TD — Calcul différentiel
Chapitre 08
MP (2e année) — TD du Chapitre 08. Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, différentielle, opérations sur les applications différentiables, cas des fonctions numériques, vecteurs tangents à une partie d’un EVN de dimension finie, applications de classe \mathcal{C}^k.
Exercice 1
Soit f(x,y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} et \nabla f.
Exercice 2
Soit f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}. Montrer que f n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 3
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} différentiable. Montrer que D_h f(a) = df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle pour tout vecteur h.
Exercice 4
Soit f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2. Déterminer les points critiques de f et leur nature.
Exercice 5
Montrer le théorème de Schwarz : si f est de classe \mathcal{C}^2, alors \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.
Exercice 6
Résoudre l’équation aux dérivées partielles \dfrac{\partial f}{\partial x} + 2\dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 en utilisant un changement de variable linéaire.
Exercice 7
Résoudre l’équation des ondes \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 en posant u = x+y, v = x-y.
Exercice 8
Déterminer le plan tangent au graphe de f(x,y) = x^2 + y^2 au point (1,1,2).
Exercice 9
Soit f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1 et \gamma : I \to \mathbb{R}^2 de classe \mathcal{C}^1. Montrer que (f \circ \gamma)'(t) = df(\gamma(t))(\gamma'(t)) (règle de la chaîne).
Exercice 10
Soit f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- f admet-elle un extremum global ?