Calcul différentiel
Chapitre 08
MP (2e année) — Chapitre 08. Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, différentielle, opérations sur les applications différentiables, cas des fonctions numériques, vecteurs tangents à une partie d’un EVN de dimension finie, applications de classe \mathcal{C}^k.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MP.
Dans tout ce chapitre, E et F sont deux \mathbb{R}-espaces vectoriels normés de dimensions finies p et n respectivement, munis de bases \mathcal{B}_E = (e_1, \ldots, e_p) et \mathcal{B}_F = (v_1, \ldots, v_n). On note \Omega un ouvert de E et f : \Omega \to F une application.
1 Propriétés locales
1.1 Applications partielles
1.1.1 Dérivée selon un vecteur
Définition 1.1 — (Dérivée selon un vecteur)
Soit a \in \Omega et h \in E \setminus \{0_E\}. On dit que f est dérivable en a selon le vecteur h si la fonction : t \mapsto f(a + th) est dérivable en t = 0 (pour t assez petit). La dérivée est notée D_h f(a) et : D_h f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + th) - f(a)}{t}
Si f est à valeurs dans F de base (v_1, \ldots, v_n) et si f = f_1 v_1 + \cdots + f_n v_n, alors f est dérivable en a selon h si et seulement si chaque f_i est dérivable en a selon h, et : D_h f(a) = \sum_{i=1}^n (D_h f_i)(a) \, v_i
1.1.2 Dérivées partielles
Définition 1.2 — (Dérivée partielle)
On dit que f est partiellement dérivable en a selon la variable x_j si f est dérivable en a selon le vecteur e_j. On note : \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = \partial_j f(a) = D_{e_j} f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + t e_j) - f(a)}{t}
Exemple 1.1
Pour f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) définie sur \mathbb{R}^2 : \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + y\cos(xy), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + x\cos(xy)
1.2 Différentiabilité en un point
Définition 1.3 — (Différentiabilité)
On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire L \in \mathcal{L}(E, F) telle que : f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|) \quad \text{quand } h \to 0
L’application linéaire L, si elle existe, est unique. On l’appelle la différentielle de f en a et on la note df(a) ou d_a f.
Proposition 1.1 — (Unicité de la différentielle)
Si f est différentiable en a, alors la différentielle df(a) est unique.
Proposition 1.2 — (Différentiabilité implique continuité)
Si f est différentiable en a, alors f est continue en a.
Proposition 1.3 — (Différentiabilité et dérivées selon les vecteurs)
Si f est différentiable en a, alors f est dérivable en a selon tout vecteur h \neq 0 et : D_h f(a) = df(a)(h)
Proposition 1.4 — (Différentiabilité et dérivées partielles)
Si f est différentiable en a, alors f possède en a une dérivée partielle selon chacune de ses variables et : df(a)(e_j) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)
La réciproque est fausse : l’existence des dérivées partielles n’implique pas la différentiabilité.
1.3 Matrice Jacobienne
Définition 1.4 — (Matrice Jacobienne)
Si f est différentiable en a, la matrice Jacobienne de f en a, notée J_f(a), est la matrice de df(a) dans les bases \mathcal{B}_E et \mathcal{B}_F : J_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_p}(a) \end{pmatrix}
1.4 Vecteur Gradient (cas des fonctions numériques)
Définition 1.5 — (Gradient)
Si f : \Omega \to \mathbb{R} est différentiable en a, le gradient de f en a, noté \nabla f(a), est le vecteur de E défini par : \nabla f(a) = \sum_{j=1}^p \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) \, e_j
On a alors pour tout h \in E : df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle
Exemple 1.2
Pour f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 : \nabla f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z)
Proposition 1.5 — (Développement limité à l’ordre 1)
Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega, alors pour tout a \in \Omega : f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + o(\|h\|)
Dans le cas E = \mathbb{R}^2 : f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) k + o(\sqrt{h^2 + k^2})
2 Propriétés globales
2.1 Fonctions de classe \mathcal{C}^1
Définition 2.1 — (Fonction de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
On dit que f : \Omega \to F est de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega si toutes les dérivées partielles \frac{\partial f_i}{\partial x_j} existent et sont continues sur \Omega.
Proposition 2.1
Une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur \Omega est différentiable en tout point de \Omega.
Proposition 2.2 — (Opérations sur les fonctions de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
Soient f, g : \Omega \to F de classe \mathcal{C}^1 et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors \lambda f + \mu g est de classe \mathcal{C}^1 et : d(\lambda f + \mu g)(a) = \lambda \, df(a) + \mu \, dg(a)
Proposition 2.3 — (Produit de fonctions numériques)
Si f, g : \Omega \to \mathbb{R} sont de classe \mathcal{C}^1, alors fg est de classe \mathcal{C}^1 et : d(fg)(a) = g(a) \, df(a) + f(a) \, dg(a)
2.2 Composition des fonctions différentiables
Théorème 2.1 — (Différentielle d’une composée)
Soient f : \Omega \to F et g : \Omega' \to G avec f(\Omega) \subset \Omega'.
Si f est différentiable en a \in \Omega et g est différentiable en b = f(a), alors h = g \circ f est différentiable en a et : dh(a) = d(g \circ f)(a) = dg(f(a)) \circ df(a)
Si f \in \mathcal{C}^1(\Omega, F) et g \in \mathcal{C}^1(\Omega', G), alors h = g \circ f \in \mathcal{C}^1(\Omega, G).
Proposition 2.4 — (Jacobienne d’une composée)
Si f est différentiable en a et g en b = f(a) : J_h(a) = J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)
Proposition 2.5 — (Règle de la chaîne)
On se limite au cas où g est à valeurs dans \mathbb{R}. Si f et g sont de classe \mathcal{C}^1, alors h = g \circ f est de classe \mathcal{C}^1 et : \frac{\partial h}{\partial x_j}(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(f(a)) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)
Exemple 2.1 — (Cas particulier : \boldsymbol{E = \mathbb{R}})
Si f : I \to \Omega' est de classe \mathcal{C}^1 sur un intervalle I de \mathbb{R} et g : \Omega' \to \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^1, alors h = g \circ f est de classe \mathcal{C}^1 et : h'(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(f(t)) \cdot f_i'(t)
3 Fonctions de classe \mathcal{C}^k (k > 1)
3.1 Définitions
Définition 3.1 — (Fonction de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^k})
Soit f : \Omega \to \mathbb{R} avec \Omega ouvert.
- f est de classe \mathcal{C}^2 si f et ses p dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x_j} sont de classe \mathcal{C}^1.
- Pour k > 2, f est de classe \mathcal{C}^k si f est de classe \mathcal{C}^{k-1} et si ses p^{k-1} dérivées partielles sont de classe \mathcal{C}^1.
3.2 Théorème de Schwarz
Théorème 3.1 — (Théorème de Schwarz)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur \Omega, alors les dérivées partielles secondes commutent : \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}
Plus généralement, si f est de classe \mathcal{C}^k, pour toute permutation \sigma de \{1, \ldots, k\} : \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k}} = \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_{\sigma(1)}} \cdots \partial x_{i_{\sigma(k)}}}
4 Vecteurs tangents à une partie d’un EVN
4.1 Vecteur tangent au support d’un arc
Définition 4.1 — (Vecteur tangent)
Soit \gamma : I \to E un arc paramétré de classe \mathcal{C}^1 et a = \gamma(t_0). Un vecteur v \in E est tangent à \gamma en a s’il existe une suite (t_n) tendant vers t_0 telle que : \frac{\gamma(t_n) - \gamma(t_0)}{\|\gamma(t_n) - \gamma(t_0)\|} \to \frac{v}{\|v\|}
4.2 Vecteur tangent à une partie de E
Définition 4.2 — (Vecteur tangent à une partie)
Soit X une partie de E et a \in X. Un vecteur v \in E est tangent à X en a s’il existe un arc \gamma : ]-\varepsilon, \varepsilon[ \to X de classe \mathcal{C}^1 tel que \gamma(0) = a et \gamma'(0) = v.
Exemple 4.1 — (Graphe d’une fonction)
Si f : \Omega \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} est différentiable et X est le graphe de f : X = \{(x, y, z) \mid (x,y) \in \Omega, \; z = f(x,y)\} Les vecteurs tangents à X en (a, b, c) \in X constituent le plan d’équation : \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \cdot y - z = 0
5 Optimisation
5.1 Extremum local
Définition 5.1 — (Extremum local)
Soit f : \Omega \to \mathbb{R}. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en a \in \Omega s’il existe un voisinage V de a dans \Omega tel que : \forall x \in V, \quad f(x) \leq f(a) \quad (\text{resp. } f(x) \geq f(a))
5.2 Théorème d’ordre 1
Théorème 5.1 — (Condition nécessaire d’ordre 1)
Si f : \Omega \to \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^1 et admet un extremum local en a \in \Omega, alors : df(a) = 0 \quad \text{c'est-à-dire} \quad \nabla f(a) = 0
5.3 Étude au second ordre
Proposition 5.1 — (Condition suffisante d’ordre 2)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 et df(a) = 0 :
- Si la forme quadratique h \mapsto d^2 f(a)(h, h) est définie positive, alors f admet un minimum local strict en a.
- Si la forme quadratique h \mapsto d^2 f(a)(h, h) est définie négative, alors f admet un maximum local strict en a.
6 Exercices
Exercice 6.1
Soit f(x, y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} et \nabla f.
Exercice 6.2
Soit f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}. Montrer que f n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 6.3
Soit f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2. Déterminer les points critiques de f et leur nature.
Exercice 6.4
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \frac{\partial f}{\partial x} + 2\frac{\partial f}{\partial y} = 0 en utilisant un changement de variable linéaire.