Probabilités

Chapitre 11

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

MP (2e année) — Chapitre 11. Rappels, variables aléatoires et lois de variables aléatoires, espérance et moments, fonctions génératrices, inégalités, notions de convergence et théorèmes limites.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.

1 Rappels sur les espaces probabilisés

1.1 Univers, événements, tribus

Définition 1.1 — (Expérience aléatoire)

La théorie des probabilités permet l’étude de phénomènes ayant un aspect hasardeux, ou aléatoire. On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat dépend du hasard. L’ensemble des issues (ou résultats observables) est appelé univers et noté \Omega.

Définition 1.2 — (Événement, tribu)

Un événement est une partie de \Omega. Une tribu (ou \sigma-algèbre) \mathcal{T} sur \Omega est une partie de \mathcal{P}(\Omega) vérifiant :

  1. \Omega \in \mathcal{T}
  2. Si A \in \mathcal{T}, alors \overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathcal{T}
  3. Si (A_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite d’éléments de \mathcal{T}, alors \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \in \mathcal{T}

Le couple (\Omega, \mathcal{T}) est appelé espace probabilisable.

Définition 1.3 — (Système complet d’événements)

Une famille (A_i)_{i \in I} d’événements est un système complet d’événements si :

  1. Les A_i sont deux à deux incompatibles : A_i \cap A_j = \varnothing pour i \neq j
  2. \bigcup_{i \in I} A_i = \Omega

1.2 Espace probabilisé

Définition 1.4 — (Probabilité)

Une probabilité sur l’espace probabilisable (\Omega, \mathcal{T}) est une application P : \mathcal{T} \to [0,1] vérifiant :

  1. P(\Omega) = 1
  2. Pour toute suite (A_n)_{n \in \mathbb{N}} d’événements deux à deux incompatibles : P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)

Le triplet (\Omega, \mathcal{T}, P) est appelé espace probabilisé.

Proposition 1.1 — (Propriétés des probabilités)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Alors :

  1. P(\varnothing) = 0
  2. P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  3. Si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) (croissance)
  4. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  5. Inégalité de Boole : P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \sum_{k=1}^n P(A_k)

1.3 Probabilités conditionnelles

Définition 1.5 — (Probabilité conditionnelle)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé et B un événement avec P(B) > 0. La probabilité de A sachant B est : P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Théorème 1.1 — (Formule des probabilités composées)

Soit (A_k)_{1 \leq k \leq n} une famille d’événements telle que P\left(\bigcap_{k=1}^{n-1} A_k\right) \neq 0. Alors : P\left(\bigcap_{k=1}^n A_k\right) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)

Théorème 1.2 — (Formule des probabilités totales)

Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement. Alors : P(B) = \sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)

Théorème 1.3 — (Formule de Bayes)

Soit (A_k)_{k \in I} un système complet d’événements de probabilités non nulles et B un événement avec P(B) > 0. Alors pour tout j \in I : P(A_j \mid B) = \frac{P(B \mid A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_{k \in I} P(B \mid A_k) \cdot P(A_k)}

1.4 Indépendance

Définition 1.6 — (Indépendance de deux événements)

Deux événements A et B sont indépendants si : P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Définition 1.7 — (Indépendance mutuelle)

Les événements A_1, \ldots, A_n sont mutuellement indépendants si pour toute partie J de \{1, \ldots, n\} : P\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right) = \prod_{i \in J} P(A_i)

2 Variables aléatoires réelles : généralités

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Variable aléatoire réelle)

Soit (\Omega, \mathcal{T}, P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle est une application X : \Omega \to \mathbb{R} telle que pour tout borélien B de \mathbb{R} : X^{-1}(B) \in \mathcal{T}

On note \mathcal{V}(\Omega, \mathcal{T}) l’ensemble des variables aléatoires réelles sur (\Omega, \mathcal{T}).

Remarque. On utilise les notations suivantes : - (X \in A) ou \{X \in A\} à la place de X^{-1}(A) - (X \leq x) à la place de X^{-1}(]-\infty, x]) - P(X \in A), P(X = x), P(X \leq x)

2.2 Loi d’une variable aléatoire

Définition 2.2 — (Loi d’une variable aléatoire)

Soit X : \Omega \to \mathbb{R} une variable aléatoire. La loi de X est la probabilité P_X sur (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) définie par : P_X(B) = P(X \in B) = P(X^{-1}(B)) pour tout borélien B de \mathbb{R}.

Définition 2.3 — (Fonction de répartition)

La fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X est la fonction F_X : \mathbb{R} \to [0,1] définie par : F_X(x) = P(X \leq x)

Proposition 2.1 — (Propriétés de la fonction de répartition)

Soit F_X la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X. Alors :

  1. F_X est croissante.
  2. F_X est continue à droite.
  3. \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 et \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.
  4. P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-) où F_X(x^-) = \lim_{t \to x^-} F_X(t).

Proposition 2.2 — (Caractérisation de la loi)

La loi d’une variable aléatoire réelle est entièrement déterminée par sa fonction de répartition.

2.3 Opérations sur les variables aléatoires

Proposition 2.3 — (Opérations)

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur (\Omega, \mathcal{T}) et f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction borélienne. Alors :

  1. X + Y, X - Y, XY sont des variables aléatoires réelles.
  2. f(X) est une variable aléatoire réelle.
  3. \max(X, Y) et \min(X, Y) sont des variables aléatoires réelles.

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Définition

Définition 3.1 — (Variable aléatoire discrète)

Une variable aléatoire réelle X est dite discrète si X(\Omega) est fini ou dénombrable.

Définition 3.2 — (Loi d’une variable aléatoire discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète. La loi de X est entièrement déterminée par la liste des P(X = x) pour x \in X(\Omega). On a : \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x) = 1

3.2 Couples de variables aléatoires discrètes

Définition 3.3 — (Loi conjointe)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes. La loi conjointe du couple (X, Y) est déterminée par : P(X = x, Y = y) = P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) pour tout (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega).

Définition 3.4 — (Loi marginale)

La loi marginale de X est : P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y)

Définition 3.5 — (Loi conditionnelle)

Si P(Y = y) > 0, la loi conditionnelle de X sachant Y = y est : P(X = x \mid Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y = y)}

Définition 3.6 — (Indépendance de deux variables aléatoires)

X et Y sont indépendantes si pour tous x \in X(\Omega) et y \in Y(\Omega) : P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)

4 Espérance et moments

4.1 Espérance

Définition 4.1 — (Espérance d’une variable aléatoire discrète)

Soit X une variable aléatoire discrète. On dit que X admet une espérance si la famille (x \cdot P(X = x))_{x \in X(\Omega)} est sommable. On définit alors : E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot P(X = x)

Proposition 4.1 — (Formule de transfert)

Soit X une variable aléatoire discrète et f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction. Alors f(X) admet une espérance si et seulement si la famille (f(x) \cdot P(X = x))_{x \in X(\Omega)} est sommable, et : E(f(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} f(x) \cdot P(X = x)

Proposition 4.2 — (Propriétés de l’espérance)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance et a, b \in \mathbb{R}.

  1. Linéarité : E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
  2. Positivité : Si X \geq 0, alors E(X) \geq 0
  3. Croissance : Si X \leq Y, alors E(X) \leq E(Y)
  4. Inégalité triangulaire : |E(X)| \leq E(|X|)
  5. Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance, alors XY admet une espérance et : E(XY) = E(X) \cdot E(Y)

4.2 Moments et variance

Définition 4.2 — (Moment d’ordre \boldsymbol{k})

Soit k \in \mathbb{N}^*. Le moment d’ordre k de X est, sous réserve d’existence : E(X^k) = \sum_{x \in X(\Omega)} x^k \cdot P(X = x)

Définition 4.3 — (Variance et écart-type)

Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. La variance de X est : V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - (E(X))^2 L’écart-type de X est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Proposition 4.3 — (Propriétés de la variance)

Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2 et a, b \in \mathbb{R}.

  1. V(aX + b) = a^2 V(X)
  2. V(X) \geq 0
  3. V(X) = 0 si et seulement si X est constante presque sûrement

Définition 4.4 — (Covariance)

Soient X et Y deux variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2. La covariance de X et Y est : \mathrm{Cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)

Proposition 4.4 — (Variance d’une somme)

Soient X et Y deux variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2. Alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)

En particulier, si X et Y sont indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Proposition 4.5 — (Variable centrée réduite)

Si \sigma(X) > 0, la variable aléatoire X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)} est centrée réduite : E(X^*) = 0, \quad V(X^*) = 1

4.3 Espérance et variance des lois usuelles

Proposition 4.6 — (Lois usuelles discrètes)

Loi Espérance Variance
\mathcal{B}(p) (Bernoulli) p p(1-p)
\mathcal{B}(n, p) (Binomiale) np np(1-p)
\mathcal{P}(\lambda) (Poisson) \lambda \lambda
\mathcal{U}(\llbracket 1, n \rrbracket) (Uniforme discrète) \frac{n+1}{2} \frac{n^2 - 1}{12}

Proposition 4.7 — (Lois usuelles à densité)

Loi Espérance Variance
\mathcal{U}([a, b]) (Uniforme) \frac{a+b}{2} \frac{(b-a)^2}{12}
\mathcal{E}(\lambda) (Exponentielle) \frac{1}{\lambda} \frac{1}{\lambda^2}
\mathcal{N}(m, \sigma^2) (Normale) m \sigma^2

5 Fonctions génératrices

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Fonction génératrice)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}. La fonction génératrice de X est la fonction G_X : [-1, 1] \to \mathbb{R} définie par : G_X(s) = E(s^X) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X = n) \, s^n

Proposition 5.1 — (Propriétés)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans \mathbb{N}.

  1. G_X est bien définie sur [-1, 1] et continue sur [-1, 1].
  2. G_X est de classe \mathcal{C}^\infty sur ]-1, 1[.
  3. G_X(1) = 1.
  4. Si X admet une espérance : G_X'(1) = E(X).
  5. Si X admet un moment d’ordre 2 : G_X''(1) = E(X(X-1)) et V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2.

Proposition 5.2 — (Caractérisation de la loi)

La fonction génératrice détermine entièrement la loi de X : P(X = n) = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}

Proposition 5.3 — (Somme de variables indépendantes)

Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans \mathbb{N} et indépendantes, alors : G_{X+Y}(s) = G_X(s) \cdot G_Y(s)

Exemple 5.1 — (Fonctions génératrices usuelles)

Loi Fonction génératrice
\mathcal{B}(p) G_X(s) = q + ps
\mathcal{B}(n, p) G_X(s) = (q + ps)^n
\mathcal{P}(\lambda) G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}
\mathcal{U}(\llbracket 0, n \rrbracket) G_X(s) = \frac{1 + s + \cdots + s^n}{n+1}

Preuve. Si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda), alors P(X = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} et : G_X(s) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} s^n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\lambda s)^n}{n!} = e^{-\lambda} e^{\lambda s} = e^{\lambda(s-1)}

6 Inégalités

6.1 Inégalité de Markov

Théorème 6.1 — (Inégalité de Markov)

Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant une espérance. Alors pour tout a > 0 : P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}

Preuve. On a X \geq a \cdot \mathbb{1}_{(X \geq a)}. Par croissance de l’espérance : E(X) \geq a \cdot E(\mathbb{1}_{(X \geq a)}) = a \cdot P(X \geq a)

6.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 6.2 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. Alors pour tout \varepsilon > 0 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2}

Preuve. On applique l’inégalité de Markov à la variable positive (X - E(X))^2 : P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) = P((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E((X - E(X))^2)}{\varepsilon^2} = \frac{V(X)}{\varepsilon^2}

6.3 Inégalité de Jensen

Théorème 6.3 — (Inégalité de Jensen)

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une espérance, f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction convexe, et Y = f(X) admettant une espérance. Alors : f(E(X)) \leq E(f(X))

7 Notions de convergence

7.1 Convergence en probabilité

Définition 7.1 — (Convergence en probabilité)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On dit que (X_n) converge en probabilité vers X, noté X_n \xrightarrow{P} X, si : \forall \varepsilon > 0, \quad P(|X_n - X| \geq \varepsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Proposition 7.1

La convergence en probabilité est unique : si X_n \xrightarrow{P} X et X_n \xrightarrow{P} Y, alors P(X = Y) = 1.

7.2 Convergence en loi

Définition 7.2 — (Convergence en loi)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On dit que (X_n) converge en loi vers X, noté X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X, si : \forall x \in \mathbb{R} \text{ point de continuité de } F_X, \quad F_{X_n}(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} F_X(x)

Proposition 7.2 — (Lien entre convergences)

La convergence en probabilité implique la convergence en loi. La réciproque est fausse.

7.3 Convergence presque sûre

Définition 7.3 — (Convergence presque sûre)

On dit que (X_n) converge presque sûrement vers X, noté X_n \xrightarrow{p.s.} X, si : P\left(\{\omega \in \Omega \mid X_n(\omega) \to X(\omega)\}\right) = 1

Proposition 7.3 — (Implications)

X_n \xrightarrow{p.s.} X \implies X_n \xrightarrow{P} X \implies X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X

8 Théorèmes limites

8.1 Loi faible des grands nombres

Théorème 8.1 — (Loi faible des grands nombres)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1). Alors la suite : \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k converge en probabilité vers la variable constante \mu : \forall \varepsilon > 0, \quad P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Preuve. Par indépendance et même loi : E(\overline{X}_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(X_k) = \mu V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n V(X_k) = \frac{\sigma^2}{n} Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|\overline{X}_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{V(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Remarque. La loi faible des grands nombres justifie l’approche fréquentiste de la probabilité : si l’on répète n fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’un événement A converge en probabilité vers P(A).

8.2 Théorème de la limite centrée (théorème central limite)

Théorème 8.2 — (Théorème de la limite centrée)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi, admettant un moment d’ordre 2. Notons \mu = E(X_1) et \sigma^2 = V(X_1) avec \sigma > 0. Alors : \frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n X_k - n\mu\right) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1)

Autrement dit, pour tout x \in \mathbb{R} : P\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n X_k - n\mu\right) \leq x\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\, dt

8.3 Théorème de convergence de Poisson

Théorème 8.3 — (Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson)

Soit (X_n)_{n \geq 1} une suite de variables aléatoires telles que X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p_n) avec np_n \to \lambda > 0. Alors : X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

Autrement dit, pour tout k \in \mathbb{N} : P(X_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}

Remarque. La loi de Poisson modélise le nombre d’arrivées d’événements rares sur un intervalle de temps donné. Par exemple, le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique en une minute.

8.4 Formule de Wald

Théorème 8.4 — (Formule de Wald)

Soient (X_k)_{k \geq 1} et N des variables aléatoires sur un même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, à valeurs dans \mathbb{N}, les X_i ayant toutes même loi. On considère : S = X_1 + \cdots + X_N (avec la convention S = 0 si N = 0). Alors S est une variable aléatoire et :

  1. Si E(X_1) et E(N) existent : E(S) = E(N) \cdot E(X_1)
  2. Si V(X_1) et E(N) existent : E(S^2) = E(N) \cdot E(X_1^2) + E(N(N-1)) \cdot (E(X_1))^2

9 Exercices

Exercice 9.1

Soient A et B deux événements tels que P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4} et P(A \cup B) = \frac{1}{2}.

  1. Calculer P(A \cap B).
  2. A et B sont-ils indépendants ?
  3. Calculer P_A(B) et P_B(A).

Exercice 9.2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise 3 boules. Notons X le nombre de boules rouges obtenues.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 9.3

Soit X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X.
  2. En déduire E(X) et V(X).
  3. Soient X et Y indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\mu). Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda + \mu).

Exercice 9.4

Soient X_1, \ldots, X_n des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi \mathcal{B}(p).

  1. Montrer que S = X_1 + \cdots + X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) en utilisant les fonctions génératrices.
  2. Retrouver E(S) et V(S).

Exercice 9.5 — (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 3 et V(X) = 4.

  1. Majorer P(|X - 3| \geq 2).
  2. Majorer P(|X - 3| \geq 6).

Exercice 9.6 — (Loi faible des grands nombres)

On lance n fois un dé équilibré. Notons S_n la somme des résultats obtenus.

  1. Calculer E(S_n) et V(S_n).
  2. En déduire que \frac{S_n}{n} converge en probabilité vers \frac{7}{2}.
  3. Majorer P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 1\right) en fonction de n.

Exercice 9.7 — (Convergence de Poisson)

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires avec X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n}).

  1. Déterminer la fonction génératrice G_{X_n}.
  2. Montrer que G_{X_n}(s) \to e^{\lambda(s-1)} pour tout s \in [-1, 1].
  3. Conclure que X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda).

Exercice 9.8 — (Formule de Wald)

Un client arrive à un guichet. Le nombre de clients déjà présents N suit une loi de Poisson de paramètre \lambda. Le temps de service de chaque client suit une loi exponentielle de paramètre \mu, indépendamment des autres. Notons T le temps total d’attente.

  1. Exprimer T en fonction de N et des temps de service X_k.
  2. Calculer E(T) en utilisant la formule de Wald.

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Chapitre 11 : Probabilités