Polynômes et fractions rationnelles
Chapitre 11
PCSI 1re année — Chapitre 11. Anneau \mathbb{K}[X], division euclidienne, racines, multiplicité, dérivée formelle, d’Alembert-Gauss, factorisation, fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Anneau des polynômes \mathbb{K}[X]
1.1 Définition
Définition 1.1
Un polynôme à une indéterminée X à coefficients dans \mathbb{K} est une expression de la forme : P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 où a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}. L’ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K} est noté \mathbb{K}[X].
Définition 1.2
Soit P \in \mathbb{K}[X]. - Le degré de P, noté \deg P, est le plus grand entier n tel que a_n \neq 0. Par convention, \deg(0) = -\infty. - Le coefficient a_n est appelé coefficient dominant. - P est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
L’ensemble \mathbb{K}_n[X] désigne l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
1.2 Opérations sur les polynômes
Définition 1.3
Soient P = \sum_{i=0}^n a_i X^i et Q = \sum_{j=0}^m b_j X^j deux polynômes de \mathbb{K}[X].
- Somme : P + Q = \sum_{i=0}^{\max(n,m)} (a_i + b_i) X^i
- Produit : P \cdot Q = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k où c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j
- Composition : P \circ Q = P(Q(X)) = a_n Q(X)^n + \cdots + a_1 Q(X) + a_0
Proposition 1.1 — (Opérations sur les degrés)
Soient P, Q \in \mathbb{K}[X] deux polynômes non nuls.
- \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)
- \deg(P \cdot Q) = \deg P + \deg Q
- Si P est non nul : \deg(P \circ Q) = \deg P \cdot \deg Q
Proposition 1.2 — (Formule du binôme de Newton)
Soient A, B \in \mathbb{K}[X] deux polynômes qui commutent (c’est-à-dire AB = BA). Alors pour tout n \in \mathbb{N} : (A + B)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^{n-k} B^k
\mathbb{K}[X] muni de l’addition et du produit est un anneau commutatif intègre. En particulier, le produit de deux polynômes non nuls est non nul.
Exemple 1.1
Soient P = X^2 + 2X + 1 et Q = X - 1.
- P + Q = X^2 + 3X
- P \cdot Q = X^3 + X^2 - X - 1
- \deg(P \cdot Q) = 2 + 1 = 3
2 Division euclidienne
2.1 Théorème de la division euclidienne
Soient A, B \in \mathbb{K}[X] avec B \neq 0. Il existe un unique couple (Q, R) \in \mathbb{K}[X]^2 tel que : A = BQ + R \quad \text{et} \quad \deg R < \deg B Q est appelé le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.
Définition 2.1
On dit que B divise A (ou que A est un multiple de B, ou que B est un diviseur de A), et on note B \mid A, si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Proposition 2.1
Soient A, B, C \in \mathbb{K}[X].
- B \mid A et B \mid C \implies B \mid (\lambda A + \mu C) pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K}
- A \mid B et B \mid A \implies A = \lambda B pour un certain \lambda \in \mathbb{K}^*
- A \mid B et B \mid C \implies A \mid C
Exemple 2.1
Divisons A = X^4 + 2X^3 - X^2 + X + 1 par B = X^2 + 1.
Par division euclidienne : X^4 + 2X^3 - X^2 + X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + 2X - 2) + (3X + 1) Le quotient est Q = X^2 + 2X - 2 et le reste est R = 3X + 1.
Proposition 2.2 — (Algorithme de Horner)
Pour calculer la valeur P(a) d’un polynôme P = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 en un point a \in \mathbb{K}, on utilise l’algorithme de Horner : P(a) = (\cdots((a_n \cdot a + a_{n-1}) \cdot a + a_{n-2}) \cdot a + \cdots + a_1) \cdot a + a_0
Exemple 2.2
Pour P = 2X^3 - X^2 + 3X + 1 et a = 2 : P(2) = ((2 \cdot 2 - 1) \cdot 2 + 3) \cdot 2 + 1 = (5 \cdot 2 + 3) \cdot 2 + 1 = 37
3 Racines d’un polynôme
3.1 Définition et caractérisation
Définition 3.1
Soit P \in \mathbb{K}[X] et a \in \mathbb{K}. On dit que a est une racine (ou zéro) de P si P(a) = 0.
Soit P \in \mathbb{K}[X] et a \in \mathbb{K}. Alors : P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P
Un polynôme non nul de degré n possède au plus n racines (comptées avec multiplicité).
Exemple 3.1
Le polynôme P = X^2 - 1 = (X-1)(X+1) possède exactement deux racines : 1 et -1.
Le polynôme P = X^2 + 1 ne possède aucune racine réelle, mais deux racines complexes : i et -i.
3.2 Multiplicité d’une racine
Définition 3.2
Soit P \in \mathbb{K}[X] non nul et a \in \mathbb{K}. On dit que a est une racine de P de multiplicité m \geq 1 si : (X - a)^m \mid P \quad \text{et} \quad (X - a)^{m+1} \nmid P Si a n’est pas racine de P, on dit que a est racine de multiplicité 0.
Exemple 3.2
Le polynôme P = X^3 - 3X^2 + 3X - 1 = (X-1)^3 possède la racine 1 de multiplicité 3.
Le polynôme P = X^2 - 1 possède les racines 1 et -1, chacune de multiplicité 1.
3.3 Polynôme scindé
Définition 3.3
Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] de degré n est dit scindé sur \mathbb{K} s’il s’écrit : P(X) = \lambda (X - a_1)(X - a_2) \cdots (X - a_n) où \lambda \in \mathbb{K}^* et a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}.
Soit P(X) = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 un polynôme scindé de racines a_1, \ldots, a_n. Alors : \sum_{i=1}^n a_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \quad \text{et} \quad \prod_{i=1}^n a_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}
4 Dérivée formelle
4.1 Définition et propriétés
Définition 4.1
Soit P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{K}[X]. La dérivée formelle de P est le polynôme : P'(X) = n a_n X^{n-1} + (n-1) a_{n-1} X^{n-2} + \cdots + a_1
Proposition 4.1 — (Opérations sur les polynômes dérivés)
Soient P, Q \in \mathbb{K}[X] et \lambda \in \mathbb{K}.
- (\lambda P + Q)' = \lambda P' + Q'
- (P \cdot Q)' = P' \cdot Q + P \cdot Q'
- Formule de Leibniz : (P \cdot Q)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(n-k)} Q^{(k)}
Proposition 4.2 — (Formule de Taylor polynomiale)
Soit P \in \mathbb{K}[X] de degré n et a \in \mathbb{K}. Alors : P(X) = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (X - a)^k
Soit P \in \mathbb{K}[X] non nul et a \in \mathbb{K}. Alors a est racine de P de multiplicité m \geq 1 si et seulement si : P(a) = P'(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(m)}(a) \neq 0
Exemple 4.1
Soit P = X^3 - 3X^2 + 3X - 1. On a P(1) = 0, P'(1) = 3 - 6 + 3 = 0, P''(1) = 6 - 6 = 0, P'''(1) = 6 \neq 0. Donc 1 est racine de multiplicité 3.
5 Théorème de d’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe.
La démonstration de ce théorème est hors programme. Il admet des corollaires fondamentaux.
Tout polynôme non nul de \mathbb{C}[X] de degré n s’écrit de manière unique (à l’ordre près) : P(X) = \lambda (X - a_1)^{m_1} (X - a_2)^{m_2} \cdots (X - a_r)^{m_r} où \lambda \in \mathbb{C}^*, a_1, \ldots, a_r sont les racines distinctes de P et m_i leurs multiplicités avec \sum m_i = n.
Les polynômes irréductibles de \mathbb{C}[X] sont exactement les polynômes de degré 1.
Proposition 5.1 — (Caractérisation de la divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{C}[X]})
Soient P, Q \in \mathbb{C}[X] non nuls. Alors Q \mid P si et seulement si toute racine de Q est racine de P avec une multiplicité au moins égale.
Exemple 5.1 — (Factorisation de \boldsymbol{X^n - 1})
Les racines n-ièmes de l’unité sont \omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} pour k = 0, 1, \ldots, n-1. Donc : X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} \left(X - e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)
6 Factorisation dans \mathbb{R}[X]
6.1 Polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X]
Les polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X] sont : - les polynômes de degré 1 ; - les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Tout polynôme non nul de \mathbb{R}[X] se décompose de manière unique (à l’ordre près) en produit de polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X].
Proposition 6.1 — (Racines conjuguées)
Si P \in \mathbb{R}[X] possède une racine complexe non réelle a + ib, alors \overline{a} = a - ib est aussi racine de P avec la même multiplicité.
Exemple 6.1
Le polynôme P = X^4 + 1 possède les racines complexes : e^{i\pi/4}, \quad e^{i3\pi/4}, \quad e^{i5\pi/4}, \quad e^{i7\pi/4} Sa factorisation dans \mathbb{R}[X] est : X^4 + 1 = (X^2 - \sqrt{2}X + 1)(X^2 + \sqrt{2}X + 1)
7 Fractions rationnelles
7.1 Définition
Définition 7.1
Une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} est un quotient \frac{P}{Q} où P, Q \in \mathbb{K}[X] avec Q \neq 0. L’ensemble des fractions rationnelles est noté \mathbb{K}(X).
Définition 7.2
Soit F = \frac{P}{Q} une fraction rationnelle. - Le degré de F est \deg F = \deg P - \deg Q. - Les zéros de F sont les racines de P. - Les pôles de F sont les racines de Q (après simplification éventuelle).
Définition 7.3
La fonction rationnelle associée à F = \frac{P}{Q} est la fonction x \mapsto \frac{P(x)}{Q(x)} définie sur \mathbb{K} \setminus \{x \in \mathbb{K} \mid Q(x) = 0\}.
7.2 Décomposition en éléments simples
Toute fraction rationnelle F \in \mathbb{C}(X) s’écrit de manière unique : F(X) = E(X) + \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{m_i} \frac{\lambda_{i,k}}{(X - a_i)^k} où E est la partie entière (polynôme), a_1, \ldots, a_r sont les pôles distincts de F de multiplicités m_i, et \lambda_{i,k} \in \mathbb{C}.
Toute fraction rationnelle F \in \mathbb{R}(X) s’écrit de manière unique : F(X) = E(X) + \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{m_i} \frac{\lambda_{i,k}}{(X - a_i)^k} + \sum_{j=1}^s \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\alpha_{j,k} X + \beta_{j,k}}{(X^2 + p_j X + q_j)^k} où les X^2 + p_j X + q_j sont les facteurs irréductibles de degré 2 du dénominateur.
Exemple 7.1 — (Décomposition à pôles simples sur \boldsymbol{\mathbb{C}})
Décomposons F(X) = \frac{1}{(X-1)(X-2)(X-3)}.
On cherche : \frac{1}{(X-1)(X-2)(X-3)} = \frac{A}{X-1} + \frac{B}{X-2} + \frac{C}{X-3}
En multipliant par (X-1) et en évaluant en X = 1 : A = \frac{1}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2} De même : B = \frac{1}{(2-1)(2-3)} = -1, \quad C = \frac{1}{(3-1)(3-2)} = \frac{1}{2}
Donc : \frac{1}{(X-1)(X-2)(X-3)} = \frac{1}{2(X-1)} - \frac{1}{X-2} + \frac{1}{2(X-3)}
Exemple 7.2 — (Décomposition sur \boldsymbol{\mathbb{R}})
Décomposons F(X) = \frac{1}{X^2 + 1}.
Le dénominateur X^2 + 1 est irréductible sur \mathbb{R} (discriminant -4 < 0). On cherche : \frac{1}{X^2 + 1} = \frac{\alpha X + \beta}{X^2 + 1} Par identification : \alpha = 0, \beta = 1. Donc la décomposition est simplement \frac{1}{X^2 + 1}.
7.3 Application au calcul de primitives
Exemple 7.3 — (Primitives de fractions rationnelles)
La décomposition en éléments simples permet de calculer les primitives.
- \int \frac{dx}{X - a} = \ln|X - a| + C
- \int \frac{dx}{(X - a)^k} = \frac{1}{(1-k)(X-a)^{k-1}} + C pour k \geq 2
- \int \frac{dX}{X^2 + 1} = \arctan X + C
- \int \frac{dX}{X^2 + pX + q} = \frac{1}{\sqrt{q - p^2/4}} \arctan\left(\frac{X + p/2}{\sqrt{q - p^2/4}}\right) + C si le discriminant est négatif
Exemple 7.4
Calculons \int \frac{dX}{X^2 - 1}.
On décompose : \frac{1}{X^2 - 1} = \frac{1}{(X-1)(X+1)} = \frac{1}{2(X-1)} - \frac{1}{2(X+1)}.
Donc : \int \frac{dX}{X^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln|X-1| - \frac{1}{2}\ln|X+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{X-1}{X+1}\right| + C
Exercice 7.1
Décomposer en éléments simples et calculer les primitives :
- \frac{X^2 + 1}{X^2 - 1}
- \frac{1}{X^3 - 1}
- \frac{X}{X^2 + X + 1}