Fonctions de la variable réelle, dérivation
Chapitre 07
PCSI (1re année) — Chapitre 07. Dérivabilité, théorème de Rolle, accroissements finis, dérivées d’ordre supérieur, classes \mathcal{C}^k, suites récurrentes.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Les fonctions sont définies sur un intervalle I de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point.
1 Dérivée
1.1 Dérivée en un point
Définition 1.1
Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction et x_0 \in I. On dit que f est dérivable en x_0 si le taux d’accroissement \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} admet une limite finie lorsque x tend vers x_0. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en x_0 et notée f'(x_0). Ainsi : f'(x_0)= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
Définition 1.2
f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. La fonction x \mapsto f'(x) est la fonction dérivée de f, notée f' ou \frac{df}{dx}.
Exemple 1.1
La fonction f(x)=x^2 est dérivable en tout x_0 \in \mathbb{R} car : \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = x+x_0 \xrightarrow[x \to x_0]{} 2x_0. Donc f'(x)=2x.
Exemple 1.2
Montrons que la dérivée de f(x)=\sin x est f'(x)=\cos x. En utilisant \sin p-\sin q = 2\sin \frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2} et \frac{\sin u}{u} \to 1 quand u \to 0 : \frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0} = \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}} \cdot \cos \frac{x+x_0}{2} \xrightarrow[x\to x_0]{} 1 \cdot \cos x_0.
1.2 Tangente
La droite passant par (x_0,f(x_0)) et (x,f(x)) a pour coefficient directeur \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. À la limite, le coefficient directeur de la tangente est f'(x_0). Une équation de la tangente au graphe en (x_0,f(x_0)) est : y = (x-x_0) f'(x_0) + f(x_0)
1.3 Autres écritures de la dérivée
Proposition 1.1
f est dérivable en x_0 si et seulement s’il existe \ell \in \mathbb{K} (qui sera f'(x_0)) et une fonction \epsilon : I \to \mathbb{R} telle que \epsilon(x) \xrightarrow[x\to x_0]{} 0 avec : f(x)=f(x_0)+(x-x_0) \ell + (x-x_0) \epsilon(x).
Proposition 1.2
Si f est dérivable en x_0 alors f est continue en x_0. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.
Remarque. La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’y est pas dérivable. Il y a une demi-tangente à droite (pente +1) et une demi-tangente à gauche (pente -1), mais elles ont des directions différentes.
Remarque. On définit de même la dérivabilité à gauche et à droite en x_0. f est dérivable en x_0 si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en x_0 avec f_g'(x_0)=f_d'(x_0).
2 Calcul des dérivées
2.1 Somme, produit, quotient
Proposition 2.1
Soient f,g : I \to \mathbb{K} deux fonctions dérivables sur I. Pour tout x \in I :
- (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
- (\lambda f)'(x) = \lambda f'(x) où \lambda \in \mathbb{K}
- (f \times g)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
- \left(\frac{1}{f}\right)'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2} (si f(x) \neq 0)
- \left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} (si g(x) \neq 0)
2.2 Dérivée de fonctions usuelles
| Fonction | Dérivée | Domaine |
|---|---|---|
| x^n | nx^{n-1} | n \in \mathbb{Z} |
| \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2} | \mathbb{R}^* |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | \mathbb{R}_+^* |
| x^\alpha | \alpha x^{\alpha-1} | \alpha \in \mathbb{R} |
| e^x | e^x | \mathbb{R} |
| \ln x | \frac{1}{x} | \mathbb{R}_+^* |
| \cos x | -\sin x | \mathbb{R} |
| \sin x | \cos x | \mathbb{R} |
| \tan x | 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} | \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\} |
Remarque. Pour dériver x \mapsto a^x (a>0), il faut écrire a^x = e^{x\ln a}, d’où (a^x)' = \ln(a) \cdot a^x.
2.3 Composition
Proposition 2.2
Si f est dérivable en x et g est dérivable en f(x) alors g\circ f est dérivable en x de dérivée : (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)
Corollaire 2.1
Soit f : I \to J dérivable et bijective de bijection réciproque f^{-1} : J \to I. Si f' ne s’annule pas sur I alors f^{-1} est dérivable et pour tout y \in J : (f^{-1})'(y)= \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
2.4 Dérivées successives et classes \mathcal{C}^k
Définition 2.1
Si f' est dérivable, on note f''=(f')' la dérivée seconde. Plus généralement, f^{(0)} = f et f^{(n+1)} = (f^{(n)})'. Si f^{(n)} existe, f est n fois dérivable. Si de plus f^{(n)} est continue, f est de classe \mathcal{C}^n. Si f est \mathcal{C}^n pour tout n, elle est de classe \mathcal{C}^\infty.
Théorème 2.1 — (Formule de Leibniz)
Si f et g sont n fois dérivables sur I : (f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} \cdot g^{(k)}
3 Extremum local, théorème de Rolle
3.1 Extremum local
Définition 3.1
- x_0 est un point critique de f si f'(x_0)=0.
- f admet un maximum local (resp. minimum local) en x_0 s’il existe un intervalle ouvert J contenant x_0 tel que f(x) \leq f(x_0) (resp. f(x) \geq f(x_0)) pour tout x \in I \cap J.
Théorème 3.1
Soit I un intervalle ouvert et f : I \to \mathbb{R} dérivable. Si f admet un extremum local en x_0 \in I, alors f'(x_0)=0.
Remarque. La réciproque est fausse : f(x)=x^3 vérifie f'(0)=0 mais 0 n’est pas un extremum local. Attention aussi aux extrémités d’un intervalle fermé où f'(a) et f'(b) ne sont pas nécessairement nulles.
3.2 Théorème de Rolle
Théorème 3.2 — (Théorème de Rolle)
Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} telle que : - f est continue sur [a,b], - f est dérivable sur ]a,b[, - f(a)=f(b).
Alors il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c)=0.
Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe où la tangente est horizontale.
4 Théorème des accroissements finis
4.1 Énoncé et conséquences
Théorème 4.1 — (Théorème des accroissements finis)
Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Il existe c \in ]a,b[ tel que : f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)
Théorème 4.2 — (Limite de la dérivée)
Soit f: I \to \mathbb{K} continue sur I et dérivable sur I \setminus \{x_0\}. Si f'(x) \xrightarrow[x\to x_0]{} \ell \in \mathbb{K}, alors f est dérivable en x_0 et f'(x_0)=\ell (donc f' est continue en x_0).
Corollaire 4.1
Soit f:[a,b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. - \forall x \in ]a,b[, f'(x) \geq 0 \iff f est croissante. - \forall x \in ]a,b[, f'(x) > 0 \implies f est strictement croissante. - \forall x \in ]a,b[, f'(x) = 0 \iff f est constante.
Remarque. La réciproque de “f'(x)>0 \implies f strictement croissante” est fausse (x \mapsto x^3 est strictement croissante mais sa dérivée s’annule en 0).
4.2 Inégalité des accroissements finis
Corollaire 4.2 — (Inégalité des accroissements finis)
Soit f : I \to \mathbb{K} dérivable sur un intervalle ouvert I. S’il existe M tel que |f'(x)| \leq M pour tout x \in I, alors : \forall x,y \in I, \quad |f(x)-f(y)| \leq M |x-y|
Remarque. Cette inégalité est valable pour les fonctions à valeurs dans \mathbb{C} (contrairement au TAF). Une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne.
4.3 Règle de l’Hospital
Corollaire 4.3 — (Règle de l’Hospital)
Soient f,g : I \to \mathbb{R} dérivables, x_0 \in I avec f(x_0)=g(x_0)=0 et g'(x) \neq 0 sur I \setminus \{x_0\}. Si \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \ell \in \mathbb{R}, alors \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \ell.
5 Suites récurrentes
5.1 Étude des suites u_{n+1}=f(u_n)
L’étude des suites récurrentes permet d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique).
Définition 5.1
Un intervalle J est stable par f si f(J) \subset J. Un réel \alpha est un point fixe de f si f(\alpha)=\alpha.
Proposition 5.1
Si (u_n) converge vers \alpha et si f est continue en \alpha, alors \alpha est un point fixe de f.
Remarque. Pour étudier la monotonie de (u_n), on étudie le signe de f(x)-x et on utilise la croissance éventuelle de f : - Si f est croissante sur un intervalle stable J, alors (u_n) est monotone. - Si f est décroissante, (u_{2n}) et (u_{2n+1}) sont monotones de sens opposés.
Proposition 5.2 — (Vitesse de convergence)
Soit \alpha un point fixe de f et (u_n) définie par u_{n+1}=f(u_n) convergeant vers \alpha. - Si |f'(x)| \leq k < 1 au voisinage de \alpha (contractante), la convergence est géométrique : |u_n-\alpha| \leq C k^n. - Si f'(\alpha)=0 et f'' est bornée au voisinage de \alpha, la convergence est quadratique : |u_{n+1}-\alpha| \leq C |u_n-\alpha|^2.
Exemple 5.1 — (Méthode de Newton)
Pour résoudre g(x)=0 avec g de classe \mathcal{C}^2 et g'(\alpha) \neq 0, on utilise f(x)=x-\frac{g(x)}{g'(x)}. On vérifie que f(\alpha)=\alpha et f'(\alpha)=0, ce qui assure une convergence quadratique vers \alpha si u_0 est assez proche de \alpha.