Calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

TSI 1re année — Chapitre 10. Matrices, opérations, transposée, matrices inversibles, systèmes linéaires, pivot de Gauss-Jordan.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

Dans toute la section, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Calcul matriciel

1.1 Ensemble \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) des matrices

Définition 1.1

Une matrice est un tableau rectangulaire d’éléments de \mathbb{K}. Une matrice à n lignes et p colonnes est dite de taille n \times p. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté a_{i,j}.

On note \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans \mathbb{K}.

Une matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) s’écrit :

A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix} = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}

Exemple 1.1

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix} est une matrice de taille 2 \times 3.

Définition 1.2 — (Matrices particulières)

  • Matrice carrée : matrice de taille n \times n. On note \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) l’ensemble des matrices carrées de taille n.
  • Matrice ligne : matrice à une seule ligne (n = 1).
  • Matrice colonne : matrice à une seule colonne (p = 1).
  • Matrice nulle : matrice dont tous les coefficients sont nuls, notée 0_{n,p} ou simplement 0.
  • Matrice identité : matrice carrée I_n dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres coefficients valent 0.
  • Matrice scalaire : matrice carrée de la forme \lambda I_n.
  • Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.
  • Matrice triangulaire supérieure : matrice carrée dont tous les coefficients sous la diagonale sont nuls (a_{i,j} = 0 si i > j).
  • Matrice triangulaire inférieure : matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls (a_{i,j} = 0 si i < j).
  • Matrice symétrique : matrice carrée A telle que a_{i,j} = a_{j,i} pour tout (i,j).
  • Matrice antisymétrique : matrice carrée A telle que a_{i,j} = -a_{j,i} pour tout (i,j).

Exemple 1.2

  • I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} est la matrice identité d’ordre 3.
  • \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} est une matrice diagonale.
  • \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} est une matrice triangulaire supérieure.
  • \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} est une matrice symétrique.

1.2 Opérations sur les matrices

1.2.1 Addition et multiplication par un scalaire

Définition 1.3

Soient A = (a_{i,j}) et B = (b_{i,j}) deux matrices de \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et \lambda \in \mathbb{K}.

  • Somme : A + B est la matrice (a_{i,j} + b_{i,j}).
  • Multiplication par un scalaire : \lambda A est la matrice (\lambda a_{i,j}).
  • Combinaison linéaire : \lambda A + \mu B.

Proposition 1.1

L’ensemble \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n \times p.

1.2.2 Matrices élémentaires

Définition 1.4

Les matrices élémentaires de \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) sont les matrices E_{i,j} (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient (i,j) qui vaut 1.

Proposition 1.2

Toute matrice de \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est combinaison linéaire de matrices élémentaires :

A = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p} a_{i,j} E_{i,j}

1.2.3 Symbole de Kronecker

Définition 1.5

Le symbole de Kronecker \delta_{i,j} est défini par :

\delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}

Les coefficients de la matrice identité sont a_{i,j} = \delta_{i,j}.

1.2.4 Produit matriciel

Définition 1.6

Soient A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}). Le produit matriciel AB est la matrice C \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K}) dont les coefficients sont :

c_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,j}

La j-ème colonne du produit AB est le produit de A par la j-ème colonne de B.

Proposition 1.3 — (Propriétés du produit matriciel)

Soient A, B, C des matrices de tailles compatibles.

  1. Associativité : (AB)C = A(BC).
  2. Bilinéarité : A(B + C) = AB + AC et (\lambda A)B = \lambda(AB).
  3. Élément neutre : I_n A = A I_p = A pour A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}).
  4. Le produit matriciel n’est pas commutatif en général : AB \neq BA.

Exemple 1.3

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} et BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Donc AB \neq BA.

Il existe des matrices non nulles A et B telles que AB = 0. Par exemple :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implies AB = 0

1.2.5 Formule du binôme de Newton pour les matrices

Proposition 1.4

Si A et B sont deux matrices carrées de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) qui commutent (AB = BA), alors :

(A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^k

Pour A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), on pose A^0 = I_n et A^{n+1} = A^n \cdot A.

  • Si A est diagonale de diagonale (\lambda_1, \ldots, \lambda_n), alors A^n est diagonale de diagonale (\lambda_1^n, \ldots, \lambda_n^n).
  • Si A est triangulaire supérieure (resp. inférieure), alors A^n est aussi triangulaire supérieure (resp. inférieure).

1.2.6 Transposée d’une matrice

Définition 1.7

Soit A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}). La transposée de A, notée {}^tA (ou A^T), est la matrice de \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K}) définie par :

({}^tA)_{i,j} = a_{j,i}

Autrement dit, la transposée s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes.

Proposition 1.5 — (Propriétés de la transposée)

Soient A, B des matrices de tailles compatibles et \lambda \in \mathbb{K}.

  1. {}^t({}^tA) = A
  2. {}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB
  3. {}^t(\lambda A) = \lambda \, {}^tA
  4. {}^t(AB) = {}^tB \, {}^tA (attention à l’inversion de l’ordre)

Proposition 1.6 — (Caractérisation des matrices symétriques et antisymétriques)

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

  • A est symétrique si et seulement si {}^tA = A.
  • A est antisymétrique si et seulement si {}^tA = -A.
  • Toute matrice carrée A se décompose de manière unique en somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique :

A = \frac{A + {}^tA}{2} + \frac{A - {}^tA}{2}

1.2.7 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes

Définition 1.8

Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice sont :

  1. Échange : L_i \leftrightarrow L_j (i \neq j)
  2. Dilatation : L_i \leftarrow \lambda L_i (\lambda \neq 0)
  3. Transvection : L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j (i \neq j)

Les opérations élémentaires sur les colonnes sont définies de manière analogue.

Proposition 1.7

Chaque opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) correspond à la multiplication à gauche (resp. à droite) par une matrice élémentaire inversible.

1.2.8 Matrices inversibles

Définition 1.9

Une matrice carrée A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est dite inversible s’il existe une matrice B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) telle que :

AB = BA = I_n

La matrice B est unique et est appelée l’inverse de A, notée A^{-1}.

L’ensemble des matrices inversibles de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est noté \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) et est appelé groupe linéaire.

Proposition 1.8 — (Propriétés des matrices inversibles)

Soient A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}).

  1. (A^{-1})^{-1} = A
  2. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  3. (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1} (\lambda \neq 0)
  4. ({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})
  5. A est inversible si et seulement si A est inversible à gauche (resp. à droite).

Proposition 1.9 — (Inverse d’une matrice diagonale)

Une matrice diagonale D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) est inversible si et seulement si tous les \lambda_i sont non nuls. Dans ce cas :

D^{-1} = \mathrm{diag}\left(\frac{1}{\lambda_1}, \ldots, \frac{1}{\lambda_n}\right)

Proposition 1.10 — (Inverse d’une matrice triangulaire)

Une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est aussi une matrice triangulaire (de même type).

Proposition 1.11

Les opérations élémentaires sur les lignes préservent l’inversibilité. Le calcul de l’inverse d’une matrice peut se faire par opérations élémentaires sur la matrice augmentée (A | I_n), qui se transforme en (I_n | A^{-1}).

2 Systèmes d’équations linéaires

2.1 Généralités

Définition 2.1

Un système linéaire de n équations à p inconnues, à coefficients dans \mathbb{K}, est un système de la forme :

\begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,p}x_p = b_1 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_1 + a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,p}x_p = b_n \end{cases}

où a_{i,j}, b_i \in \mathbb{K}. Les inconnues sont x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{K}.

  • Le système est homogène si tous les b_i sont nuls.
  • Une solution du système est un p-uplet (x_1, \ldots, x_p) \in \mathbb{K}^p vérifiant toutes les équations.
  • Un système est compatible s’il admet au moins une solution.

Définition 2.2 — (Traduction matricielle)

Le système linéaire s’écrit sous forme matricielle :

AX = B

où A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est la matrice des coefficients, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix} est le vecteur des inconnues, et B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} est le second membre.

La matrice augmentée du système est notée (A|B).

Définition 2.3 — (Système homogène associé)

Le système homogène associé au système AX = B est le système :

AX = 0

2.2 Opérations élémentaires et systèmes équivalents

Définition 2.4

Deux systèmes linéaires sont dits équivalents si on passe de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions.

Deux matrices sont dites équivalentes par lignes si elles se déduisent l’une de l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. On note A \sim_L A'.

2.3 Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan

Définition 2.5 — (Matrice échelonnée par lignes)

Une matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est dite échelonnée par lignes si elle vérifie :

  1. Si une ligne de A est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi.
  2. Quand deux lignes successives de A sont non nulles, l’indice de colonne du premier terme non nul de la ligne supérieure est strictement inférieur à l’indice de colonne du premier terme non nul de la ligne inférieure.

Le premier terme non nul de chaque ligne non nulle est appelé pivot.

Définition 2.6 — (Matrice échelonnée réduite par lignes)

Une matrice échelonnée par lignes est dite échelonnée réduite par lignes si elle est nulle ou si tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne.

Théorème 2.1 — (Algorithme du pivot de Gauss-Jordan)

En utilisant les opérations élémentaires sur les lignes (échanges, transvections, dilatations), on peut transformer toute matrice non nulle en une matrice échelonnée réduite par lignes.

Mieux : toute matrice non nulle est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes.

Exemple 2.1

Échelonnons la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L_3 \leftarrow L_3 - L_1 :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}

L_3 \leftarrow L_3 - L_2 :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

L_2 \leftarrow -L_2 :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2 :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

C’est la matrice échelonnée réduite par lignes.

2.4 Résolution des systèmes linéaires

Proposition 2.1 — (Condition de compatibilité)

Le système linéaire AX = B est compatible si et seulement si B est combinaison linéaire des colonnes de A, c’est-à-dire si B \in \mathrm{Im}(A).

Proposition 2.2 — (Structure des solutions)

Si le système AX = B est compatible et si X_0 est une solution particulière, alors l’ensemble des solutions est :

\{X_0 + Y \mid Y \in \mathrm{Ker}(A)\}

Autrement dit, les solutions sont de la forme X_0 + Y où Y parcourt l’ensemble des solutions du système homogène associé AX = 0.

Exemple 2.2

Résolvons le système :

\begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + 4z = 9 \\ x + y + z = 3 \end{cases}

Matrice augmentée : (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 9 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Après échelonnement (comme ci-dessus) :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Le système équivaut à :

\begin{cases} x - z = 0 \\ y + 2z = 3 \end{cases}

Donc z est libre, x = z et y = 3 - 2z. Les solutions sont :

\left\{ \begin{pmatrix} t \\ 3 - 2t \\ t \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

2.5 Rang d’une matrice et d’un système linéaire

Définition 2.7

Le rang d’une matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), noté \mathrm{rg}(A), est le nombre de pivots d’une matrice échelonnée par lignes équivalente à A.

Le rang d’un système linéaire est le rang de sa matrice.

Proposition 2.3 — (Théorème du rang pour les systèmes)

Pour un système linéaire de n équations à p inconnues de rang r :

  • L’ensemble des solutions du système homogène associé est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p de dimension p - r.
  • Le système est compatible si et seulement si le rang de la matrice augmentée (A|B) est égal au rang de A.

Proposition 2.4 — (Cas des systèmes carrés)

Pour un système carré AX = B avec A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) :

  • A est inversible si et seulement si \mathrm{rg}(A) = n.
  • Dans ce cas, le système admet une unique solution X = A^{-1}B.

2.6 Application aux problèmes d’intersection en géométrie

Exemple 2.3 — (Intersection de droites dans \boldsymbol{\mathbb{R}^2})

Les droites \mathcal{D}_1 : 2x + 3y = 5 et \mathcal{D}_2 : x - y = 1 ont pour intersection la solution du système :

\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

Après résolution : x = \frac{7}{5}, y = \frac{3}{5}. Les droites sont sécantes.

Exemple 2.4 — (Intersection de plans dans \boldsymbol{\mathbb{R}^3})

Les plans \mathcal{P}_1 : x + y + z = 1, \mathcal{P}_2 : x - y + z = 0, \mathcal{P}_3 : 2x + y + 2z = 1 ont pour intersection la solution du système :

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = 0 \\ 2x + y + 2z = 1 \end{cases}

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Chapitre 10 : Calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires