TD — Espaces préhilbertiens réels et endomorphismes des espaces euclidiens
Chapitre 09
MP (2e année) — TD du Chapitre 09. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, suites orthonormales et suites totales, endomorphismes symétriques, endomorphismes orthogonaux, formes linéaires et adjoint d’un endomorphisme, application à l’étude des extrema.
Exercice 1
Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| et préciser le cas d’égalité.
Exercice 2
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. Montrer que E = F \oplus F^\perp.
Exercice 3
Soit (e_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite orthonormale d’un espace préhilbertien. Montrer l’inégalité de Bessel : \sum_{n=0}^{+\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2 \leq \|x\|^2
Exercice 4
Soit f un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Exercice 5
Soit u un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien. Montrer que :
- u conserve le produit scalaire.
- \det(u) \in \{-1, 1\}.
- Si F est stable par u, alors F^\perp est stable par u.
Exercice 6
Soit E un espace euclidien. Montrer que toute forme linéaire \varphi sur E s’écrit \varphi(x) = \langle a, x \rangle pour un unique a \in E (théorème de représentation).
Exercice 7
Soit u \in \mathcal{L}(E) avec E euclidien. Montrer qu’il existe un unique u^* \in \mathcal{L}(E) tel que \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle pour tous x, y (adjoint).
Exercice 8
Soit u un endomorphisme orthogonal. Montrer que u est inversible et u^{-1} = u^*.
Exercice 9
Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que u est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).
Exercice 10
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2. Montrer que si \nabla f(a) = 0 et la matrice hessienne est définie positive, alors f admet un minimum local en a.