Nombres entiers, rationnels et réels

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

21 août 2026

PCSI (1re année) — Chapitre 04. Divisibilité dans \mathbb{Z}, division euclidienne, algorithme d’Euclide, nombres premiers, valuation p-adique, rationnels, réels, borne supérieure et inférieure, densité.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

1 Nombres entiers et divisibilité dans \mathbb{Z}

1.1 Divisibilité dans \mathbb{Z}

Définition 1.1

Soient a et b deux entiers relatifs avec a \neq 0. On dit que a divise b, ou que b est divisible par a, s’il existe un entier relatif q tel que b = aq. On note alors a \mid b.

On note D(b) l’ensemble des diviseurs positifs de b et \mathcal{M}(a) l’ensemble des multiples positifs de a.

Proposition 1.1

Voici quelques propriétés élémentaires de la divisibilité :

  1. Tout entier a \in \mathbb{Z}^* divise 0 et est divisible par 1 et par lui-même.
  2. Si a \mid b et b \mid c alors a \mid c (transitivité).
  3. Soit m un entier non nul, a \mid b \iff ma \mid mb.
  4. Si a \mid b et a \mid c, alors a \mid (bx + cy) pour tous entiers x, y. En particulier, a \mid (b-c) et a \mid (b+c).

Définition 1.2 — (Entiers associés)

Deux entiers a et b sont dits associés si b = \pm a, c’est-à-dire si a \mid b et b \mid a.

Exercice 1.1

Soient x, y des entiers. Montrer que 3x+2y est divisible par 7 si et seulement si 4x+5y l’est aussi.

1.2 Division euclidienne

Théorème 1.1 — (Théorème de la division euclidienne)

Soit b un entier strictement positif. Pour tout entier relatif a, il existe un unique couple d’entiers (q, r) tel que : a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b L’entier q est appelé le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.

Remarque. Le théorème de la division euclidienne est fondamental car il permet de raisonner par disjonction des cas sur le reste r de la division par un entier n fixé.

Exercice 1.2

  1. Soit a un entier quelconque. Déterminer le reste de la division euclidienne de a^2 par 4.
  2. Montrer que n^3-n est divisible à la fois par 2 et par 3 pour tout n \in \mathbb{N}.

1.3 PGCD et Algorithme d’Euclide

Définition 1.3

Un entier divisant à la fois les entiers a et b (non tous deux nuls) est appelé diviseur commun de a et b. Le plus grand entier strictement positif parmi ces diviseurs communs est appelé le plus grand commun diviseur de a et b, noté \operatorname{pgcd}(a,b) ou a \wedge b.

On dit que a et b sont premiers entre eux si \operatorname{pgcd}(a,b)=1.

Proposition 1.2

On a les propriétés suivantes :

  1. Pour tout entier c, \operatorname{pgcd}(a,b) = \operatorname{pgcd}(a, b+ac) = \operatorname{pgcd}(a+bc, b).
  2. Si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors \operatorname{pgcd}(a,b) = \operatorname{pgcd}(b,r).
  3. D(a) \cap D(b) = D(a \wedge b).

Théorème 1.2 — (Algorithme d’Euclide)

L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers a et b (a>b>0) par divisions euclidiennes successives : \begin{aligned} a &= bq_1 + r_1 & (0 \leq r_1 < b) \\ b &= r_1 q_2 + r_2 & (0 \leq r_2 < r_1) \\ r_1 &= r_2 q_3 + r_3 & (0 \leq r_3 < r_2) \\ &\vdots & \\ r_{n-2} &= r_{n-1} q_n + r_n & (0 \leq r_n < r_{n-1}) \\ r_{n-1} &= r_n q_{n+1} + 0 \end{aligned} Le dernier reste non nul r_n est égal à \operatorname{pgcd}(a,b).

1.4 Identité de Bézout et Lemme de Gauss

Corollaire 1.1 — (Identité de Bézout)

Si d = \operatorname{pgcd}(a,b), alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = d En particulier, a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe (u,v) \in \mathbb{Z}^2 tels que au+bv=1.

Remarque. Les entiers u et v ne sont pas uniques. Ils peuvent être trouvés en « remontant » l’algorithme d’Euclide.

Exemple 1.1

Déterminons le PGCD de 75 et 55 et des coefficients de Bézout : \begin{aligned} 75 &= 55 \times 1 + 20 \\ 55 &= 20 \times 2 + 15 \\ 20 &= 15 \times 1 + 5 \\ 15 &= 5 \times 3 + 0 \end{aligned} Donc \operatorname{pgcd}(75,55)=5. En remontant : 5 = 20 - 15 \times 1 = 20 - (55 - 20 \times 2) = 75 \times 3 + 55 \times (-4) Donc u=3 et v=-4.

Théorème 1.3 — (Lemme de Gauss)

Soient a, b, c trois entiers tels que \operatorname{pgcd}(a,b)=1. Alors : a \mid bc \implies a \mid c

Théorème 1.4 — (Lemme d’Euclide)

Soient a, b, c trois entiers tels que \operatorname{pgcd}(a,b)=1. Alors : a \mid c \text{ et } b \mid c \implies ab \mid c

1.5 Nombres premiers et Valuation p-adique

Définition 1.4

Un entier naturel p > 1 est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs naturels : 1 et p.

Proposition 1.3

Soient a, b \in \mathbb{Z} et p un nombre premier. Alors : p \mid ab \iff p \mid a \text{ ou } p \mid b

Théorème 1.5 — (Théorème fondamental de l’arithmétique)

Tout entier naturel non nul n se décompose de façon unique en produit de nombres premiers : n = \prod_{p \in \mathcal{P}} p^{v_p(n)} où \mathcal{P} est l’ensemble des nombres premiers et v_p(n) est le plus grand entier naturel m tel que p^m \mid n. L’entier v_p(n) est appelé la valuation p-adique de n.

Proposition 1.4 — (Propriétés de la valuation)

Soit (a,b) \in (\mathbb{N}^*)^2. Alors :

  1. \forall p \in \mathcal{P},\ v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b)
  2. a \mid b \iff \forall p \in \mathcal{P},\ v_p(a) \leq v_p(b)
  3. \operatorname{pgcd}(a,b) = \prod_{p \in \mathcal{P}} p^{\min(v_p(a), v_p(b))}
  4. \operatorname{ppcm}(a,b) = \prod_{p \in \mathcal{P}} p^{\max(v_p(a), v_p(b))}

Exercice 1.3

  1. Calculer v_2(54), v_3(54), v_5(54). Décomposer 54 en produit de nombres premiers.
  2. Soient p,q \in \mathcal{P} et k \in \mathbb{N}. Calculer v_p(q^k).

2 Nombres rationnels et réels

2.1 Ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels

Définition 2.1

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \frac{p}{q} où p \in \mathbb{Z} et q \in \mathbb{N}^*. L’ensemble des rationnels est noté \mathbb{Q}.

La forme irréductible d’un rationnel est son écriture \frac{p}{q} avec \operatorname{pgcd}(p,q)=1 et q>0.

Exercice 2.1

Soit p un nombre premier. Montrer que \sqrt{p} \notin \mathbb{Q}.

2.2 Ensemble \mathbb{R} des nombres réels

Remarque. La construction de \mathbb{R} (par suites de Cauchy ou coupures de Dedekind) est hors programme. On admet que \mathbb{R} est un corps commutatif totalement ordonné contenant \mathbb{Q} et vérifiant l’axiome de la borne supérieure.

Proposition 2.1 — (Propriétés de l’ordre dans \boldsymbol{\mathbb{R}})

Pour tous x,y,z,t \in \mathbb{R} :

  1. x \leq y \text{ et } z \leq t \implies x+z \leq y+t
  2. x \leq y \text{ et } z < t \implies x+z < y+t
  3. Si z,t \geq 0 : x \leq y \text{ et } z \leq t \implies xz \leq yt
  4. x \leq y \implies -y \leq -x
  5. Si x,y > 0 : x \leq y \implies \frac{1}{y} \leq \frac{1}{x}

Définition 2.2 — (Valeur absolue)

Soit x \in \mathbb{R}. On définit la valeur absolue de x par : |x| = \max(-x, x) = \begin{cases} -x & \text{si } x \leq 0 \\ x & \text{sinon} \end{cases}

Proposition 2.2

Soient x,y \in \mathbb{R}. Alors :

  1. \max(x,y) = \frac{|y-x|+(x+y)}{2}
  2. \min(x,y) = \frac{(x+y)-|y-x|}{2}
  3. Inégalité triangulaire : \big||x|-|y|\big| \leq |x \pm y| \leq |x|+|y|

Théorème 2.1 — (Propriété d’Archimède)

\forall y \in \mathbb{R},\ \forall x > 0,\ \exists n \in \mathbb{N},\ nx > y

Définition 2.3 — (Partie entière)

Pour tout x \in \mathbb{R}, il existe un unique entier p \in \mathbb{Z} tel que p \leq x < p+1. Cet entier est appelé la partie entière de x et est noté \lfloor x \rfloor ou E(x).

Proposition 2.3 — (Propriétés de la partie entière)

  1. \forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{Z},\ \lfloor x \rfloor = n \iff n \leq x < n+1
  2. \forall n \in \mathbb{Z},\ \lfloor n \rfloor = n
  3. \forall x \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{Z},\ \lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n
  4. \forall x,y \in \mathbb{R},\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor

3 Bornes supérieures et inférieures

3.1 Parties majorées, minorées

Définition 3.1

Soit A une partie non vide de \mathbb{R}.

  1. A est majorée s’il existe M \in \mathbb{R} tel que \forall x \in A,\ x \leq M. Un tel M est un majorant.
  2. A est minorée s’il existe m \in \mathbb{R} tel que \forall x \in A,\ m \leq x. Un tel m est un minorant.
  3. Le plus grand élément de A (s’il existe) est noté \max A.
  4. Le plus petit élément de A (s’il existe) est noté \min A.

Exemple 3.1

  1. E = ]0,1] : \max E = 1, pas de minimum, \inf E = 0.
  2. F = \mathbb{Q} \cap [\sqrt{2}, +\infty[ : pas de minimum, pas de maximum, \inf F = \sqrt{2}.
  3. Un segment [a,b] admet \min = a et \max = b.

3.2 Borne supérieure et borne inférieure

Définition 3.2

Soit X une partie non vide de \mathbb{R}.

  1. La borne supérieure de X, notée \sup X, est le plus petit des majorants de X (si elle existe).
  2. La borne inférieure de X, notée \inf X, est le plus grand des minorants de X (si elle existe).

Théorème 3.1 — (Axiome de la borne supérieure)

Toute partie non vide de \mathbb{R} majorée admet une borne supérieure. Toute partie non vide minorée admet une borne inférieure.

Remarque.

  1. Un ensemble qui admet une borne supérieure n’admet pas forcément de plus grand élément.
  2. Si X admet un plus grand élément, alors \max X = \sup X.
  3. Dans la droite achevée \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}, toute partie non vide possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Théorème 3.2 — (Caractérisation de la borne supérieure)

Soient X une partie non vide de \mathbb{R} et \alpha \in \mathbb{R}. Alors : \sup X = \alpha \iff \begin{cases} \forall x \in X,\ x \leq \alpha \\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists x_\varepsilon \in X,\ \alpha - \varepsilon < x_\varepsilon \end{cases}

Exemple 3.2

Soit G = \left\{ \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \mid (n,m) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\}.

  • Borne inférieure : Pour tout (n,m), \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \geq -1. De plus, pour n=1 et m \to +\infty, \frac{1}{1}-\frac{1}{m} \to 1… Non, prenons n \to +\infty et m=1 : \frac{1}{n}-1 \to -1. Donc \inf G = -1.
  • Borne supérieure : Pour tout (n,m), \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \leq 1. De plus, pour m \to +\infty et n=1, \frac{1}{1}-\frac{1}{m} \to 1. Donc \sup G = 1.

Exercice 3.1

Déterminer, quand elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants :

  1. A = \left\{ \frac{1}{n} + (-1)^n \mid n \in \mathbb{N}^* \right\}
  2. B = \mathbb{Q} \cap [\sqrt{2}, 2]
  3. C = \left\{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \mid (m,n) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\}

4 Densité dans \mathbb{R}

Définition 4.1

Une partie X de \mathbb{R} est dite dense dans \mathbb{R} si : \forall y \in \mathbb{R},\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in X,\ |y-x| < \varepsilon

Proposition 4.1

Soit X une partie de \mathbb{R}. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. X est dense dans \mathbb{R}.
  2. \forall (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2,\ y_1 < y_2 \implies \exists x \in X,\ y_1 < x < y_2.

Théorème 4.1

Les ensembles \mathbb{Q} et \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} sont denses dans \mathbb{R}.

Exercice 4.1 — (Densité des décimaux)

Montrer que l’ensemble \mathbb{D} = \{ q \cdot 10^{-p} \mid (p,q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z} \} est dense dans \mathbb{R}.

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Chapitre 04 : Nombres entiers, rationnels et réels