Primitives et équations différentielles linéaires

Chapitre 09

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PCSI 1re année — Chapitre 09. Primitives, IPP, changement de variable, équations différentielles linéaires d’ordre 1 et d’ordre 2 à coefficients constants, problème de Cauchy.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et I désigne un intervalle de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point.

1 Primitives d’une fonction

1.1 Définition et propriétés

Définition 1.1

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F : I \to \mathbb{K} dérivable sur I telle que : \forall x \in I,\quad F'(x) = f(x)

Proposition 1.1

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction admettant une primitive F sur I. Alors :

  1. Toute primitive de f sur I est de la forme F + C, où C \in \mathbb{K} est une constante.
  2. Réciproquement, pour toute constante C \in \mathbb{K}, la fonction F + C est une primitive de f sur I.

Preuve. Si G est une autre primitive de f sur I, alors (G - F)' = G' - F' = f - f = 0 sur I. Comme I est un intervalle, G - F est constante sur I, donc G = F + C pour une certaine constante C.

Théorème 1.1 — (Existence de primitives)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Remarque. Ce résultat est admis à ce stade. Sa démonstration sera donnée dans le chapitre consacré à l’intégration.

Exemple 1.1

  • Les primitives de f(x) = x sur \mathbb{R} sont les fonctions F(x) = \frac{x^2}{2} + C, C \in \mathbb{R}.
  • Les primitives de f(x) = \frac{1}{x} sur ]0, +\infty[ sont les fonctions F(x) = \ln x + C, C \in \mathbb{R}.

1.2 Primitives des fonctions usuelles

Proposition 1.2 — (Table des primitives usuelles)

Les primitives des fonctions usuelles sont données dans le tableau suivant (sur un intervalle adapté) :

Fonction f(x) Primitive F(x)
x^n (n \in \mathbb{N}) \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\frac{1}{x} \ln|x| + C (sur un intervalle de \mathbb{R}^*)
e^{\alpha x} (\alpha \neq 0) \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} + C
\cos(ax) (a \neq 0) \frac{1}{a} \sin(ax) + C
\sin(ax) (a \neq 0) -\frac{1}{a} \cos(ax) + C
\cos^2(ax) (a \neq 0) \frac{x}{2} + \frac{1}{4a}\sin(2ax) + C
\sin^2(ax) (a \neq 0) \frac{x}{2} - \frac{1}{4a}\sin(2ax) + C
\tan(ax) (a \neq 0) -\frac{1}{a} \ln|\cos(ax)| + C
\frac{1}{\sqrt{x}} (sur \mathbb{R}^{+*}) 2\sqrt{x} + C

Exemple 1.2

Pour calculer les primitives de x \mapsto \cos^2(x), on utilise la formule de linéarisation : \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} donc : \int \cos^2(x)\, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C

2 Techniques de calcul de primitives

2.1 Intégration par parties (IPP)

Théorème 2.1 — (Intégration par parties)

Soient u, v deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur un intervalle I. Alors pour tous a, b \in I : \int_a^b u'(t)v(t)\, dt = \left[u(t)v(t)\right]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\, dt

Preuve. On a (uv)' = u'v + uv'. En intégrant les deux membres sur [a,b] : \int_a^b (uv)'(t)\, dt = \int_a^b u'(t)v(t)\, dt + \int_a^b u(t)v'(t)\, dt Or \int_a^b (uv)'(t)\, dt = [u(t)v(t)]_a^b, d’où le résultat.

Exemple 2.1

Calculons \int_0^1 x e^x\, dx.

Posons u(x) = x et v(x) = e^x, donc u'(x) = 1 et v'(x) = e^x. Alors : \int_0^1 x e^x\, dx = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\, dx = e - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e - 1) = 1

Exemple 2.2

Calculons \int_0^{\pi} t\sin(t)\, dt.

Posons u(t) = t et v'(t) = \sin(t), donc u'(t) = 1 et v(t) = -\cos(t). Alors : \int_0^{\pi} t\sin(t)\, dt = \left[-t\cos(t)\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos(t))\, dt = \pi + \left[\cos(t)\right]_0^{\pi} = \pi + (-1 - 1) = \pi - 2

2.2 Changement de variable

Théorème 2.2 — (Changement de variable)

Soit \varphi : J \to I une fonction de classe \mathcal{C}^1 et f : I \to \mathbb{K} une fonction continue. Alors pour tous a, b \in J : \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\, dt = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt

Exemple 2.3

Calculons \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx.

Posons t = 1 + x^2, donc dt = 2x\, dx et x\, dx = \frac{dt}{2}. Quand x = 0, t = 1 ; quand x = 1, t = 2. Donc : \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx = \int_1^2 \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\left[\ln t\right]_1^2 = \frac{\ln 2}{2}

Exemple 2.4

Calculons \int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\, dx.

Méthode 1 (changement de variable) : Posons t = \sin(x), donc dt = \cos(x)\, dx. Quand x = 0, t = 0 ; quand x = \frac{\pi}{2}, t = 1. Donc : \int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\, dx = \int_0^1 t\, dt = \frac{1}{2}

Méthode 2 (linéarisation) : \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}, donc : \int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\, dx = \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\, dx = \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}

Remarque. Le changement de variable affine x = a + (b-a)t permet de se ramener à l’intervalle [0,1]. Il est aussi utile pour exploiter la périodicité et les symétries d’une fonction.

Exemple 2.5

Pour calculer \int_0^{2\pi} \sin^2(x)\, dx, on peut utiliser la périodicité de \sin^2 (période \pi) : \int_0^{2\pi} \sin^2(x)\, dx = 2\int_0^{\pi} \sin^2(x)\, dx = 2\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2}\, dx = \int_0^{\pi} (1 - \cos(2x))\, dx = \pi

3 Équations différentielles linéaires du premier ordre

3.1 Définitions et structure des solutions

Définition 3.1

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation de la forme : \alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma(x) \quad (E) où \alpha, \beta et \gamma sont des fonctions définies sur un intervalle I, avec \alpha non identiquement nulle.

On appelle équation homogène associée à (E) l’équation : \alpha(x)y' + \beta(x)y = 0 \quad (E_0)

Une solution de (E) sur un sous-intervalle J \subset I est une fonction y : J \to \mathbb{K} dérivable sur J vérifiant (E) en tout point de J.

Remarque. On se ramène souvent à la forme normalisée y' + a(x)y = b(x) en divisant par \alpha(x) lorsque \alpha(x) \neq 0.

Définition 3.2

On dit que y est une solution de l’équation (E) sur I si y est une solution de (E) sur tout sous-intervalle de I sur lequel \alpha ne s’annule pas.

Proposition 3.1 — (Structure des solutions de l’équation homogène)

Soit I un intervalle sur lequel \alpha ne s’annule pas. Alors :

  1. L’ensemble des solutions de (E_0) sur I est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
  2. Si y_1 est une solution non nulle de (E_0) sur I, alors toute solution de (E_0) sur I est de la forme \lambda y_1, \lambda \in \mathbb{K}.

Proposition 3.2 — (Structure des solutions de l’équation complète)

Soit I un intervalle sur lequel \alpha ne s’annule pas. Alors :

  1. Si y_p est une solution particulière de (E) sur I, alors l’ensemble des solutions de (E) sur I est : \{y_p + y_0 \mid y_0 \text{ solution de } (E_0) \text{ sur } I\}
  2. En particulier, si y_1 est une solution non nulle de (E_0) sur I, l’ensemble des solutions de (E) est : \{y_p + \lambda y_1 \mid \lambda \in \mathbb{K}\}

Preuve. Si y est une solution de (E) et y_p une solution particulière, alors y - y_p est une solution de (E_0) car : \alpha(x)(y - y_p)' + \beta(x)(y - y_p) = \gamma(x) - \gamma(x) = 0

Remarque. Si y_1 est solution de \alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma_1(x) et y_2 est solution de \alpha(x)y' + \beta(x)y = \gamma_2(x), alors \lambda y_1 + \mu y_2 est solution de \alpha(x)y' + \beta(x)y = \lambda\gamma_1(x) + \mu\gamma_2(x).

3.2 Résolution de l’équation homogène

Théorème 3.1 — (Résolution de l’équation homogène)

Soit I un intervalle sur lequel a et b sont continues et a ne s’annule pas. Soit G une primitive de \frac{b}{a} sur I. Alors l’ensemble des solutions de y' + \frac{b(x)}{a(x)}y = 0 sur I est : \left\{x \mapsto \lambda e^{G(x)} \mid \lambda \in \mathbb{K}\right\}

Preuve. Si y est une solution de (E_0), posons z(x) = y(x)e^{-G(x)}. Alors : z'(x) = y'(x)e^{-G(x)} - y(x)G'(x)e^{-G(x)} = e^{-G(x)}\left(y'(x) + \frac{b(x)}{a(x)}y(x)\right) = 0 Donc z est constante sur I, et y(x) = \lambda e^{G(x)}.

Exemple 3.1

Résolvons y' - 2y = 0 sur \mathbb{R}.

Ici a(x) = 1, b(x) = -2. Une primitive de -2 est G(x) = -2x. Les solutions sont : y(x) = \lambda e^{-2x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

Exemple 3.2

Résolvons y' + \frac{1}{x}y = 0 sur ]0, +\infty[.

Ici a(x) = x, b(x) = 1. Une primitive de \frac{1}{x} sur ]0, +\infty[ est G(x) = \ln x. Les solutions sont : y(x) = \lambda e^{\ln x} = \lambda x, \quad \lambda \in \mathbb{R}

3.3 Méthode de variation de la constante

Théorème 3.2 — (Méthode de variation de la constante)

Soit I un intervalle sur lequel a, b et c sont continues et a ne s’annule pas. Soit y_1 une solution non nulle de l’équation homogène (E_0). Alors une solution particulière de (E) est donnée par : y_p(x) = y_1(x)\int_{x_0}^{x} \frac{c(t)}{a(t)y_1(t)}\, dt où x_0 \in I est fixé.

Exemple 3.3

Résolvons y' - y = e^x sur \mathbb{R}.

Étape 1 : Résolution de l’équation homogène y' - y = 0. Les solutions sont y_h(x) = \lambda e^x, \lambda \in \mathbb{R}.

Étape 2 : Méthode de variation de la constante. Posons y_p(x) = \lambda(x)e^x. Alors : y_p'(x) = \lambda'(x)e^x + \lambda(x)e^x En substituant dans l’équation : \lambda'(x)e^x + \lambda(x)e^x - \lambda(x)e^x = e^x \lambda'(x)e^x = e^x \lambda'(x) = 1 Donc \lambda(x) = x + C. Une solution particulière est y_p(x) = xe^x.

Solution générale : y(x) = xe^x + \lambda e^x = (x + \lambda)e^x, \lambda \in \mathbb{R}.

Exemple 3.4

Résolvons y' + y = xe^{-x} sur \mathbb{R}.

Étape 1 : Résolution de l’équation homogène y' + y = 0. Les solutions sont y_h(x) = \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}.

Étape 2 : Méthode de variation de la constante. Posons y_p(x) = \lambda(x)e^{-x}. Alors : y_p'(x) = \lambda'(x)e^{-x} - \lambda(x)e^{-x} En substituant : \lambda'(x)e^{-x} - \lambda(x)e^{-x} + \lambda(x)e^{-x} = xe^{-x} \lambda'(x)e^{-x} = xe^{-x} \lambda'(x) = x Donc \lambda(x) = \frac{x^2}{2} + C. Une solution particulière est y_p(x) = \frac{x^2}{2}e^{-x}.

Solution générale : y(x) = \left(\frac{x^2}{2} + \lambda\right)e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}.

3.4 Cas particulier : coefficients constants

Théorème 3.3 — (Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants)

Soient \alpha \neq 0 et \beta des constantes. L’équation \alpha y' + \beta y = \gamma(x) admet pour solution générale :

Équation homogène : y_h(x) = \lambda e^{-\beta x/\alpha}, \lambda \in \mathbb{K}.

Solution particulière : Si \gamma(x) = c est une constante et \beta \neq 0, une solution particulière est y_p = \frac{c}{\beta}.

Exemple 3.5

Résolvons y' + 3y = 6 sur \mathbb{R}.

Étape 1 : y' + 3y = 0 a pour solutions y_h(x) = \lambda e^{-3x}.

Étape 2 : Une solution particulière est y_p = \frac{6}{3} = 2.

Solution générale : y(x) = \lambda e^{-3x} + 2, \lambda \in \mathbb{R}.

3.5 Problème de Cauchy

Définition 3.3

On appelle problème de Cauchy associé à l’équation (E) et à la condition initiale y(x_0) = y_0 (où x_0 \in I et y_0 \in \mathbb{K} sont donnés) la recherche d’une solution y de (E) sur I vérifiant y(x_0) = y_0.

Théorème 3.4 — (Existence et unicité de la solution du problème de Cauchy)

Soit I un intervalle sur lequel a, b et c sont continues et a ne s’annule pas. Soit x_0 \in I et y_0 \in \mathbb{K}. Alors le problème de Cauchy : \begin{cases} y' + \frac{b(x)}{a(x)}y = \frac{c(x)}{a(x)} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} admet une unique solution sur I.

Exemple 3.6

Résolvons le problème de Cauchy : \begin{cases} y' - 2y = 0 \\ y(0) = 3 \end{cases}

Les solutions de y' - 2y = 0 sont y(x) = \lambda e^{-2x}. La condition y(0) = 3 donne \lambda = 3. La solution est donc : y(x) = 3e^{-2x}

Exemple 3.7

Résolvons le problème de Cauchy : \begin{cases} y' + y = 2e^x \\ y(0) = 0 \end{cases}

Étape 1 : Solutions de y' + y = 0 : y_h(x) = \lambda e^{-x}.

Étape 2 : Méthode de variation de la constante. Posons y_p(x) = \lambda(x)e^{-x}. \lambda'(x)e^{-x} = 2e^x \implies \lambda'(x) = 2e^{2x} \implies \lambda(x) = e^{2x} + C Une solution particulière est y_p(x) = e^x.

Solution générale : y(x) = e^x + \lambda e^{-x}.

Condition initiale : y(0) = 1 + \lambda = 0 \implies \lambda = -1.

La solution est y(x) = e^x - e^{-x} = 2\sinh(x).

4 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

4.1 Définition et structure des solutions

Définition 4.1

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants une équation de la forme : ay'' + by' + cy = f(x) \quad (E) où a \neq 0, b et c sont des constantes et f est une fonction continue sur un intervalle I.

L’équation homogène associée est : ay'' + by' + cy = 0 \quad (E_0)

Proposition 4.1 — (Structure des solutions)

  1. L’ensemble des solutions de (E_0) sur I est un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 2.
  2. Si y_p est une solution particulière de (E) sur I, alors l’ensemble des solutions de (E) sur I est : \{y_p + y_0 \mid y_0 \text{ solution de } (E_0)\}

4.2 Équation caractéristique

Définition 4.2

On appelle équation caractéristique associée à l’équation (E_0) l’équation : ar^2 + br + c = 0

Théorème 4.1 — (Résolution de l’équation homogène à coefficients constants)

Soit ar^2 + br + c = 0 l’équation caractéristique de discriminant \Delta = b^2 - 4ac.

  1. Si \Delta > 0 (deux racines réelles distinctes r_1 et r_2) : y(x) = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

  2. Si \Delta = 0 (racine double r) : y(x) = (\lambda x + \mu)e^{rx}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

  3. Si \Delta < 0 (racines complexes conjuguées r = \alpha \pm i\omega) : y(x) = e^{\alpha x}(\lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x)), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Preuve. Si r_1 et r_2 sont les deux racines distinctes de l’équation caractéristique, alors y_1(x) = e^{r_1 x} et y_2(x) = e^{r_2 x} sont deux solutions linéairement indépendantes de (E_0). En effet : a(r_1 e^{r_1 x})' + b(r_1 e^{r_1 x})' + c(e^{r_1 x}) = (ar_1^2 + br_1 + c)e^{r_1 x} = 0 De même pour y_2. Comme r_1 \neq r_2, y_1 et y_2 sont linéairement indépendantes. L’ensemble des solutions est donc \text{Vect}(y_1, y_2).

Exemple 4.1

Résolvons y'' - 5y' + 6y = 0.

L’équation caractéristique est r^2 - 5r + 6 = 0, de discriminant \Delta = 25 - 24 = 1 > 0. Les racines sont r_1 = 2 et r_2 = 3.

Les solutions sont : y(x) = \lambda e^{2x} + \mu e^{3x}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Exemple 4.2

Résolvons y'' - 4y' + 4y = 0.

L’équation caractéristique est r^2 - 4r + 4 = 0 = (r-2)^2, de discriminant \Delta = 0. La racine double est r = 2.

Les solutions sont : y(x) = (\lambda x + \mu)e^{2x}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Exemple 4.3

Résolvons y'' + 2y' + 5y = 0.

L’équation caractéristique est r^2 + 2r + 5 = 0, de discriminant \Delta = 4 - 20 = -16 < 0. Les racines complexes sont r = -1 \pm 2i.

Les solutions sont : y(x) = e^{-x}(\lambda\cos(2x) + \mu\sin(2x)), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}

4.3 Résolution de l’équation complète à coefficients constants

Théorème 4.2 — (Recherche d’une solution particulière)

Pour l’équation ay'' + by' + cy = f(x) à coefficients constants, on recherche une solution particulière selon la forme de f(x) :

  1. Si f(x) = c (constante) et c \neq 0 :
    • Si c \neq 0 : une solution particulière est y_p = \frac{c}{c} = \frac{c}{c} (si c \neq 0).
    • Si c = 0 et b \neq 0 : y_p = \frac{cx}{b}.
    • Si b = c = 0 : y_p = \frac{cx^2}{2a}.
  2. Si f(x) = P_n(x)e^{\alpha x} où P_n est un polynôme de degré n :
    • Si \alpha n’est pas racine de l’équation caractéristique : y_p = Q_n(x)e^{\alpha x} où Q_n est un polynôme de degré n.
    • Si \alpha est racine simple : y_p = xQ_n(x)e^{\alpha x}.
    • Si \alpha est racine double : y_p = x^2 Q_n(x)e^{\alpha x}.
  3. Si f(x) = P_n(x)\cos(\omega x) ou P_n(x)\sin(\omega x) : on cherche y_p = Q_n(x)\cos(\omega x) + R_n(x)\sin(\omega x) où Q_n et R_n sont des polynômes de degré n.

Exemple 4.4

Résolvons y'' - 3y' + 2y = 6.

Étape 1 : Équation homogène y'' - 3y' + 2y = 0. Équation caractéristique : r^2 - 3r + 2 = 0, racines r_1 = 1, r_2 = 2. Solutions : y_h(x) = \lambda e^x + \mu e^{2x}.

Étape 2 : Solution particulière. f(x) = 6 (constante). Comme c = 2 \neq 0, une solution particulière est y_p = \frac{6}{2} = 3.

Solution générale : y(x) = \lambda e^x + \mu e^{2x} + 3, \lambda, \mu \in \mathbb{R}.

Exemple 4.5

Résolvons y'' + y = \cos(x).

Étape 1 : Équation homogène y'' + y = 0. Équation caractéristique : r^2 + 1 = 0, racines r = \pm i. Solutions : y_h(x) = \lambda\cos(x) + \mu\sin(x).

Étape 2 : Solution particulière. f(x) = \cos(x). Comme \omega = 1 et \pm i sont racines de l’équation caractéristique, on cherche : y_p(x) = x(A\cos(x) + B\sin(x)) On calcule : y_p'(x) = A\cos(x) + B\sin(x) + x(-A\sin(x) + B\cos(x)) y_p''(x) = -A\sin(x) + B\cos(x) + (-A\sin(x) + B\cos(x)) + x(-A\cos(x) - B\sin(x)) = -2A\sin(x) + 2B\cos(x) - x(A\cos(x) + B\sin(x)) En substituant dans y'' + y = \cos(x) : -2A\sin(x) + 2B\cos(x) - x(A\cos(x) + B\sin(x)) + x(A\cos(x) + B\sin(x)) = \cos(x) -2A\sin(x) + 2B\cos(x) = \cos(x) Par identification : -2A = 0 \implies A = 0 et 2B = 1 \implies B = \frac{1}{2}.

Une solution particulière est y_p(x) = \frac{x}{2}\sin(x).

Solution générale : y(x) = \lambda\cos(x) + \mu\sin(x) + \frac{x}{2}\sin(x), \lambda, \mu \in \mathbb{R}.

4.4 Problème de Cauchy pour l’équation du second ordre

Définition 4.3

On appelle problème de Cauchy associé à l’équation (E) et aux conditions initiales y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_0' (où x_0 \in I, y_0, y_0' \in \mathbb{K} sont donnés) la recherche d’une solution y de (E) sur I vérifiant y(x_0) = y_0 et y'(x_0) = y_0'.

Théorème 4.3 — (Existence et unicité)

Soit I un intervalle. Soit x_0 \in I et y_0, y_0' \in \mathbb{K}. Alors le problème de Cauchy : \begin{cases} ay'' + by' + cy = f(x) \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_0' \end{cases} admet une unique solution sur I.

Exemple 4.6

Résolvons le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' + y = 0 \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 0 \end{cases}

Étape 1 : Solutions de y'' + y = 0 : y(x) = \lambda\cos(x) + \mu\sin(x).

Étape 2 : Conditions initiales. y(0) = \lambda = 1. y'(x) = -\lambda\sin(x) + \mu\cos(x), donc y'(0) = \mu = 0.

La solution est y(x) = \cos(x).

Exemple 4.7

Résolvons le problème de Cauchy : \begin{cases} y'' - 2y' + y = 0 \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 3 \end{cases}

Étape 1 : Équation caractéristique r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0, racine double r = 1. Solutions : y(x) = (\lambda x + \mu)e^x.

Étape 2 : Conditions initiales. y(0) = \mu = 1. y'(x) = (\lambda x + \mu)e^x + \lambda e^x = (\lambda x + \mu + \lambda)e^x. y'(0) = \mu + \lambda = 3 \implies \lambda = 2.

La solution est y(x) = (2x + 1)e^x.

5 Applications et modélisation

5.1 Régimes transitoire et établi

Remarque. Dans les applications physiques (circuits électriques RC, RL, RLC, systèmes mécaniques), la solution générale d’une équation différentielle linéaire se décompose en :

  • Régime transitoire : la solution de l’équation homogène, qui tend vers 0 quand t \to +\infty (si le système est stable).
  • Régime établi (ou forcé) : une solution particulière de l’équation complète, qui persiste quand t \to +\infty.

Exemple 5.1 — (Circuit RC)

Un circuit RC est modélisé par l’équation : RC\frac{du}{dt} + u = E où u est la tension aux bornes du condensateur, R la résistance, C la capacité et E la tension d’alimentation.

Solution : u(t) = E + \lambda e^{-t/(RC)}.

Le régime transitoire est \lambda e^{-t/(RC)} (qui tend vers 0) et le régime établi est E.

Exemple 5.2 — (Circuit RLC)

Un circuit RLC série est modélisé par : L\frac{d^2 u}{dt^2} + R\frac{du}{dt} + \frac{1}{C}u = \frac{1}{C}E

L’équation caractéristique est Lr^2 + Rr + \frac{1}{C} = 0. Selon le signe du discriminant \Delta = R^2 - \frac{4L}{C} :

  • \Delta > 0 : régime apériodique (deux racines réelles distinctes).
  • \Delta = 0 : régime critique (racine double).
  • \Delta < 0 : régime oscillatoire (racines complexes conjuguées).

5.2 Systèmes mécaniques linéaires

Exemple 5.3 — (Oscillateur harmonique)

Un oscillateur harmonique non amorti est modélisé par : m\frac{d^2 x}{dt^2} + kx = 0 où m est la masse et k la constante de raideur.

L’équation caractéristique est mr^2 + k = 0, de racines r = \pm i\omega avec \omega = \sqrt{k/m}.

Les solutions sont : x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = A_0\cos(\omega t + \varphi)

C’est un mouvement périodique de période T = \frac{2\pi}{\omega}.

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Chapitre 09 : Primitives et équations différentielles linéaires