Fonctions de la variable réelle, limites et continuité
Chapitre 06
PCSI (1re année) — Chapitre 06. Limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, continuité et monotonie stricte, fonctions réciproques.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R} non vide et non réduit à un point. Les fonctions considérées sont à valeurs dans \mathbb{K} (\mathbb{R} ou \mathbb{C}), sauf mention explicite du contraire. Le point a considéré est toujours élément de I ou extrémité de I.
1 Généralités sur les fonctions
1.1 Ensemble de définition et représentation graphique
L’ensemble de définition d’une fonction f, noté D_f, est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
La représentation graphique (ou courbe représentative) d’une fonction f : D_f \to \mathbb{R} dans un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) est l’ensemble des points M(x, f(x)) pour x \in D_f.
Remarque. On peut étudier les transformations suivantes du graphe : - x \mapsto f(x) + a : translation verticale de vecteur a\vec{j}. - x \mapsto f(x+a) : translation horizontale de vecteur -a\vec{i}. - x \mapsto f(-x) : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. - x \mapsto -f(x) : symétrie par rapport à l’axe des abscisses. - x \mapsto |f(x)| : on conserve la partie positive et on réfléchit la partie négative par rapport à l’axe des abscisses.
1.2 Parité, périodicité et réduction du domaine d’étude
Définition 1.1
Soit D une partie de \mathbb{R} symétrique par rapport à 0 et f : D \to \mathbb{R}. - f est paire si \forall x \in D, f(-x) = f(x). Le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. - f est impaire si \forall x \in D, f(-x) = -f(x). Le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
Définition 1.2
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est périodique de période T > 0 si \forall x \in \mathbb{R}, f(x+T) = f(x). On peut alors restreindre l’étude à un intervalle de longueur T.
1.3 Opérations sur les fonctions
Soient f, g : I \to \mathbb{K} et \lambda \in \mathbb{K}. On définit : - La combinaison linéaire : (\lambda f + g)(x) = \lambda f(x) + g(x). - Le produit : (fg)(x) = f(x)g(x). - Le quotient : \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} si g(x) \neq 0. - La composée : (g \circ f)(x) = g(f(x)) si f(I) \subset D_g. - \max(f,g) et \min(f,g) si \mathbb{K}=\mathbb{R}.
1.4 Monotonie
Définition 1.3
f : I \to \mathbb{R} est : - croissante si \forall (x,y) \in I^2, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y). - strictement croissante si \forall (x,y) \in I^2, x < y \Rightarrow f(x) < f(y). - monotone si elle est croissante ou décroissante.
1.5 Fonctions majorées, minorées, bornées
Définition 1.4
f : I \to \mathbb{R} est : - majorée s’il existe M \in \mathbb{R} tel que \forall x \in I, f(x) \leq M. - minorée s’il existe m \in \mathbb{R} tel que \forall x \in I, f(x) \geq m. - bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire \exists K \geq 0, \forall x \in I, |f(x)| \leq K.
2 Limites
2.1 Limite finie ou infinie en un point
Définition 2.1 — (Limite finie)
Soit f : I \to \mathbb{K} et a \in \overline{I}. On dit que f admet pour limite \ell \in \mathbb{K} en a si : \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x \in I, (|x-a| < \eta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon) On note \lim_{x \to a} f(x) = \ell.
Définition 2.2 — (Limite infinie)
f tend vers +\infty en a si : \forall A > 0, \exists \eta > 0, \forall x \in I, (|x-a| < \eta \Rightarrow f(x) > A)
Théorème 2.1 — (Unicité de la limite)
Si une fonction admet une limite (finie ou infinie) en un point a, cette limite est unique.
2.2 Limites à gauche et à droite
Définition 2.3
- Limite à droite en a : limite de la restriction de f à I \cap ]a, +\infty[. Notée \lim_{x \to a^+} f(x).
- Limite à gauche en a : limite de la restriction de f à I \cap ]-\infty, a[. Notée \lim_{x \to a^-} f(x).
Proposition 2.1
f admet une limite \ell en a si et seulement si f admet \ell comme limite à droite et à gauche en a.
2.3 Caractérisation séquentielle de la limite
Théorème 2.2
\lim_{x \to a} f(x) = \ell si et seulement si pour toute suite (u_n) d’éléments de I \setminus \{a\} convergeant vers a, la suite (f(u_n)) converge vers \ell.
Remarque. Ce théorème est très utile pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite en un point (en exhibant deux suites donnant des limites différentes).
2.4 Opérations algébriques sur les limites
Théorème 2.3
Si \lim_{x \to a} f(x) = \ell et \lim_{x \to a} g(x) = \ell' (avec \ell, \ell' \in \overline{\mathbb{K}} sous réserve de formes indéterminées) : - \lim (\lambda f + g) = \lambda \ell + \ell' - \lim (fg) = \ell \ell' - Si \ell \neq 0, \lim (1/f) = 1/\ell
2.5 Composition de limites
Théorème 2.4
Si \lim_{x \to a} f(x) = b et \lim_{y \to b} g(y) = \ell, alors \lim_{x \to a} (g \circ f)(x) = \ell.
2.6 Conservation des inégalités et théorèmes d’encadrement
Théorème 2.5 — (Conservation des inégalités larges)
Si f(x) \leq g(x) au voisinage de a et si les deux limites existent, alors \lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x).
Théorème 2.6 — (Théorème des gendarmes)
Si f(x) \leq h(x) \leq g(x) au voisinage de a et si \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \ell, alors \lim_{x \to a} h(x) = \ell.
Théorème 2.7 — (Théorèmes de comparaison pour limites infinies)
- Si f(x) \geq g(x) au voisinage de a et \lim_{x \to a} g(x) = +\infty, alors \lim_{x \to a} f(x) = +\infty.
- Si f(x) \leq g(x) au voisinage de a et \lim_{x \to a} g(x) = -\infty, alors \lim_{x \to a} f(x) = -\infty.
3 Continuité
3.1 Continuité en un point
Définition 3.1
f : I \to \mathbb{K} est continue en a \in I si \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
Proposition 3.1
f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche en a.
Théorème 3.1 — (Caractérisation séquentielle de la continuité)
f est continue en a si et seulement si pour toute suite (u_n) de I convergeant vers a, (f(u_n)) converge vers f(a).
3.2 Opérations sur les fonctions continues
Théorème 3.2
Si f et g sont continues en a \in I : - \lambda f + g, fg sont continues en a. - Si g(a) \neq 0, f/g est continue en a. - Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g \circ f est continue en a.
3.3 Continuité sur un intervalle
Définition 3.2
f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
4 Théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues
4.1 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème 4.1 — (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} une fonction continue. Pour tout réel \gamma compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c \in [a,b] tel que f(c) = \gamma.
Corollaire 4.1
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Remarque. Le TVI permet de prouver l’existence de solutions d’équations f(x)=0 mais pas leur unicité.
4.2 Principe de dichotomie
Le TVI justifie l’algorithme de dichotomie pour approcher une solution de f(x)=0 lorsque f(a)f(b) < 0. On divise l’intervalle en deux à chaque étape, garantissant une précision de (b-a)/2^n après n itérations.
4.3 Théorème des bornes atteintes
Théorème 4.2
Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} une fonction continue sur un segment. Alors f est bornée et atteint ses bornes : il existe c, d \in [a,b] tels que : f(c) = \min_{x \in [a,b]} f(x) \quad \text{et} \quad f(d) = \max_{x \in [a,b]} f(x)
Remarque. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment. Ce théorème est faux sur un intervalle ouvert.
5 Continuité et monotonie stricte. Fonctions réciproques
5.1 Bijection continue strictement monotone
Théorème 5.1
Soit f : I \to \mathbb{R} une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors : 1. f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f(I). 2. La bijection réciproque f^{-1} : J \to I est continue et strictement monotone, de même sens de variation que f. 3. Les graphes de f et f^{-1} sont symétriques par rapport à la première bissectrice y=x.
Remarque. Une fonction continue injective sur un intervalle est nécessairement strictement monotone.
5.2 Exemples classiques de fonctions réciproques
Les fonctions usuelles suivantes sont des bijections continues strictement monotones dont les réciproques sont fondamentales :
| Fonction f | Intervalle I | Image J | Réciproque f^{-1} |
|---|---|---|---|
| x \mapsto x^n (n \in \mathbb{N}^*) | [0, +\infty[ | [0, +\infty[ | x \mapsto \sqrt[n]{x} |
| x \mapsto e^x | \mathbb{R} | ]0, +\infty[ | x \mapsto \ln x |
| x \mapsto \sin x | [-\pi/2, \pi/2] | [-1, 1] | x \mapsto \arcsin x |
| x \mapsto \cos x | [0, \pi] | [-1, 1] | x \mapsto \arccos x |
| x \mapsto \tan x | ]-\pi/2, \pi/2[ | \mathbb{R} | x \mapsto \arctan x |
| x \mapsto \sinh x | \mathbb{R} | \mathbb{R} | x \mapsto \operatorname{arsinh} x |
| x \mapsto \cosh x | [0, +\infty[ | [1, +\infty[ | x \mapsto \operatorname{arcosh} x |
| x \mapsto \tanh x | \mathbb{R} | ]-1, 1[ | x \mapsto \operatorname{artanh} x |
Exemple 5.1
Résoudre \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.
On sait que pour tout x \in [-1,1], \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. L’équation est donc vérifiée pour tout x \in [-1,1].
Document en PDF
Chapitre 06 : Fonctions de la variable réelle, limites et continuité