Intégrales dépendant d’un paramètre
Chapitre 10
MP (2e année) — Chapitre 10. Passage à la limite sous l’intégrale, continuité et dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre, exemples d’applications.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de \mathbb{R} et \mathbb{K} le corps \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
1 Continuité uniforme
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Continuité uniforme)
Soient E et F deux espaces vectoriels normés, A une partie non vide de E et f : A \to F une application. On dit que f est uniformément continue sur A si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad \forall x, y \in A, \quad \|x - y\| < \delta \implies \|f(x) - f(y)\| < \varepsilon
La différence essentielle avec la continuité simple : - Dans la continuité simple, la valeur de \delta peut dépendre de x_0 et de \varepsilon. - Dans la continuité uniforme, la valeur de \delta ne dépend que de \varepsilon.
1.2 Théorème de Heine
Théorème 1.1 — (Théorème de Heine)
Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.
Exemple 1.1
La fonction f : [0, 1] \to \mathbb{R} définie par f(x) = \sqrt{x} est uniformément continue sur [0,1] (par le théorème de Heine), mais elle n’est pas lipschitzienne sur [0,1] (car sa dérivée \frac{1}{2\sqrt{x}} tend vers +\infty en 0^+).
1.3 Application : densité des fonctions polynomiales
Théorème 1.2 — (Admis)
L’ensemble des polynômes est dense dans l’espace \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K}) muni de la norme de la convergence uniforme.
Autrement dit, toute fonction continue sur [a,b] peut être approchée uniformément par des polynômes.
2 Passage à la limite sous l’intégrale
2.1 Convergence uniforme et intégrale
Théorème 2.1 — (Passage à la limite sous l’intégrale)
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues de I dans \mathbb{K}. On suppose que la suite (f_n) converge uniformément sur I vers une fonction f : I \to \mathbb{K}. Alors : \int_I f(t)\, dt = \lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(t)\, dt
Exemple 2.1
Soit f_n(t) = t^n sur [0, 1]. La suite (f_n) converge simplement vers : f(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq t < 1 \\ 1 & \text{si } t = 1 \end{cases} Cette convergence n’est pas uniforme. Cependant : \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 t^n\, dt = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 = \int_0^1 f(t)\, dt
3 Continuité et dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre
3.1 Fonction définie par une intégrale
Définition 3.1 — (Fonction définie par une intégrale)
Soit f : (x,t) \mapsto f(x,t) une fonction de deux variables, x et t. On considère x comme un paramètre et t \in [a,b] comme une variable d’intégration. Cela nous permet de définir : F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt
3.2 Continuité
Théorème 3.1 — (Continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre)
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [a,b] un intervalle fermé borné. Soit f une fonction continue sur I \times J à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Alors la fonction F définie pour tout x \in I par : F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt est continue sur I.
Exemple 3.1
Soit F(x) = \int_0^\pi \sin(x+t) \cdot e^{xt^2}\, dt, définie pour x \in I = \mathbb{R}.
La fonction (x,t) \mapsto f(x,t) = \sin(x+t) \cdot e^{xt^2} est continue sur \mathbb{R} \times [0, \pi]. D’après le théorème, F est continue sur \mathbb{R}.
3.3 Dérivabilité
Théorème 3.2 — (Dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre)
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et J = [a,b] un intervalle fermé borné. On suppose que :
- (x,t) \mapsto f(x,t) est une fonction continue sur I \times J (à valeurs dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}),
- La dérivée partielle (x,t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) existe et est continue sur I \times J.
Alors la fonction F définie pour tout x \in I par F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 sur I et : \boxed{F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\, dt}
On peut retenir l’abréviation mnémotechnique d’interversion dérivée/intégrale : \frac{d}{dx}\int_a^b = \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}
Exemple 3.2
Étudions F(x) = \int_0^1 \frac{dt}{x^2 + t^2} pour x \in ]0, +\infty[.
Posons f(x,t) = \frac{1}{x^2 + t^2}. Alors :
- f est continue sur ]0, +\infty[ \times [0,1]
- \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = \frac{-2x}{(x^2+t^2)^2} est aussi continue
Donc, par le théorème, F est continue, dérivable et : F'(x) = \int_0^1 \frac{-2x}{(x^2+t^2)^2}\, dt
3.4 Intégrales à bornes variables
Théorème 3.3 — (Intégrales à bornes variables)
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Soient I un intervalle de \mathbb{R} et u, v : I \to [a,b] deux fonctions de classe \mathcal{C}^1. Alors la fonction G définie sur l’intervalle I par : G(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 et : G'(x) = v'(x) f(v(x)) - u'(x) f(u(x))
Exemple 3.3
Calculons la dérivée de G(x) = \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln t} pour x > 1.
Pour appliquer le théorème, on remarque que f(t) = \frac{1}{\ln t} est continue sur ]1, +\infty[, et u(x) = x, v(x) = x^2 sont de classe \mathcal{C}^1 sur ]1, +\infty[.
G'(x) = 2x \cdot \frac{1}{\ln(x^2)} - 1 \cdot \frac{1}{\ln x} = 2x \cdot \frac{1}{2\ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x - 1}{\ln x}
4 Intégrales impropres dépendant d’un paramètre
4.1 Fonction définie par une intégrale impropre
Définition 4.1
Soit f : (x,t) \mapsto f(x,t) une fonction définie sur I \times [0, +\infty[, où I est un intervalle de \mathbb{R}. Supposons que l’intégrale de l’application partielle t \mapsto f(x,t) soit convergente sur [0, +\infty[. On souhaite étudier la fonction qui à x \in I associe : F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt
Comme une intégrale convergente est définie comme une limite d’intégrales sur des intervalles bornés, posons : F_A(x) = \int_0^A f(x,t)\, dt, \quad \text{d'où} \quad F(x) = \lim_{A \to +\infty} F_A(x)
4.2 Convergence dominée
Définition 4.2 — (Convergence dominée)
Soit (f_A)_{A > 0} une famille de fonctions définies sur I convergeant simplement vers F. On dit que la convergence est dominée s’il existe une fonction \varphi : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ telle que :
- \varphi est continue par morceaux et \int_0^{+\infty} \varphi(t)\, dt converge.
- Pour tout A > 0 et tout x \in I : |f(x,t)| \leq \varphi(t) pour tout t \geq 0.
Théorème 4.1 — (Passage à la limite sous l’intégrale impropre)
Soient I un intervalle de \mathbb{R} et f : I \times [0, +\infty[ \to \mathbb{K} une fonction continue par morceaux. On suppose que :
- Pour tout x \in I, l’intégrale \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt converge.
- La convergence de f_A(x) = \int_0^A f(x,t)\, dt vers F(x) est uniforme sur I.
Alors la fonction F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt est continue sur I et : \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt = \lim_{A \to +\infty} \int_0^A f(x,t)\, dt
4.3 Théorème de Fubini
Théorème 4.2 — (Théorème de Fubini)
Soient I = [\alpha, \beta] un intervalle fermé borné et J = [0, +\infty[. Soit f une fonction continue sur I \times J, à valeurs dans \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) et qui vérifie l’hypothèse de convergence dominée. Alors la fonction F est intégrable sur I et : \int_\alpha^\beta F(x)\, dx = \int_\alpha^\beta \left(\int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt\right) dx = \int_0^{+\infty} \left(\int_\alpha^\beta f(x,t)\, dx\right) dt
5 Transformée de Laplace
5.1 Définition
Définition 5.1 — (Transformée de Laplace)
Soit f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} une fonction continue. La transformée de Laplace de f est la fonction \mathcal{L}(f) définie par : \mathcal{L}(f)(s) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-st}\, dt pour tout s \in \mathbb{R} tel que l’intégrale converge.
- Dans ce cours, nous supposerons que s est un paramètre réel. (Alors qu’en toute généralité s \in \mathbb{C}.)
- Nous supposerons les fonctions continues. (Alors qu’en électronique les fonctions sautent souvent d’une valeur à une autre.)
- Lorsque l’on écrit F(s), cela signifiera par convention que l’intégrale converge.
Exemple 5.1
Calculons \mathcal{L}(f)(s) pour f(t) = e^{at} avec a \in \mathbb{R}.
\mathcal{L}(f)(s) = \int_0^{+\infty} e^{at} e^{-st}\, dt = \int_0^{+\infty} e^{(a-s)t}\, dt
Cette intégrale converge si et seulement si a - s < 0, c’est-à-dire s > a. Dans ce cas : \mathcal{L}(f)(s) = \left[\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^{+\infty} = \frac{1}{s-a}
6 Transformée de Fourier
6.1 Définition
Définition 6.1 — (Transformée de Fourier)
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction continue dont l’intégrale est absolument convergente. La transformée de Fourier de f est la fonction \widehat{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{C} définie par : \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\xi t}\, dt
- Contrairement à la transformée de Laplace, la transformée de Fourier est souvent à valeurs dans \mathbb{C}, même si l’ensemble de départ est \mathbb{R}.
- L’intégrale impropre a deux points incertains -\infty et +\infty. Par définition, une intégrale \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\, dt converge si et seulement si l’intégrale \int_{-\infty}^0 g(t)\, dt converge et l’intégrale \int_0^{+\infty} g(t)\, dt converge aussi.
Proposition 6.1 — (Existence de la transformée de Fourier)
Supposons que f soit continue et que l’intégrale de f soit absolument convergente, c’est-à-dire : \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|\, dt \quad \text{converge} Alors :
- Pour tout \xi \in \mathbb{R}, l’intégrale \widehat{f}(\xi) existe.
- La fonction \xi \mapsto \widehat{f}(\xi) est continue sur \mathbb{R}.
7 Exercices
Exercice 7.1
Soit f(x,t) = \frac{\ln t}{x^2 + t^2} définie pour x \in [0,1] et t \in [1, +\infty[. Montrer que F(x) = \int_1^{+\infty} f(x,t)\, dt est une fonction continue, dérivable, de dérivée continue. Calculer F'(x).
Exercice 7.2
Soit f(x,t) = t^x e^{-t} définie sur [1,10] \times [1, +\infty[. Montrer que F(x) = \int_1^{+\infty} f(x,t)\, dt est une fonction continue et dérivable.
Exercice 7.3
Soit F(x) = \int_0^1 \frac{dt}{x + \sqrt{t}}. Montrer que F est définie en x = 0. À l’aide d’un changement de variable sur t, montrer que la fonction F est continue sur [0, +\infty[. Calculer la limite de F en 0. Que peut-on dire pour la dérivée ?
Exercice 7.4
Soit F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt}\, dt pour x > 0. Calculer F(x) et F'(x).
Exercice 7.5 — (Transformée de Laplace)
Soit f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} continue et dont l’intégrale \int_0^{+\infty} |f(t)|\, dt converge. Montrer que \mathcal{L}(f) est définie et continue sur \mathbb{R}.