k) = \frac{\sigma^2}{n}
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0
La loi faible des grands nombres justifie l’approche fréquentiste de la probabilité : si l’on répète n fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’un événement A converge en probabilité vers P(A).
7.4 Théorème central limite
Théorème 7.2 — (Théorème central limite)
Soit (X_n)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons m = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1) > 0. Alors : \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^n X_k - nm\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{loi}} \mathcal{N}(0, 1)
Autrement dit, la suite converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
7.5 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
Théorème 7.3 — (Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson)
Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires telles que X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p_n) avec np_n \to \lambda > 0. Alors : X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)
Autrement dit, pour tout k \in \mathbb{N} : P(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
La loi de Poisson est la loi des événements rares : elle modélise le nombre d’occurrences d’un événement de faible probabilité dans un grand nombre d’essais indépendants.
8 Exercices
Exercice 8.1
Soient A et B deux événements tels que P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4} et P(A \cup B) = \frac{1}{2}.
- Calculer P(A \cap B).
- A et B sont-ils indépendants ?
- Calculer P_A(B) et P_B(A).
Exercice 8.2
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise 3 boules. Notons X le nombre de boules rouges obtenues.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 8.3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).
- Déterminer la fonction génératrice G_X.
- En déduire E(X) et V(X).
Exercice 8.4 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 3 et V(X) = 4.
- Majorer P(|X - 3| \geq 2).
- Majorer P(|X - 3| \geq 6).
Exercice 8.5 — (Loi faible des grands nombres)
On lance n fois un dé équilibré. Notons S_n la somme des résultats obtenus.
- Calculer E(S_n) et V(S_n).
- En déduire que \frac{S_n}{n} converge en probabilité vers \frac{7}{2}.
- Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 1\right) en fonction de n.
Exercice 8.6 — (Convergence de Poisson)
Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n}).
- Déterminer la fonction génératrice G_{X_n}.
- Montrer que G_{X_n}(s) \to e^{\lambda(s-1)} pour tout s \in [-1, 1].
- Conclure que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).
Exercice 8.7 — (Formule de Wald)
Un client arrive à un guichet. Le nombre de clients déjà présents N suit une loi de Poisson de paramètre \lambda. Le temps de service de chaque client suit une loi exponentielle de paramètre \mu, indépendamment des autres. Notons T le temps total d’attente.
- Exprimer T en fonction de N et des temps de service X_k.
- Calculer E(T) en utilisant la formule de Wald.
Exercice 8.8 — (Somme de Poisson indépendantes)
Soient X_1 et X_2 deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \lambda_1 et \lambda_2. Déterminer la loi de X_1 + X_2.