TD — Intégrales dépendant d’un paramètre
Chapitre 10
MP (2e année) — TD du Chapitre 10. Passage à la limite sous l’intégrale, continuité et dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre, exemples d’applications.
Exercice 1
Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [a,b] convergeant uniformément vers f. Montrer que : \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t)\, dt = \int_a^b f(t)\, dt
Exercice 2
Soit f : I \times [a,b] \to \mathbb{K} continue. Montrer que F(x) = \int_a^b f(x,t)\, dt est continue sur I.
Exercice 3
Soit f : I \times [a,b] \to \mathbb{K} avec f et \dfrac{\partial f}{\partial x} continues. Montrer que : F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\, dt
Exercice 4
Soit F(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(xt)}{t}\, dt pour x > 0. Montrer que F est continue sur ]0,+\infty[.
Exercice 5
Soit F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt}\, dt pour x > 0. Calculer F(x) et F'(x).
Exercice 6
Soit f(x,t) = t^x e^{-t} sur [1,10] \times [1,+\infty[. Montrer que F(x) = \int_1^{+\infty} f(x,t)\, dt est continue et dérivable.
Exercice 7
Montrer que la fonction Gamma \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt est définie pour x > 0 et que \Gamma(x+1) = x\Gamma(x).
Exercice 8
Soit F(x) = \int_0^1 \dfrac{dt}{x + \sqrt{t}}. Montrer que F est continue sur [0,+\infty[ et calculer \lim_{x \to 0^+} F(x).
Exercice 9
Soit f : I \times [0,+\infty[ \to \mathbb{K} continue avec convergence dominée. Montrer que F(x) = \int_0^{+\infty} f(x,t)\, dt est continue sur I.
Exercice 10
Soit F(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}\, dt pour x > 0. Montrer que F est de classe \mathcal{C}^1 sur ]0,+\infty[.