TD — Fonctions holomorphes
Chapitre 13
MP (2e année) — TD du Chapitre 13. Dérivation complexe, équations de Cauchy-Riemann, \mathbb{C}-algèbre des fonctions holomorphes, fonctions analytiques, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés.
Exercice 1
Soit f(z) = z^2. Montrer que f est \mathbb{C}-dérivable en tout point et calculer f'(z).
Exercice 2
Soit f(z) = \bar{z}. Montrer que f n’est pas \mathbb{C}-dérivable en 0.
Exercice 3
Soit f(z) = u(x,y) + iv(x,y) avec z = x + iy. Montrer que si f est \mathbb{C}-dérivable, alors : \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{et} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} (équations de Cauchy-Riemann)
Exercice 4
Montrer que la fonction f(z) = e^z est holomorphe sur \mathbb{C} et f'(z) = e^z.
Exercice 5
Soit \mathcal{H}(\Omega) l’ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert \Omega. Montrer que \mathcal{H}(\Omega) est une \mathbb{C}-algèbre.
Exercice 6
Soit f holomorphe sur \Omega et g holomorphe sur g(\Omega). Montrer que g \circ f est holomorphe et (g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'.
Exercice 7
Soit f analytique sur \Omega. Montrer que pour tout z_0 \in \Omega, il existe r > 0 et (a_n) tels que : f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n \quad \text{pour } |z - z_0| < r
Exercice 8
Montrer le principe du prolongement analytique : si f et g sont holomorphes sur un ouvert connexe \Omega et coïncident sur un sous-ensemble ayant un point d’accumulation dans \Omega, alors f = g sur \Omega.
Exercice 9
Montrer le principe des zéros isolés : si f est holomorphe non nulle sur un ouvert connexe \Omega, alors les zéros de f sont isolés.
Exercice 10
Soit f holomorphe sur \mathbb{C} avec f(n) = 0 pour tout n \in \mathbb{N}. Montrer que f = 0 sur \mathbb{C}.
Indication : Les zéros de f ne sont pas isolés car \mathbb{N} a un point d’accumulation en +\infty (mais pas dans \mathbb{C}). Utiliser le principe du prolongement analytique ou le principe des zéros isolés.