Suites numériques

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

21 août 2026

PCSI (1re année) — Chapitre 05. Modes de définition, limites, convergence, opérations sur les limites, théorèmes de convergence, suites adjacentes, suites extraites, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d’ordre 2.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Généralités

1.1 Définitions et modes de définition

Définition 1.1

Une suite numérique (réelle ou complexe) est une famille (u_n)_{n\in \mathbb{N}} d’éléments de \mathbb{K} indexée par \mathbb{N} (parfois par \mathbb{N}^*, ou par \mathbb{N}\setminus\{0,\dots, n_0-1\}). Il s’agit donc d’une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{K}.

u_n s’appelle le terme général de la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}}.

Exemple 1.1

Voici quelques exemples de suites :

  1. (2)_{n\in \mathbb{N}},\ \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in \mathbb{N}^*},\ \left(\sin(n)\right)_{n\in \mathbb{N}},\ \left(e^{in\frac{\pi}{2}}\right)_{n\in \mathbb{N}},\ \left(\frac{1}{\sqrt{n^2-3n+2}}\right)_{n\geq 3},\ (i^n)_{n\in \mathbb{N}}
  2. La suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} dont le terme général est défini par : \begin{cases} u_0\in \mathbb{R}^+\\ \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\sqrt{u_n}\end{cases}
  3. La suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} dont le terme général est défini par : \begin{cases} u_0=1,\ u_1=2\\ \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n\end{cases}
  4. (F_n)_{n\geq 0} définie par F_0=1, F_1=1 et la relation F_{n+2}=F_{n+1}+F_n pour n\in \mathbb{N} (suite de Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, Chaque terme est la somme des deux précédents.
  5. La suite harmonique (h_n)_{n\in \mathbb{N}^*} dont le terme général est défini par : \forall n\in \mathbb{N}^*,\ h_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}

1.2 Suites bornées, stationnaires

Définition 1.2

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{K} une suite. On dit que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est bornée si : \exists M >0,\ \forall n\in \mathbb{N},\ |u_n|\leq M

Définition 1.3

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{K} une suite. On dit que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est stationnaire si : \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N},\ (n\geq N\implies u_n=u_{n+1})

Proposition 1.1

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. La suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est stationnaire.
  2. Il existe un rang N\in \mathbb{N} tel que la suite (u_n)_{n\geq N} est constante.

2 Convergence et divergence

2.1 Limite finie et infinie

Définition 2.1

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{K} une suite. On dit que (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est convergente si et seulement si : \exists l\in \mathbb{K}, \forall \varepsilon >0, \exists N\in \mathbb{N},\forall n\in \mathbb{N}\ (n\geq N\implies |u_n-l| <\varepsilon) On dit, dans ce cas, que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers l, ou que l est limite (finie) de la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et on note \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l (ou u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}l).

Sinon, on dit que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est divergente.

Remarque. La suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers 0 si et seulement si la suite (|u_n|)_{n\in \mathbb{N}} converge vers 0.

Définition 2.2 — (Limite infinie)

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle. On dit que (u_n)_{n\in \mathbb{N}} diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty) et on écrit \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty (respectivement \lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty) si et seulement si : \forall M\in \mathbb{R}, \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N},\ (n\geq N \implies u_n\geq M) (respectivement \forall M\in \mathbb{R}, \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\in \mathbb{N},\ (n\geq N \implies u_n\leq M)).

2.2 Propriétés fondamentales

Théorème 2.1 — (Unicité de la limite)

La limite (finie ou infinie) d’une suite réelle, si elle existe, est unique.

Proposition 2.1

Soient (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{K} une suite et l\in \mathbb{K}. Si la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers l alors la suite (|u_n|)_{n\in \mathbb{N}} converge vers |l|.

Remarque. La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite (i^n)_{n\in \mathbb{N}}.

Proposition 2.2

Toute suite convergente est bornée.

Remarque. La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite de terme général u_n=(-1)^{n}.

Proposition 2.3

Soient (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{K} deux suites telles que :

  1. (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est bornée
  2. (v_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers 0

Alors la suite (u_n v_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers 0.

2.3 Suites extraites

Définition 2.3

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. On appelle suite extraite (ou sous-suite) de la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} toute suite (v_n)_{n\in \mathbb{N}} définie par : \forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_{\varphi(n)} avec \varphi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} une application strictement croissante.

Proposition 2.4

(u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers une limite l\in \mathbb{K} si et seulement si toutes ses suites extraites convergent vers l.

Remarque.

  1. Une technique pour montrer qu’une suite est divergente est d’avoir une suite extraite divergente ou bien deux suites extraites convergentes qui ne convergent pas vers la même limite. Par exemple, la suite ((-1)^n)_{n\in \mathbb{N}} est divergente puisqu’elle admet deux suites extraites qui n’ont pas la même limite.
  2. Attention, plusieurs suites extraites d’une suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}}, qui convergent vers une même limite l\in \mathbb{K}, n’impliquent pas que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge.

Proposition 2.5

Si les deux suites extraites (u_{2n})_{n\in \mathbb{N}} et (u_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}} convergent vers la même limite l\in \mathbb{K} alors la suite (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} converge vers l.

3 Suites réelles

Dans tout ce paragraphe, \mathbb{K}=\mathbb{R}.

3.1 Monotonie et limites

Définition 3.1

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle.

  1. On dit que la suite est croissante (resp. décroissante) si \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}\leq u_{n+1} (resp. u_{n+1}\leq u_{n}).
  2. On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Théorème 3.1 — (Opérations sur les limites)

Soient (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} deux suites réelles admettant deux limites respectives l et l' de \overline{\mathbb{R}}.

  1. Si l et l' sont finies, alors pour tous \alpha, \beta\in \mathbb{R}, (\alpha u_n+\beta v_n ) \to \alpha l+\beta l' et (u_n v_n) \to l l'. Si l\neq 0, (1/u_n) \to 1/l.
  2. Si l=\pm\infty et l'\in \overline{\mathbb{R}}\setminus\{0\} alors u_n v_n \to \pm\infty (règle des signes).
  3. Si l=\pm\infty alors (1/u_n) \to 0.

Théorème 3.2 — (Théorème des gendarmes)

Soient (u_n)_{n\in \mathbb{N}}, (v_n)_{n\in \mathbb{N}}, (w_n)_{n\in \mathbb{N}} trois suites réelles et l\in \mathbb{R} telles que :

  1. u_n,w_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} l
  2. \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\geq N,\ u_n\leq v_n\leq w_n

Alors la suite (v_n)_{n\in \mathbb{N}} converge vers l.

Théorème 3.3 — (Théorème de divergence par majoration ou minoration)

Soient (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} deux suites réelles telles que :

  1. (v_n)_{n\in \mathbb{N}} diverge vers +\infty (resp. vers -\infty)
  2. \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\geq N,\ v_n\leq u_n (resp. u_n\leq v_n)

Alors la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} diverge vers +\infty (resp. vers -\infty).

Théorème 3.4 — (Théorème de la limite monotone)

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite réelle croissante (respectivement décroissante).

  1. Si (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est majorée (respectivement minorée) alors elle est convergente et on a : u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow } \sup\{u_n/\ n\in \mathbb{N}\} \quad (\text{resp. } \inf\{u_n/\ n\in \mathbb{N}\})
  2. Si (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est non majorée (respectivement non minorée) alors elle diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty).

3.2 Suites adjacentes

Définition 3.2

Soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si et seulement si :

  1. l’une est croissante et l’autre décroissante ;
  2. v_n-u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow }0.

Théorème 3.5

Si (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} sont deux suites réelles adjacentes (avec (u_n)_{n\in \mathbb{N}} croissante et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} décroissante) alors :

  1. (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et (v_n)_{n\in \mathbb{N}} convergent vers la même limite l\in \mathbb{R}.
  2. \forall n\in \mathbb{N},\ u_n\leq l\leq v_n.

Remarque. Une technique pour montrer qu’une suite réelle (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est convergente est de montrer que ses suites extraites (u_{2n})_{n\in \mathbb{N}} et (u_{2n+1})_{n\in \mathbb{N}} sont adjacentes.

3.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème 3.6 — (de Bolzano-Weierstrass)

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

4 Suites usuelles et récurrentes

4.1 Suite arithmétique

Définition 4.1

On dit que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite arithmétique de terme initial u_0\in \mathbb{K} et de raison r\in \mathbb{K} si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+r

Proposition 4.1

Si (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite arithmétique de terme initial u_0\in \mathbb{K} et de raison r\in \mathbb{K} alors :

  1. \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=u_0+nr
  2. (u_n)_{n\in \mathbb{N}} converge si et seulement si r=0
  3. \forall m,n\in \mathbb{N}\ (m\leq n),\ \sum_{k=m}^nu_k=(n-m+1)u_0+\frac{r(n-m+1)(n+m)}{2}
  4. Si la suite est réelle, elle est croissante si r\geq 0 et décroissante sinon.

4.2 Suite géométrique

Définition 4.2

On dit que la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique de terme initial u_0\in \mathbb{K} et de raison q\in \mathbb{K} si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=qu_n

Proposition 4.2

Si (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique de terme initial u_0\in \mathbb{K} et de raison q\in \mathbb{K} alors :

  1. \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=q^nu_0
  2. \forall m,n\in \mathbb{N}\ (m\leq n),\ \sum_{k=m}^nu_k=\begin{cases}u_0\frac{q^m-q^{n+1}}{1-q}, &\text{si } q\neq 1\\ u_0(n-m+1), &\text{sinon} \end{cases}
  3. Si la suite est réelle positive, elle est croissante si q\geq 1 et décroissante si 0\leq q\leq 1.

4.3 Suite arithmético-géométrique

Définition 4.3

Soit (a,b)\in \mathbb{C}^2. On dit que (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite arithmético-géométrique si elle est définie comme suit : \begin{cases} u_0\in\mathbb{K}\\ \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=au_n+b\end{cases}

Proposition 4.3

\forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\begin{cases} u_0+nb, &\text{si } a=1\\ a^n\left(u_0-\frac{b}{1-a}\right)+\frac{b}{1-a}, & \text{sinon}\end{cases}

4.4 Suite récurrente linéaire d’ordre 2

Définition 4.4

Soit (a,b)\in \mathbb{C}^2. On dit que (u_n)_{n\in \mathbb{N}} est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n \quad (*) On associe à la relation récurrente (*) l’équation, dite équation caractéristique, suivante : r^2-ar-b=0

Proposition 4.4

  1. Si \mathbb{K}=\mathbb{C} alors :

    • Si l’équation caractéristique admet deux solutions distinctes r_1 et r_2 alors : \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n
    • Si l’équation caractéristique admet une solution double r alors : \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=(\alpha n+\beta)r^n

    où (\alpha,\beta)\in \mathbb{C}^2.

  2. Si \mathbb{K}=\mathbb{R} alors :

    • Si l’équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r_1 et r_2 alors : \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n
    • Si l’équation caractéristique admet une solution réelle double r alors : \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=(\alpha n+\beta)r^n
    • Si l’équation caractéristique admet deux solutions distinctes conjuguées r=\rho e^{i\theta} et \overline{r} alors : \forall n\in \mathbb{N},\ u_n=\alpha \rho^n\cos(n\theta)+\beta \rho^n\sin(n\theta)

    où (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2.

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Chapitre 05 : Suites numériques