TD — Équations différentielles linéaires
Chapitre 12
MP (2e année) — TD du Chapitre 12. Problème de Cauchy, structure de la solution, systèmes d’équations différentielles linéaires, méthode de la variation de la constante.
Exercice 1
Résoudre le problème de Cauchy : \begin{cases} y' + y = e^x \\ y(0) = 1 \end{cases}
Exercice 2
Montrer que l’équation y' = f(t, y) avec f continue admet une unique solution locale (théorème de Cauchy-Lipschitz, admis).
Exercice 3
Soit x' = a(t)x + b(t) une équation différentielle linéaire du premier ordre. Montrer que l’ensemble des solutions est un espace affine de dimension 1.
Exercice 4
Résoudre le système : \begin{cases} x' = x + 2y \\ y' = 2x + y \end{cases}
Indication : Poser u = x+y, v = x-y.
Exercice 5
Résoudre le système X' = AX avec A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Indication : A n’est pas diagonalisable. Utiliser e^{tA} = e^t(I_2 + tN) où N = A - I_2.
Exercice 6
Résoudre le système X' = AX + B(t) par la méthode de variation de la constante : X(t) = e^{tA}X_0 + \int_0^t e^{(t-s)A} B(s)\, ds
Exercice 7
Résoudre y'' + 4y = \sin(2t) avec y(0) = 1, y'(0) = 0.
Indication : Le second membre est solution de l’homogène. Chercher y_p = t(A\cos 2t + B\sin 2t).
Exercice 8
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) diagonalisable. Résoudre X' = AX en diagonalisant A.
Exercice 9
Montrer que si A est diagonalisable avec A = PDP^{-1}, alors e^{tA} = Pe^{tD}P^{-1}.
Exercice 10
Résoudre le système différentiel : \begin{cases} x' = 3x - y \\ y' = x + y \end{cases} avec x(0) = 1, y(0) = 0.