TD — Polynômes et fractions rationnelles
Chapitre 11
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 11. Anneau \mathbb{K}[X], division euclidienne, racines, multiplicité, dérivée formelle, d’Alembert-Gauss, factorisation, fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.
Exercice 1
Effectuer la division euclidienne de A = X^4 + 2X^3 - X + 3 par B = X^2 + X - 1.
Exercice 2
Soit P(X) = X^4 - 4X^3 + 5X^2 - 2X.
- Montrer que 1 est racine. Quelle est sa multiplicité ?
- Factoriser P dans \mathbb{R}[X] puis dans \mathbb{C}[X].
Exercice 3
Factoriser dans \mathbb{C}[X] puis dans \mathbb{R}[X] :
- X^4 + 1
- X^6 - 1
Exercice 4
Décomposer en éléments simples :
- \dfrac{1}{X^2-1}
- \dfrac{X}{(X^2+1)^2}
- \dfrac{3X^2+1}{(X^2-1)^2}
Exercice 5
Déterminer la partie polaire en 1 de F(X) = \dfrac{X^2+3}{(X-1)^3(X+2)}.
Exercice 6
Calculer \mathrm{pgcd}(X^4-1, X^3+X^2+X+1) par l’algorithme d’Euclide.
Exercice 7
Soit P \in \mathbb{R}[X] tel que P(x) \geq 0 pour tout x \in \mathbb{R}. Montrer que P est somme de deux carrés de polynômes de \mathbb{R}[X].
Exercice 8
Décomposer en éléments simples \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}.
Exercice 9
Montrer que \dfrac{1}{X^n - 1} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\omega_k}{X - \omega_k} dans \mathbb{C}(X) où \omega_k = e^{2ik\pi/n}.
Exercice 10
Soit F = \dfrac{2X^2+7X-20}{X+2}. Déterminer la partie entière et décomposer en éléments simples.