Équations différentielles linéaires
Chapitre 12
MP (2e année) — Chapitre 12. Problème de Cauchy, structure de la solution, systèmes d’équations différentielles linéaires, méthode de la variation de la constante.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R}, F un espace vectoriel normé de dimension finie, et \mathbb{K} le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Généralités sur les équations différentielles
1.1 Équation différentielle générale
Définition 1.1 — (Équation différentielle et solution)
Soit U un ouvert de \mathbb{R} \times F et f : U \to F une application continue. On considère l’équation différentielle : x' = f(t, x)
Une solution de cette équation est un couple (J, x) où J est un intervalle non trivial de \mathbb{R} et x : J \to F est une application dérivable vérifiant : \forall t \in J, \quad (t, x(t)) \in U \quad \text{et} \quad x'(t) = f(t, x(t))
On appelle courbe intégrale de l’équation le graphe paramétré t \mapsto (t, x(t)).
Exemple 1.1 — (Équations à variables séparables)
Un cas particulier important est celui des équations à variables séparables : F = \mathbb{R} et f(t, u) = a(t)b(u) où a et b sont des fonctions continues.
Une telle équation x' = a(t)b(x) se résout en cherchant des solutions de la forme x(t) = g(t) où g satisfait : \frac{g'(t)}{b(g(t))} = a(t)
1.2 Problème de Cauchy
Définition 1.2 — (Problème de Cauchy)
Soit (t_0, x_0) \in U. Le problème de Cauchy associé à l’équation x' = f(t, x) avec la condition initiale x(t_0) = x_0 consiste à trouver une solution x définie sur un intervalle J contenant t_0 et vérifiant : x'(t) = f(t, x(t)) \quad \text{et} \quad x(t_0) = x_0
Théorème 1.1 — (Théorème de Cauchy-Lipschitz, admis)
Soient f : U \to F une application continue et (t_0, x_0) \in U. Alors il existe un intervalle ouvert J contenant t_0 et une unique solution x : J \to F du problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = f(t, x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases}
Le théorème de Cauchy-Lipschitz est admis et n’est pas le point central du paragraphe. Il est présenté pour préparer les élèves au cas non linéaire qui sera traité dans les cursus post classes préparatoires. Il peut aussi servir à éclairer les résultats du cas linéaire en montrant leurs spécificités.
1.3 Méthode d’Euler
Définition 1.3 — (Méthode d’Euler)
Pour rechercher des solutions approchées de l’équation x' = f(t, x) avec x(t_0) = x_0, la méthode d’Euler consiste à construire une suite (x_n) par récurrence : x_{n+1} = x_n + h \cdot f(t_n, x_n) où h > 0 est le pas de la méthode et t_n = t_0 + nh.
Les élèves doivent savoir appliquer la méthode d’Euler à des exemples simples pour obtenir des solutions approchées.
2 Équations différentielles linéaires
2.1 Définition et structure
Définition 2.1 — (Équation différentielle linéaire)
Une équation différentielle linéaire est une équation de la forme : x'(t) = a(t)(x(t)) + b(t) où a est une application continue de I dans \mathcal{L}(F) et b une application continue de I dans F.
L’équation homogène associée est : x'(t) = a(t)(x(t))
Définition 2.2 — (Solution et solution globale)
Une solution de l’équation x' = a(t)x + b(t) sur un intervalle J \subset I est une application x : J \to F dérivable vérifiant : \forall t \in J, \quad x'(t) = a(t)(x(t)) + b(t)
Une solution globale est une solution définie sur I tout entier.
Proposition 2.1 — (Principe de superposition)
Soient x_1 et x_2 deux solutions de l’équation homogène x' = a(t)x. Alors pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K}, la fonction \lambda x_1 + \mu x_2 est aussi une solution de l’équation homogène.
Autrement dit, l’ensemble des solutions de l’équation homogène est un sous-espace vectoriel de \mathcal{C}^1(I, F).
Proposition 2.2 — (Structure de l’ensemble des solutions)
Si l’équation x' = a(t)x + b(t) admet une solution particulière x_p, alors l’ensemble des solutions est : \{x_p + x_h \mid x_h \text{ solution de l'équation homogène}\}
2.2 Théorème de Cauchy linéaire
Théorème 2.1 — (Théorème de Cauchy linéaire)
Soient a : I \to \mathcal{L}(F) et b : I \to F des applications continues. Alors pour tout (t_0, x_0) \in I \times F, le problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = a(t)(x(t)) + b(t) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} admet une unique solution globale définie sur I.
Proposition 2.3 — (Mise sous forme intégrale)
La solution du problème de Cauchy peut être mise sous forme intégrale : x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \left(a(s)(x(s)) + b(s)\right)\, ds
2.3 Équations différentielles scalaires
Définition 2.3 — (Équation différentielle linéaire scalaire)
Une équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n est une équation de la forme : a_n(t) y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_1(t) y'(t) + a_0(t) y(t) = d(t) où les a_i et d sont des fonctions continues sur I.
Proposition 2.4 — (Représentation par un système différentiel)
Toute équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n peut être représentée par un système différentiel linéaire en posant : X = \begin{pmatrix} y \\ y' \\ \vdots \\ y^{(n-1)} \end{pmatrix}
Théorème 2.2 — (Dimension de l’espace des solutions)
L’ensemble des solutions globales de l’équation homogène scalaire d’ordre n est un espace vectoriel de dimension n.
L’application x \mapsto x(t_0) est un isomorphisme de cet espace sur F.
3 Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants
3.1 Définition
Définition 3.1 — (Système différentiel homogène à coefficients constants)
Un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants est une équation de la forme : x'(t) = a(x(t)), \quad a \in \mathcal{L}(F)
Définition 3.2 — (Traduction matricielle)
Si \mathcal{B} est une base de F et A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(a), le système s’écrit : X' = AX où X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x).
3.2 Résolution à l’aide de l’exponentielle de matrice
Définition 3.3 — (Exponentielle d’un endomorphisme et d’une matrice)
Soit a \in \mathcal{L}(F). L’exponentielle de a est définie par : \exp(a) = e^a = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a^k}{k!} La série converge normalement.
Théorème 3.1 — (Résolution du problème de Cauchy)
Soient x_0 \in F et a \in \mathcal{L}(F). La solution globale du problème de Cauchy : \begin{cases} x'(t) = a(x(t)) \\ x(t_0) = x_0 \end{cases} est définie sur \mathbb{R} par : t \mapsto \exp((t - t_0)a)(x_0) = e^{(t-t_0)a}(x_0)
Proposition 3.1 — (Traduction matricielle)
Si A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(a), la solution du système X' = AX avec X(t_0) = X_0 est : X(t) = e^{(t-t_0)A} X_0
Exemple 3.1 — (Cas diagonalisable)
Si A est diagonalisable : A = PDP^{-1} avec D = \mathrm{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), alors : e^{tA} = P \, \mathrm{Diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}) \, P^{-1}
Exemple 3.2 — (Résolution d’un système)
Résolvons le système : \begin{cases} x' = 2x + 2y + z \\ y' = x + 3y + z \\ z' = x + 2y + 2z \end{cases}
La matrice A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} est diagonalisable avec P^{-1}AP = \mathrm{Diag}(1, 1, 5). La solution est : X(t) = P \, \mathrm{Diag}(e^t, e^t, e^{5t}) \, P^{-1} X(0)
4 Méthode de variation des constantes
4.1 Système fondamental de solutions
Définition 4.1 — (Système fondamental de solutions)
Soit x' = a(t)x une équation différentielle linéaire homogène. Un système fondamental de solutions est une famille de solutions (x_1, \ldots, x_n) telle que pour tout t_0 \in I, la famille (x_1(t_0), \ldots, x_n(t_0)) soit une base de F.
Proposition 4.1 — (Caractérisation)
Une famille (x_1, \ldots, x_n) de solutions de x' = a(t)x est un système fondamental de solutions si et seulement si : \forall t_0 \in I, \quad (x_1(t_0), \ldots, x_n(t_0)) \text{ est une base de } F
4.2 Méthode de variation des constantes pour les systèmes
Théorème 4.1 — (Variation des constantes)
Soit (x_1, \ldots, x_n) un système fondamental de solutions de l’équation homogène x' = a(t)x. Pour résoudre l’équation complète x' = a(t)x + b(t), on cherche une solution de la forme : x(t) = \lambda_1(t) x_1(t) + \lambda_2(t) x_2(t) + \cdots + \lambda_n(t) x_n(t)
En substituant dans l’équation et en imposant la condition : \lambda_1'(t) x_1(t) + \lambda_2'(t) x_2(t) + \cdots + \lambda_n'(t) x_n(t) = 0 on obtient un système linéaire en \lambda_1', \ldots, \lambda_n' dont la résolution permet de déterminer les \lambda_i.
Dans les exercices pratiques, on se limite au cas de la dimension 2.
4.3 Cas particulier des systèmes à coefficients constants
Proposition 4.2 — (Expression intégrale des solutions)
Pour un système différentiel à coefficients constants X' = AX + B(t), la solution est donnée par : X(t) = e^{(t-t_0)A} X_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A} B(s)\, ds
Proposition 4.3 — (Adaptation aux équations scalaires du second ordre)
Pour une équation scalaire du second ordre y'' + ay' + by = f(t) avec a, b \in \mathbb{K} constants, la méthode de variation des constantes s’applique en cherchant une solution de la forme : y(t) = \lambda_1(t) y_1(t) + \lambda_2(t) y_2(t) où (y_1, y_2) est un système fondamental de solutions de l’équation homogène.
5 Exercices
Exercice 5.1
Résoudre le système différentiel : \begin{cases} x' = x + y \\ y' = x - y \end{cases} en diagonalisant la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Exercice 5.2
Résoudre l’équation différentielle y'' + 4y = \cos(2t) en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice 5.3
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculer e^{tA} et résoudre le système X' = AX avec X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
Exercice 5.4
Résoudre l’équation différentielle y' - 2y = e^{3t} avec y(0) = 1 en utilisant la transformée de Laplace.
Exercice 5.5
Soit A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) diagonalisable avec P^{-1}AP = \mathrm{Diag}(1, 2, 3). Résoudre le système X' = AX avec X(0) = P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.