Fonctions usuelles, fonctions convexes
Chapitre 08
PCSI 1re année — Chapitre 08. exp, ln, puissances, trigonométrie circulaire et hyperbolique, fonctions réciproques, convexité, inégalité de Jensen, applications.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
1 Généralités sur l’étude d’une fonction
1.1 Détermination des symétries et des périodicités
Afin de réduire le domaine d’étude d’une fonction, on détermine ses symétries et ses périodicités.
Définition 1.1
Soit I un intervalle de \mathbb{R} symétrique par rapport à 0 et f:I\to \mathbb{R} une fonction.
- f est paire si \forall x\in I,\ f(-x)=f(x). Le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- f est impaire si \forall x\in I,\ f(-x)=-f(x). Le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
Définition 1.2
Soit f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction et T > 0. La fonction f est dite périodique de période T si \forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T)=f(x). Le graphe est invariant par la translation de vecteur T\vec{i}.
1.2 Tableau de variations et tracé du graphe
Le tableau de variations résume le comportement d’une fonction : sens de variation, extremums, limites. Il permet de tracer le graphe de la fonction.
Asymptotes :
- Asymptote verticale en a si \lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty.
- Asymptote horizontale y=\ell si \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell.
- Asymptote oblique y=ax+b si \lim_{x\to\pm\infty} [f(x)-(ax+b)] = 0.
1.3 Graphe d’une réciproque
Le graphe de f^{-1} est le symétrique du graphe de f par rapport à la première bissectrice y=x.
2 Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances
Les fonctions puissances, l’exponentielle réelle et les fonctions sinus et cosinus sont décrites en détail mais leur existence est admise ; leurs propriétés peuvent être démontrées en partie. On en déduit l’étude des autres fonctions usuelles.
Définition 2.1 — (Fonction exponentielle)
La fonction exponentielle \exp : \mathbb{R} \to ]0,+\infty[ est l’unique fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que \exp' = \exp et \exp(0)=1. On note e^x = \exp(x).
Proposition 2.1 — (Propriétés de l’exponentielle)
- \exp est strictement croissante sur \mathbb{R}.
- \forall x,y \in \mathbb{R},\ e^{x+y} = e^x \cdot e^y.
- \forall x \in \mathbb{R},\ e^{-x} = \frac{1}{e^x}.
- \forall x \in \mathbb{R},\ e^x > 0.
- \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty et \lim_{x\to-\infty} e^x = 0.
Définition 2.2 — (Fonction logarithme népérien)
La fonction logarithme népérien \ln : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R} est la bijection réciproque de \exp. Elle est dérivable et \ln'(x) = \frac{1}{x}.
Proposition 2.2 — (Propriétés du logarithme)
- \ln est strictement croissante sur ]0,+\infty[.
- \forall x,y > 0,\ \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y).
- \forall x > 0,\ \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x).
- \forall x > 0,\ \forall n \in \mathbb{Z},\ \ln(x^n) = n\ln(x).
- \lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty et \lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty.
Définition 2.3 — (Fonctions puissances)
Pour \alpha \in \mathbb{R}, la fonction puissance x \mapsto x^\alpha est définie sur ]0,+\infty[ par x^\alpha = e^{\alpha \ln x}.
Pour n \in \mathbb{N}^*, la fonction x \mapsto x^n est définie sur \mathbb{R} tout entier.
Proposition 2.3 — (Relations fonctionnelles)
Pour x,y > 0 et \alpha, \beta \in \mathbb{R} :
- (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha
- x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta
- (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}
Définition 2.4 — (Logarithme en base \boldsymbol{a})
Pour a > 0, a \neq 1, on définit le logarithme en base a par : \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}
En particulier, le logarithme décimal est \log_{10} et le logarithme en base 2 est \log_2.
2.1 Croissances comparées
Proposition 2.4 — (Croissances comparées)
Pour tout \alpha > 0 :
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0 \qquad \lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0
En particulier, au voisinage de +\infty : \ln(x) \ll x^\alpha \ll e^x.
3 Fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques
3.1 Fonctions circulaires
Les fonctions \sin, \cos, \tan sont 2\pi-périodiques (sauf \tan qui est \pi-périodique).
| Fonction | Dérivée | Période |
|---|---|---|
| \sin x | \cos x | 2\pi |
| \cos x | -\sin x | 2\pi |
| \tan x | 1+\tan^2 x | \pi |
Proposition 3.1 — (Formules d’addition)
Pour tout a,b \in \mathbb{R} :
- \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
- \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
- \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} (si défini)
3.2 Fonctions hyperboliques
Définition 3.1
Les fonctions hyperboliques sont définies par :
\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
Proposition 3.2
- \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1
- \cosh'(x) = \sinh(x) et \sinh'(x) = \cosh(x)
- \tanh'(x) = 1 - \tanh^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}
- \cosh est paire, \sinh est impaire.
- \cosh(x) \ge 1 pour tout x \in \mathbb{R}.
3.3 Fonction \theta \mapsto e^{i\theta}
Définition 3.2
Pour \theta \in \mathbb{R}, on pose e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
Proposition 3.3 — (Formules d’Euler)
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
Proposition 3.4 — (Formule de Moivre)
Pour tout \theta \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z} : (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)
4 Fonctions réciproques
4.1 Fonctions réciproques circulaires
Définition 4.1 — (arcsin)
La fonction \arcsin : [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] est la bijection réciproque de \sin restreinte à \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad \text{pour } x \in ]-1,1[
Définition 4.2 — (arccos)
La fonction \arccos : [-1,1] \to [0,\pi] est la bijection réciproque de \cos restreinte à [0,\pi].
\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad \text{pour } x \in ]-1,1[
Définition 4.3 — (arctan)
La fonction \arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ est la bijection réciproque de \tan restreinte à \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.
\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}
Proposition 4.1
Pour tout x \in [-1,1] : \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}.
4.2 Fonctions réciproques hyperboliques
Définition 4.4 — (argsh)
La fonction \operatorname{argsh} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est la bijection réciproque de \sinh.
\operatorname{argsh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}
Définition 4.5 — (argcosh)
La fonction \operatorname{argcosh} : [1,+\infty[ \to [0,+\infty[ est la bijection réciproque de \cosh restreinte à [0,+\infty[.
\operatorname{argcosh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \quad \text{pour } x \in ]1,+\infty[
Définition 4.6 — (argth)
La fonction \operatorname{argth} : ]-1,1[ \to \mathbb{R} est la bijection réciproque de \tanh.
\operatorname{argth}'(x) = \frac{1}{1-x^2} \quad \text{pour } x \in ]-1,1[
5 Fonctions convexes
L’objectif de cette section est d’étudier les fonctions convexes d’une variable réelle. Le cours gagne à être illustré par de nombreuses figures. On soulignera l’intérêt des fonctions convexes pour obtenir des inégalités.
5.1 Définition et interprétation géométrique
Définition 5.1
Une fonction f : I \to \mathbb{R} est convexe sur l’intervalle I si pour tout (x,y) \in I^2 et tout \lambda \in [0,1] : f((1-\lambda)x + \lambda y) \le (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y)
Une fonction f est concave si -f est convexe.
Interprétation géométrique : une fonction convexe est une fonction dont le graphe est « en dessous » de ses cordes. Autrement dit, le graphe de f est en dessous de la corde reliant deux points quelconques du graphe.
Proposition 5.1 — (Caractérisations des fonctions convexes)
Position relative du graphe et d’une de ses cordes : f est convexe si et seulement si pour tout x,y \in I et \lambda \in [0,1] : f((1-\lambda)x + \lambda y) \le (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y)
Inégalité des pentes : f est convexe si et seulement si pour tout x_1 < x_2 < x_3 dans I : \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}
Caractérisation par la dérivée : si f est dérivable sur I, alors f est convexe si et seulement si f' est croissante sur I.
Caractérisation par la dérivée seconde : si f est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe si et seulement si f''(x) \ge 0 pour tout x \in I.
Proposition 5.2 — (Position relative du graphe et de ses tangentes)
Si f est convexe et dérivable sur I, alors le graphe de f est au-dessus de ses tangentes : \forall x, x_0 \in I,\quad f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)
5.2 Inégalité de Jensen
Théorème 5.1 — (Inégalité de Jensen)
Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction convexe. Soient x_1, x_2, \ldots, x_n des points de I et \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n des éléments de \mathbb{R}_+ de somme 1. Alors : f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)
Remarque. L’inégalité de Jensen généralise la définition de la convexité à un nombre quelconque de points. Elle est particulièrement utile pour obtenir des inégalités.
5.3 Applications
Proposition 5.3 — (Inégalité arithmético-géométrique)
Pour tout x_1, x_2, \ldots, x_n > 0 : \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
Cette inégalité se démontre en appliquant l’inégalité de Jensen à la fonction convexe f(x) = -\ln(x) sur ]0,+\infty[.
Proposition 5.4 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tout x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{R} : \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)
Proposition 5.5 — (Inégalité de Young)
Pour tout a,b > 0 et p,q > 1 tels que \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 : ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}
Cette inégalité se démontre en appliquant l’inégalité de Jensen à la fonction convexe f(x) = e^x.