TD — Calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires
Chapitre 10
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 10. Matrices, opérations, transposée, matrices inversibles, systèmes linéaires, pivot de Gauss.
Exercice 1
Calculer l’inverse des matrices suivantes :
- A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
- B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Exercice 2
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
Indication : A = 2I_2 + N avec N^2 = 0. Binôme de Newton.
Exercice 3
Résoudre par le pivot de Gauss :
\begin{cases} 2x + y + z = 3 \\ x - y + 3z = 8 \\ x + 2y - z = -3 \end{cases}
\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 3 \\ 3x + 3y + 3z = 4 \end{cases}
Exercice 4
Résoudre selon les valeurs de a, b \in \mathbb{R} : \begin{cases} x + y - z = a \\ -x + 2z = b \\ 2y + 2z = 4 \end{cases}
Exercice 5
Montrer que si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
Exercice 6
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) antisymétrique (A^T = -A). Montrer que si n est impair, \det(A) = 0.
Exercice 7
Résoudre le système homogène : \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \end{cases}
Exercice 8
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) idempotente (A^2 = A). Montrer que A est inversible si et seulement si A = I_n.
Exercice 9
Soient A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) et B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R}). Montrer que \mathrm{rg}(AB) \leq \min(\mathrm{rg}(A), \mathrm{rg}(B)).
Exercice 10
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1} par Gauss-Jordan.
Cours
Chapitre 10 : Calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires